2.3 直线的交点坐标与距离公式 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：2.3直线的交点坐标与距离公式（2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式） part1 知识清单 知识点01：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点02：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点03：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 知识点04：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点05：对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. Part2 教材重点例题与习题 1判断下列各对直线的位置关系如果相交，求出交点的坐标：，          ，    ， ． 【答案】解：解方程组 得   所以与相交，交点是 解方程组 得，矛盾，这个方程组无解，所以与无公共点，． 解方程组 得． 和可以化成同一个方程，即和表示同一条直线，与重合．  2.已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 【答案】解：设所求点为，则利用两点间的距离公式可得： ， ． 由，得 ． 解得． 所以，所求点为， 且．  3.求点到直线的距离． 【答案】解：点到直线的距离 ．  4.已知两条平行直线，，求与间的距离． 【答案】解：方法一：先求与轴的交点的坐标容易知道，点的坐标为． 点到直线的距离 ， 所以与间的距离为． 方法二：将转化为，则利用两平行线间距离公式可得： 所以与间的距离为．  5.判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： ：，  ：； ：，  ：； ：，  ：． 【答案】解：相交． 联立，解得，， 其交点为 可化为， 故直线与直线重合． ，化为， 化为， 两条直线的斜率相等而在轴上的截距不等， ．  6.已知与两点间的距离是，求的值． 【答案】解：点与间的距离是， 所以， 解得， 故  7.求下列点到直线的距离： ，  ：； ，  ：； ，  ：． 【答案】解：点到直线的距离． 点到直线的距离． 点到直线的距离．  8.求下列两条平行直线间的距离： ：，  ：； ：，  ：． 【答案】解：由两条平行线间的距离公式可得：； 直线方程化为：，，          由两条平行线间的距离公式可得：．  9.如图，已知直线：与直线：，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点，过点作的平行线求与间的距离． 【答案】解：直线与之间的距离为， 根据题意可得与间的距离为．  10.求满足下列条件的直线的方程： 经过两条直线和的交点，且垂直于直线； 经过两条直线和的交点，且平行于直线． 【答案】解：联立，解得， 两条直线和的交点为， 又直线的斜率为， 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为： ，即； 联立，解得． 两条直线和的交点坐标为， 又直线的斜率为， 经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程为： ，即．  11.求在轴上与点的距离为的点的坐标； 已知点的横坐标是，点与点间的距离等于，求点的纵坐标． 【答案】解：设轴上点的坐标为， 由两点间的距离公式可得， 解得或， 所求点的坐标为或． 设点的纵坐标为，即 则由两点间的距离公式可得， 解得或， 点的纵坐标为或．  12.的一组对边和所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与所在直线的平行线，求与所在直线的距离． 【答案】解：由平行线之间的距离公式可得直线与之间的距离为， 由平行四边形的特征可得与所在直线的距离等于直线与之间的距离的一半为  13.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求： 顶点的坐标； 直线的方程． 【答案】解：由题意可得边上的高所在直线方程为即， 所以直线边所在的直线的斜率为， 则设它的方程为， 代入，可得， 即， 点在中线所在直线方程为上， 所以联立方程组并求解： 解方程组 解得 故C点坐标为 设，则， 把的坐标代入直线方程为， 把点的坐标代入， 可得 解得 故点， 故直线斜率为， 设直线的方程为， 代入，可得， 整理，得．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线经过直线与直线的交点，则等于(    ) A. B. C. D. 2.已知直线的方程为，直线的方程为，若，的交点在轴上，则的值为(    ) A. B. C. D. 与有关 3.直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(    ) A. B. C. D. 4.已知直线和直线的交点在第二象限，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知点，点在直线上运动．当最小时，点的坐标是(    ) A. B. C. D. 6.两直线和分别过定点，，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.正方形的中心为点，边所在的直线方程是，则边所在的直线的方程为(    ) A. B. C. D. 8.已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为(    ) A. B. C. 或 D. 或 9.两平行线分别经过点，，它们之间的距离满足的条件是(    ) A. B. C. D. 10.若直线：与直线：的距离为，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 11.已知集合，集合，且，则(    ) A. B. C. D. 12.已知等腰直角三角形的直角顶点为若点，则点的坐标可能是(    ) A. B. C. D. 13.已知直线，则下列结论正确的是(    ) A. 直线的倾斜角是 B. 若直线则 C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是 14.已知直线：和：，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为(    ) A. B. C. D. 三、填空题 15.已知两条直线和的交点在轴上，那么的值是          ． 16.在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是          ． 17.在轴上找一点，使与间的距离为，则点的坐标为          ． 18.直线过点，倾斜角是，且与直线交于，则的长为          ． 19.过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线共有          条 20.已知直线：，直线：，若直线的倾斜角为，则          ，若，则两平行直线间的距离为          ． 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.已知两点，． 求直线的方程； 直线经过，且倾斜角为，求直线与的交点坐标． 22.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． 求直线的方程； 求点的坐标． 23.已知直线：恒过定点． 求点的坐标； 若点与点关于轴成轴对称，点是直线：上一动点，试求的最小值． 24.已知直线和直线的交点为． Ⅰ求过点且与直线平行的直线方程； Ⅱ若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程． 25.已知直线：，：． 若，求的值及与的交点坐标； 若，求与间的距离． 26.已知直线：． 若直线过点，且，求直线的方程； 若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：联立， 解得，， 直线与直线的交点为， 直线经过点， ， 解得． 故选：． 2.【答案】  【解答】 解：直线与轴的交点坐标为， 代入直线，可得，解得． 故选A． 3.【答案】  【解答】 解：时，直线分别化为：，，此时两条直线不垂直． 时，由两条直线垂直可得：，解得． 综上可得：． 联立，解得，． 这两条直线的交点坐标为． 故选：． 4.【答案】  【解答】 解：根据题意，直线和直线， 当时，两直线平行，没有交点， 当时，两直线重合，不符合题意，故， 联立，解可得， 若两直线的交点在第二象限，则有， 解可得，即的取值范围为 故选C． 5.【答案】  【解答】 解：因为点在直线上运动， 所以设点的坐标为， 由两点间距离公式可知：， 显然时， 有最小值，最小值为，此时点的坐标是， 故选B． 6.【答案】  【解答】 解：直线过定点， 直线可化简为， ，解得： 所以点坐标为， 所以， 故选C． 7.【答案】  【解答】 解：点到直线的距离 设与边平行的边所在直线的方程是， 则点到直线的距离， 解得舍去或， 所以边所在直线的方程是． 故选A． 8.【答案】  【解答】 解：直线在轴、轴上的截距相等， 令，则， 令，则， ，即， 或舍， 直线，即， 易知直线与直线平行， 直线与直线间的距离为， 故选B． 9.【答案】  【解答】 解：两条平行的直线分别经过点，， 两条平行的直线的最大距离， 它们之间的距离满足的条件是． 故选B． 10.【答案】  【解答】 解：由，得， 因此直线与的距离为， 解得或舍去． 故选B． 11.【答案】  【解答】 解：因为集合，集合，且， 直线与直线平行时， 即时，满足条件； 由于直线不过点， 所以当直线过点时，满足条件， 此时，解得． 综上得等于或． 故选AD． 12.【答案】  【解答】 解：设点坐标为， 根据题意知 解得或． 点的坐标可能是或． 故选AC． 13.【答案】  【解答】解：对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误， 对于，直线的斜率为的斜率为，两直线不垂直，B错误， 对于，点到直线的距离为，C正确， 对于，设与直线平行的直线方程为， 因为它过，所以 所以过与直线平行的直线方程是，D 正确， 故选CD． 14.【答案】  【解答】 已知，，， 设直线的方程为， 则， 解得或， 所求直线的方程为或， 故选BD． 15.【答案】  【解答】 解：两条直线和的交点， 联立方程组 解得：， 交点在轴上， ， 解得：经检验知符合题意． 16.【答案】  【解答】 解：如图所示： 直线与两轴的交点分别为， 设为直线上任意一点，作轴于， ， 于是有， 所以， 即当与重合时，． 故答案为． 17.【答案】 或  【解答】 解：设，则有， 得或， 故点的坐标为或． 故答案为 或． 18.【答案】  【解答】 解：直线过点，倾斜角是， 直线的方程为， 化简得，， 由得， 故， 由两点间距离公式可得 ． 故答案为． 19.【答案】  【解答】 解：联立，得， 即两直线和的交点为， 当直线无斜率时，方程为，到原点的距离等于，不合题意； 当直线斜率存在时设方程为，即， 由题意和点到直线的距离公式可得， 解得， 故满足题意的直线共有条． 故答案为． 20.【答案】  【解答】 解：根据题意，对于直线：，变形可得， 若其倾斜角为，则其斜率， 则有，即； 对于直线：，直线：， 若，则有，解可得， 则的方程可以变形为， 则两平行直线间的距离． 故答案为：；． 21.【答案】解：两点，． 所以， 整理得． 直线经过，且倾斜角为， 直线的方程为，得． 由，解得 所以直线与直线的交点坐标为．  22.【答案】解：由边上的高所在直线的方程为得， 则， 又， 直线的方程为，即或 因为边上的中线过点， 则联立直线方程： 解得： 即点坐标为．  23.【答案】解：直线：， 整理可得：． 联立，解得，． 可得定点． 点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为， 点是直线：上一动点，设， ，当时，的最小值为．  24.【答案】解：联立 解得可知交点， 设与直线平行的直线方程为， 把交点代入可得， ， 所求的直线方程为． 设与直线垂直的直线方程为， 到的距离为， 解得或， 直线的方程为：或．  25.【答案】解：直线：，：， 若，则，解得：， 则，： 联立方程组 则与的交点坐标为． 若，则或， 当时，，：， 则与间的距离， 当时，，：， 则与间的距离， 故与间的距离为或．  26.【答案】解：因为直线 的方程为， 所以直线 的斜率为． 因为， 所以直线的斜率为． 因为直线 过点， 所以直线的方程为，即． 因为直线，且直线与直线之间的距离为， 所以可设直线的方程为， 所以，解得或． 故直线的方程为或．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$