江苏省海门中学2025届高三二模考前模拟（四）数学试题

试卷第 1页，共 5页 海门中学高三数学南通二模考前模拟（四） 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合  ln(1 )A x y x   ，  1e xB y y   ，则 A B  （ ） A． ( ,1) B．(0,1) C． (1, ) D． 2．已知复数 1 2i i 2 i z    ，则 z的虚部为（ ） A．2 B．1 C．2i D．i 3．设 π 3π 4 4   ， 3 1sin cos 2     ，则 cos2  （ ） A． 1 2  B． 12 C． 3 2 D． 3 2  4．当  2π 2πx  ， 时，曲线 siny x 与 e 1xy   的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知随机变量  22,N  ，且    3P a b P b     ，则当 2 ab x  时， 1 1 2a x x b    的最小值为（ ） A．1 2 4  B． 3 2 2 4  C． 7 4 D． 9 4 6．设数列 na 满足 1 1a  ， 2 2 1 2n na a   ， 2 1 2 1n na a   ， *Nn ，则满足 4na n  的 n的最大值是（ ） A．7 B．9 C．12 D．14 7．已知抛物线 2: 2C y px 的焦点为  10F , ，准线为 ,l P为C上一点，PQ垂直 l于点 ,Q PQF 为等边三角形， 过 PQ的中点M 作直线MR / / QF ，交 x轴于 R点，则直线MR的方程为（ ） A． 3 2 3 0x y   B． 3 3 3 0x y   C． 3 2 3 0x y   D． 3 3 3 0x y   8．已知函数  f x （  f x 不恒为零），其中  f x 为  f x 的导函数，对于任意的 x， , Rx y ，满足        2 2f x y f x y f x f y    ，且  1 2f  ，  2 0f  ，则（ ） A．  0 1f  B．  4f x  是偶函数 C．  1f x  关于点  1,0 对称 试卷第 2页，共 5页 D．   12 1 2 k f k    二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知变量 x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为  3.4y bx  ，则（ ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 A． 2.3b   B．当 5x  时，对应样本点的残差为0.6 C．表中 y的所有样本数据的第 70百分位数是 11 D．去掉样本点  3,10 后，y与 x的样本相关系数不变 10．在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 190 , 4, ,BAC AB AC AA E F      分别是 1 1,BC AC 的中点，D在线段 1 1BC 上，则下面说法中正确的有（ ） A． EF / /平面 1 1AA B B B．直线 EF与平面 ABC所成角的余弦值为 2 5 5 C．直三棱柱 1 1 1ABC ABC 的外接球半径为 2 3 D．直线 BD与直线 EF所成角最小时，线段BD长为3 2 11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线” 的顶点.对于“优美曲线” 2 2 2 225 9 0C x x y y   ： ，则（ ） A．曲线C关于直线 y x 对称 B．曲线C有 4个顶点 C．曲线C与直线 3y x   有 4个交点 试卷第 3页，共 5页 D．曲线C上动点 P到原点距离的最小值为 2 7 5 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知 2 1 nax x      的展开式的二项式系数和为 64，各项系数和为 729，则其展开式的常数项为 ． 13．如图所示，将一个圆心角为120的扇形纸板OAB剪掉扇形OCD，得到扇环 ABDC ，现将扇环 ABDC围 成一个圆台侧面.若 2 6OA OC  ，则该圆台的体积为 . 14．已知函数   2lnf x x x ax   有两个极值点 ,m n，且 1 ,1 2 m      ，则    f m f n 的取值范围是 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13分） 已知数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2 1n nS a  ， (1)求 nS ； (2)若 , , n n n a n c S n     为奇数 为偶数 ， nT 为数列 nc 的前 n项和，求 2nT . 试卷第 4页，共 5页 16．（本小题 15分） 在锐角三角形 ABC中，角A， B，C的对边分别为 a，b， c，若 6a  ， 5b  ，且 sin sin2 0A B  . (1)求 cosC的值； (2)若点M ，N分别在边 AB和 AC上，且 AMN 与 ABCV 的面积之比为 1 5 ，求MN的最小值. 17．（本小题 15分） 如图，在平行六面体 ABCD A B C D    中， 2AB AD  ， A AB A AD    且 A B AC  ，设 AC与 BD的交 于点O . (1)证明: AO 平面 ABCD； (2)若 3AA  ，且 60BAD  ，求直线 A B 与平面 ABCD  所成角的正弦值. 试卷第 5页，共 5页 18．（本小题 17分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的长轴长是短轴长的 2倍，焦距为 2 3，点 A，B分别为 C的左、右顶 点，点 P，Q为 C上的两个动点，且分别位于 x轴上、下两侧， APQ△ 和 BPQ 的面积分别为 1S ， 2S ，记 1 2 .S S  (1)求椭圆 C的方程； (2)若 7 4 3   ，求证直线 PQ过定点，并求出该点的坐标； (3)若 1  ，设直线 AP和直线 BQ的斜率分别为 1k ， 2k ，求 1 2 k k 的取值范围． 19．（本小题 17分） 已知函数   e sinxf x a x a   . (1)当 3a  时，求曲线  y f x 在点   0, 0f 处的切线方程； (2)当 0a  时，函数  f x 在区间 π0, 2       内有唯一的极值点 1x . （i）求实数 a的取值范围； （ii）求证：  f x 在区间  0, π 内有唯一的零点 0x ，且 0 12x x .