3.2.2 奇偶性同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 一、单选题 1．函数的图象关于（　　） A．y轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称 2．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为（    ） A．±1 B．－1 C．1 D．0 4．若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C． D．3 5．定义在R上的偶函数，在上是增函数，则 A． B． C． D． 6．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 8．已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最大值为 C．在上是单调递增 D．的解集为 三、填空题 9．已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 10．设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 ． 11．已知是奇函数，则 ； ． 12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+4）＝f（x），当1≤x≤2时f（x）＝x﹣2，则f（6.5）等于 . 13．已知函数是奇函数，当时，，若，则m的值为 . 14．已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 ． 四、解答题 15．定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示. （1）补全的图像； （2）解不等式. 16．已知函数对一切都有，求证：是奇函数，若，试用表示. 17．设函数. （1）王鹏同学认为，无论取何值，都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由； （2）若是偶函数，求的值； （3）在（2）的情况下，画出的图象并指出其单独递增区间. 18．设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分． （1）求函数在上的解析式； （2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （3）写出函数的值域和单调区间． 19．已知函数是的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性； （3）求函数在上的最大值与最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B B D ABD AB 1．D 判断函数的奇偶性，根据奇偶性判断函数的对称性. 函数的定义域为， 因为，所以函数是奇函数， 则的图象关于原点对称. 故选：D 2．B 根据奇偶函数的定义判断即可； 解：对于A：定义域为，且， 所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且， 所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故D错误； 故选：B 3．C 由题得即得a＝±1，再检验即得解. 因为f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数， 所以， 所以 所以1－a2＝0.所以a＝±1. 当a＝1时，f(x)＝x2－1，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件； 当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在(0，＋∞)上单调递减，不满足. 所以a＝1. 故选：C 本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查二次函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．B 利用函数奇偶性计算即可 由函数为上的奇函数， 所以 且当时，， 所以. 故选：B. 5．B 试题分析：由题意得，函数为偶函数，所以，又因为在上是增函数，所以，即，故选B． 6．D 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 7．ABD 根据函数奇偶性的定义判断即可. 因为满足，所以是偶函数； 因为满足，所以是偶函数， 因为满足，所以是奇函数； 因为满足，所以是偶函数； 故选：ABD． 8．AB 根据函数的奇偶性求出，判断选项A；根据函数在时的解析式以及偶函数，得出函数的单调区间和最值，判断选项B和C；根据二次函数的图象和性质，判断选项D． 是定义在上的偶函数，，A正确； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为，又偶函数在对称区间上的单调性相反，最值相同，则函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； ，为，D错误； 故选：AB 9．0，0 由求出，利用奇函数的定义即可求出的值. 由题意知，故． 由是奇函数知， 即， ∴，∴. 故答案为：0，0. 10． 根据偶函数性质,将转化为,再根据图象,写出的范围,进而求出解集即可. 解:由题知为偶函数, , , 即, 由时,的图象可知, 若,即, 即到原点的距离大于2小于等于5的数, 故解得:. 故答案为: 11． 利用函数奇偶性得到，计算出，结合函数奇偶性得到的值. 因为函数是奇函数，所以， ，故． 故答案为：；. 12．﹣0.5/ 利用函数的周期性以及函数为偶函数即可求解. ∵f（x+4）＝f（x），即函数的周期为4， ∵f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣x）＝f（x）， ∴f（6.5）＝f（2.5）＝f（﹣1.5）＝f（1.5）＝﹣0.5， 故答案为：﹣0.5. 13． 由奇函数可得,则可得,解出即可 因为是奇函数,,所以,即,解得 故答案为： 本题考查利用奇偶性求值,考查已知函数值求参数 14．/ 由题意可得，则函数在R上为减函数， 又函数是R上的奇函数，可得，从而列不等式组求解即可得答案. 解：因为函数对任意给定的实数，，恒成立，即， 所以函数在R上为减函数， 又函数是R上的奇函数，所以， 则不等式，可得或 即或，解得， 所以原不等式的解集为. 15．（1）作图见解析；（2）(－2，0)∪(0，2). （1）根据奇函数图象关于原点对称，即可得答案； （2）结合函数的图像，可得不等式的解集； 解：（1）描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)， 则可得f(x)的图像如图所示. （2）结合函数的图像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2). 16．证明见解析，. 先根据题中条件，由赋值法得到，结合函数奇偶性的概念，即可证明结论成立；再令，得到，推出，即可求出结果. 在中，令得， 又令得， 所以，因此； 即，故是奇函数； 若，则， 在中，令，可得， 因此. 17．（1）我同意王鹏同学的看法;（2）;（3）和 试题分析：（1）（举特例）若为奇函数，则有，整理得，由于此方程无解，故不可能是奇函数；（2）由得,解得；（3）画出图象如图，由图象得单调递增区间是和． 试题解析： （1）我同意王鹏同学的看法，理由如下： 若为奇函数，则有， 显然无解， 所以不可能是奇函数 （2）若为偶函数，则有 , 解得， 此时，是偶函数. （3）由（2）知，其图象如图所示 其单调递增区间是和. 18．(1) (2) 见解析（3）见解析 试题分析：（1）先设抛物线顶点式方程，代入求出开口大小，再根据偶函数性质求在上的解析式；（2）根据描点法画出函数图像，或根据对称性画函数图像（3）根据图像确定最值得函数值域，根据函数图像增减得单调区间 试题解析： 19．（1）（2）函数在上单调递增．（3）最大值1，最小值． （1）由偶函数的定义即可求解． （2）由函数的单调性定义即可证明． （3）由函数是偶函数，确定函数在上的单调性即可求出最值． （1）若函数是上的偶函数， 则，即 解得． （2）函数在上单调递增．理由如下： 由（1），知． 设任意的，，且， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在上单调递增． （3）由（2），知函数在上单调递增． 又是上的偶函数， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，． 学科网（北京）股份有限公司 $$