3.1.1 函数的概念同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1 函数概念 一、单选题 1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 2．函数 的定义域是（    ） A．或 B．或   C．或 D． 或 3．已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 8．(多选)已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则在下列实数中，函数值y可以取值的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若函数的定义域为，则实数的取值范围 ． 11．已知函数＝x2－mx＋n，且＝－1，＝m，则＝ ，＝ ． 12．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是 ． 13．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 . 14．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 15．已知函数的值域是，则 ． 四、解答题 16．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求，的值． 17．已知函数，. （1）求的值； （2）求的值． 18．已知函数的定义域为，值域为，求m，n的值． 19．已知函数，是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B D D B D CD ABC ACD 1．B 根据函数的定义，结合题意，可得答案. 对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误； 对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确； 对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误； 故选：B. 2．B 根据偶次根式函数有意义列不等式求解定义域. 由题意，可得，即， 即， 解得或. 故选：B． 3．D 根据函数解析式求得正确答案. 由得， 依题意，， 令得. 故选：D 4．D 根据的定义域为，求出的定义域，结合分式的分母不为0求解. 因为函数的定义域为， 所以， 解得， 又由知，， 所以函数的定义域为， 故选：D 5．B 本题首先可令，然后将函数转化为，最后利用反比例函数性质得出当时函数的值域，即可得出结果. 令，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时函数的值域为， 则函数值域为， 6．D 运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可. ， 当时，；当或时，. 因此当时，函数在区间上的最小值为， 最大值为，所以，实数的取值范围是. 故选：D 7．CD 函数概念：设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.根据函数的概念可确定选项. A.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念. B.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念. C.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念. D.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念. 故选：CD． 8．ABC 根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 由，得，即，得 由，得，即或 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集. 设定义域为若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立. D不可能为定义域. 故选：ABC. 9．ACD 求出函数的定义域，讨论或，利用基本不等式即可求解. ，定义域为， 当时，， 当且仅当时，即取等号，可得A、C正确； 当，则，，所以， 所以， 当且仅当时，即取等号，所以D正确， 故选：ACD． 10． 利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 的定义域为是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且,即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 综上,即实数a的取值范围是. 故填: . 本题主要考查函数恒成立问题,将恒成立转化为不等式恒成立,然后利用一元二次不等式的知识求解是解决本题的关键,同时要注意对二次项系数进行讨论，属于基础题. 11． －1； x4－2x3－2x2＋3x＋1. 由已知条件列方程组求参数m、n，进而写出的解析式，再求即可求，同理求. 由题意知：，解得， ∴＝x2－x－1，故＝1，则＝－1， 由上，＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1. 故答案为：－1，x4－2x3－2x2＋3x＋1. 12． 由题意3a－1>a，得a>,故填 13． 利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答. 依题意，当时，，则，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以当时，函数的值域为. 故答案为： 14． 根据定义的新运算，求出函数的表达式，进而求函数的值域. 由题意知， 即， 所以, 所以，且， 所以． 故答案为：. 15． 配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案. ， 故，解得． 故答案为： 16．(1) (2)，. （1）根据题意知且，由此可求其定义域； （2）直接将代入解析式求值即可. （1）根据题意知且， 且，即函数的定义域为. （2）. . 17．（1）1；（2）． (1)直接将a和 代入解析式进行化简求和即可；（2）根据第一问可得到，故，又因为即可得到结果. （1）由于， 所以． （2）方法一：因为，，， 所以． 方法二：由（1）知， 从而， 故． 而， 所以． 18． 可将整理为,因为,由,则,即,由一元二次方程、二次函数、一元二次不等式（即“三个二次”）之间的关系,则关于y的一元二次方程的两根为1和9,利用韦达定理求解；同时,时也成立 解：去分母,并整理成关于x的一元二次方程的形式, 由,得, 根据一元二次方程有实数根的条件列式, 由,得若,则, 即, 根据一元二次方程、二次函数、一元二次不等式（即“三个二次”）之间的关系, 由知,关于y的一元二次方程的两根为1和9, 故有,解得 当时,也符合题意, ∴ 19．存在实数满足条件 根据二次函数的性质，明确其单调性，建立方程组，可得答案. 存在．理由如下： 的对称轴为，顶点且开口向上． ，当时，随的增大而增大， ∴要使的定义域和值域都是，则有， ，即，或（舍）， ∴存在实数满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$