19.1 矩形 暑假巩固练习 2024--2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假巩固 一、用定义判定矩形 1.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 2.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 4.已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为           . 5.数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是        ．（填“平行四边形”或“矩形”）    6.如图，在平行四边形中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若是的角平分线，请判断四边形的形状，并说明理由． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 二、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 2.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 3.下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 4.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 5.如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是      （填一个即可）． 6.如图，已知和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 7.如图，的对角线，相交于点O，E，F是上的两点，并且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件_________，使四边形是矩形． 三、利用矩形的性质求角度 1.如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为(　　)    A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为(　　)      A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 4.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为     ． 5.如图，在矩形中，点，均在对角线上，，交边于点．若，则的度数为         ．    6.如图，在矩形中，对角线相交于点O，，交于F，垂足为E，求的度数．    7.如图，矩形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点E连接； (2)若，求． 四、用角判定矩形 1.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 3.下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 4.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面          （填“合格”或“不合格”）． 5.在四边形中，，则四边形是        ． 6.如图，在中，，是边上的中线，延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F．求证：四边形是矩形． 7.如图，，直线与交于点，与交于点，，，，分别是，，，的平分线．求证：四边形是矩形． 五、利用矩形的性质求面积 1.如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 3.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　） A. B. C.5 D.10 4.已知矩形中，，，，则矩形的面积为         ． 5.如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则的面积为      ． 6.如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．    (1)求证：； (2)直接写出　　． 7.如图，为矩形对角线的交点，，；，，求四边形的面积． 六、矩形中的折叠问题 1.将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点的对应点为，与交于点，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 2.如图，矩形中，，，将其沿直线折叠使点与点重合，则的长为(　　) A. B. C. D. 3.如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形．若，，则的长为（　　）    A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，已知，折叠矩形使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则         ． 5.如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为          ． 6.如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的周长． 7.如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处，若，，求的长． 七、利用矩形的性质求线段的长度 1.矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为（　　） A.22 cm和26 cm B.22 cm和24 cm C.26 cm D.22 cm 2.如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是(　　)    A.2 B.3 C.4 D.6 3.如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则（    ）． A. B. C. D. 4.已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 =           ．    5.如图，在矩形中，点在上，连接、，，点在上，，若，则的长为      ． 6.如图，在矩形中，点在上，，垂足为．若，，    (1)证明：； (2)求的长． 7.如图，矩形ABCD的边AB在直角三角形EFG的斜边EG上滑动，已知△EFG中，；，，矩形ABCD的边，若． (1)________； (2)求线段AE的长． 八、利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有(　　) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 2.如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 3.如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，E，F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点，连接BE，DF，BD，请添加一个适当的条件，使△BED≌△DFB，     （填一个即可）． 5.如图，在矩形中，直线分别交于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是        （写出一个即可）． 6.已知：如图，四边形是矩形，，求证：． 7.如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与边、交于M、N两点，连结、．求证：四边形为平行四边形． 九、用对角线判定矩形 1.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 2.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 3.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 4.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 5.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 6.如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 7.如图，在中，点E，F分别在，上，，．求证：四边形是矩形．    十、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 2.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 3.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 5.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 6.如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于. (1)求证：； (2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形. 7.如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．连接DE，BF． (1)求证：四边形BFDE为平行四边形； (2)如图2，直接写出四边形BFDE的边满足什么条件时，BD=EF． 十一、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 2.如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　) A.23 B.16 C.22 D.15 4.如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 5.在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为      ． 6.如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 7.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由． 华东师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假巩固（参考答案） 一、用定义判定矩形 1.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C.有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意； D.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 2.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形, 故选：B. 3.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 【答案】B 【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误； B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确； C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误； D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误． 故选：B． 4.已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为           . 【答案】矩形 【解析】根据小明的作图方法可知：AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°， ∵AD＝BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：矩形． 5.数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是        ．（填“平行四边形”或“矩形”）    【答案】矩形 【解析】由两组对边长度相等可得这个木框的形状是平行四边形； 再由有一个内角是直角的平行四边形可知它是矩形， 故答案为：矩形． 6.如图，在平行四边形中，O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若是的角平分线，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 又， ． （2）解：四边形是矩形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． 二、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 【答案】D 【解析】A.正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B.正确．，，， ， ， 平行四边形为矩形． C.正确，， ， ， 平行四边形是矩形， D.错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 2.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ，， 四边形是矩形，故A不符合题意； ， ， ∵，， 四边形是矩形，故B不符合题意； ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形，故C不符合题意； ， ，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意； 故选：D． 3.下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，即对角线相等，    ∴平行四边形是矩形， ∴A选项符合题意； ∵，即一组邻边相等， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴B选项不符合题意； ∵，即对角线垂直 ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴C选项不符合题意； ∵，即一组边和对角线垂直， ∴平行四边形不能判定是矩形； ∴D选项不符合题意； 故选：A． 4.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 【答案】①③④ 【解析】①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 5.如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是      （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】添加的条件是（答案不唯一）， 理由是：，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 6.如图，已知和均是等边三角形，F点在上，延长交于点D，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当点D在线段上什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当点D在中点时，四边形是矩形，理由如下； ∵，点D在中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 7.如图，的对角线，相交于点O，E，F是上的两点，并且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件_________，使四边形是矩形． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：由（1）知， 若添加， ∴四边形是矩形， ∴添加，能使四边形是矩形.(答案不唯一) 三、利用矩形的性质求角度 1.如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】四边形是矩形， ，， ， ， ， 是等边三角形． ， 平分， ， ， ， ， ， 又 ， ， ． 故选D． 2.如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为(　　)      A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A. 3.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故选：D． 4.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA=30°，则∠BOE的度数为     ． 【答案】75° 【解析】在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB， ∴∠AEB=∠EAD=45°， ∴BE=BA． ∵∠OAD=∠ODA=30°， ∴∠BAC=60°． 又∵OA=OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴BO=BA， ∴BO=BE． ∵AD∥BC， ∴∠OBE=∠ADO=30°， ∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°． 5.如图，在矩形中，点，均在对角线上，，交边于点．若，则的度数为         ．    【答案】 【解析】∵，， ∴, ∵四边形是矩形， ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, 故答案为：． 6.如图，在矩形中，对角线相交于点O，，交于F，垂足为E，求的度数．    【答案】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 7.如图，矩形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点E连接； (2)若，求． 【答案】解：（1）如图，射线AE即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵AE平分BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝45°， ∴BA＝BE， ∵∠OAE＝15°， ∴∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝BE，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°． 四、用角判定矩形 1.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以，, 则，，, 因为、、、分别是、、、的角平分线， 所以，， 所以，, 在中，， 即； 在中，， 即； 在中，， 即； 所以四边形是矩形, 故选：B. 2.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 【答案】A 【解析】∵， ③∴，． ②∴，． ①∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 所以，顺序为③②①． 故选：A． 3.下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； C.不是四边形，即不是矩形，不符合题意； D.该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 4.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面          （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【解析】∵， 即：， ∴， 同理：， ∴四边形是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 5.在四边形中，，则四边形是        ． 【答案】矩形 【解析】对于四边形，其内角和为， 即， 又∵， ∴． 故答案为：矩形． 6.如图，在中，，是边上的中线，延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 7.如图，，直线与交于点，与交于点，，，，分别是，，，的平分线．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵， ． ，分别是，的平分线， ，， ， ． 同理可得． 又， ，， ，即， 四边形是矩形． 五、利用矩形的性质求面积 1.如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 【答案】C 【解析】为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∠ABC=90°， ∴AO=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=AB， ∴AC=2AO=8， ∴， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=． 故选：B． 3.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　） A. B. C.5 D.10 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴OB＝OA＝OC， ∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝OC， ∴， 在中， ∵AB2+BC2＝AC2，BC＝5， ∴AB2+＝（2AB）2， 解得：AB＝5， ∴△ABC的面积是， 故选：A． 4.已知矩形中，，，，则矩形的面积为         ． 【答案】20 【解析】连接，相交于点M，过A作轴，过C作轴，过B作轴，交于点G，交于点F， ， ∵矩形， ∴M为，的中点， 又，，， ∴， 解得， ∴，， ∴矩形的面积为． 故答案为：20． 5.如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则的面积为      ． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是矩形， CD=AB=2，AD=BC=4， ∵EO是AC的垂直平分线， ∴AE=CE， 设CE=x，则ED=AD-AE=4-x， 在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2， 即x2=22+（4-x）2， 解得：x=， 即CE的长为， DE=， 所以△DCE的面积= ， 故答案为：． 6.如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．    (1)求证：； (2)直接写出　　． 【答案】解：（1）四边形为矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）四边形为矩形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， 故答案为：． 7.如图，为矩形对角线的交点，，；，，求四边形的面积． 【答案】解：∵，， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∴DE=OC，OD=CE， ∵CD=CD， ∴△EDC≌△OCD(SSS)， ∴， ∵四边形ABCD是矩形，为矩形对角线的交点， ∴OB=OD，CD=AB=6， ∴， ∴ ∴. 六、矩形中的折叠问题 1.将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点的对应点为，与交于点，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】矩形中，， ，，， 由折叠的性质得，， ， ， 设，而，则， ， ， ， ， ， 故选C． 2.如图，矩形中，，，将其沿直线折叠使点与点重合，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3.如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形．若，，则的长为（　　）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，    由折叠过程可知：，，，，，，，， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理知， ∴， 故选：B． 4.如图，在矩形中，已知，折叠矩形使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则         ． 【答案】 【解析】设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 则， 在中，得， 在中，得， 即， 解得， ∴， 故答案为：. 5.如图，在矩形中，，点E为上一点，将沿翻折至，延长交于点O，交的延长线于点 G，且，则的长为          ． 【答案】 【解析】∵四边形为矩形，， ∴． 由折叠可知：． ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则 ． ∴． 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 6.如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解；如图所示，过点G作于K，则四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴的周长． 7.如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处，若，，求的长． 【答案】解：在矩形中，，， ∴，， ∴， 根据折叠可得：， ∴，， 设，则，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 七、利用矩形的性质求线段的长度 1.矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为（　　） A.22 cm和26 cm B.22 cm和24 cm C.26 cm D.22 cm 【答案】A 【解析】如图1，∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长, 如图2，∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的周长， 综上所述，矩形的周长为22 cm或26 cm， 故选：A. 2.如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是(　　)    A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】A 【解析】四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 3.如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是矩形，则，又，， ∴， ∵，对角线， ∴， 故选：C． 4.已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 =           ．    【答案】 【解析】如图，    延长交于点，连接， ∵是矩形的对角线的中点， ∴， ∵， ∴, ∴（）， ∴，． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，, ∴， ∴． 故答案为． 5.如图，在矩形中，点在上，连接、，，点在上，，若，则的长为      ． 【答案】 【解析】 ，设， ， 在矩形中，， ，， ， ， ， 如图，作于点M， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， 由勾股定理有：，即， 解得， ， ， 故答案为：. 6.如图，在矩形中，点在上，，垂足为．若，，    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】解：（1）在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）， ，， 在中，由勾股定理可得，则， ， 7.如图，矩形ABCD的边AB在直角三角形EFG的斜边EG上滑动，已知△EFG中，；，，矩形ABCD的边，若． (1)________； (2)求线段AE的长． 【答案】解：（1）∵，，， ∴由勾股定理可得： ； 故答案为：10； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAG = 90°， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴线段AE的长为：． 八、利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有(　　) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴，即 在和中， , ∴, ∵ ∴, ∵， ∴ ∴ 又 ∴， 所以，图中全等三角形共有3对， 故选：B. 2.如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 【答案】C 【解析】过点C作，交的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积是定值，故A正确； ∵， ∴的值不变，故B正确； ∵， ∴，故D正确； ∴的值不变不成立， 故选：C． 3.如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，故正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵根据条件无法推出平分， ∴推导不出， 故推导不出，故错误，符合题意． 故选：． 4.如图，E，F是矩形ABCD的边AD和BC上的两点，连接BE，DF，BD，请添加一个适当的条件，使△BED≌△DFB，     （填一个即可）． 【答案】ED＝FB（答案不唯一） 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 所以添加ED＝FB， 利用SAS即可使△BED≌△DFB． 故答案为：ED＝FB（答案不唯一）． 5.如图，在矩形中，直线分别交于点E，F，O，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是        （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】添加条件为：， 证明如下：∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 6.已知：如图，四边形是矩形，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，，           ∵， ∴，           ∴，           ∴，           ∴， ∴． 7.如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与边、交于M、N两点，连结、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明∵四边形是矩形，O为对角线的中点， ∴，， ∴，． 在和中， , ∴, ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． 九、用对角线判定矩形 1.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 【答案】D 【解析】.两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意； 故选：． 2.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 3.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴， 当时， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A． 4.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 【答案】矩 【解析】四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 5.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 【答案】矩 【解析】∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 6.如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：（1）连接，设与交于点．如图所示： 四边形是平行四边形， ，， 又， ． 四边形是平行四边形． （2）由(1）知：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 7.如图，在中，点E，F分别在，上，，．求证：四边形是矩形．    【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 十、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； ②∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ③连接， ∵四边形是矩形， ∴过点E，． 若，则，显然与不一定相等，故③不正确； ④∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选D． 2.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 3.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，但对角线不一定垂直， 故选项C不一定正确； 故选：C． 4.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 【答案】①②④ 【解析】平移恰好到， 四边形为平行四边形， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 平分，故正确； 平分，平分， ，， 但， ，故错误； 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，故正确． 故选①②④． 5.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 【答案】 【解析】①，， ，， 将绕点逆时针旋转， ，，，，， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)， ，，， 平分，故①正确； ②，， ， ， ，， ， ，故②正确； ③如图，连接， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 点是的中点，故③正确， ④，， ， ， ，故④不合题意， 故答案为：①②③． 6.如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于. (1)求证：； (2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形. 【答案】（1）证明： ，， ，， 又 平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 即； （2）解： ，，，且，， 四边形为矩形， 由（1）得，， 故，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形． 故，，，是等腰直角三角形． 7.如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．连接DE，BF． (1)求证：四边形BFDE为平行四边形； (2)如图2，直接写出四边形BFDE的边满足什么条件时，BD=EF． 【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，，OB=OD． ∴∠OAE=∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF， ∵OB=OD， ∴四边形BFDE为平行四边形； （2）解：四边形DEBF的边满足DE⊥BE时，BD=EF，理由如下： 由（1）得：四边形DEBF是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴平行四边形DEBF是矩形， ∴BD=EF． 十一、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】过点E作于点P， 在矩形中， ，， ∴四边形和四边形为矩形， 又，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 令，则， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 故选：A． 2.如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3.如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　) A.23 B.16 C.22 D.15 【答案】B 【解析】如图，延长到点，使得，连接． ，四边形是矩形， ∴， 四边形和四边形是矩形． ∴，， ， ， ， ． 分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小， 且的值等于的值． 在中，， 四边形的周长的最小值是 ． 4.如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 【答案】 【解析】由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，连接， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 5.在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为      ． 【答案】 【解析】连接， ，， ， ，且，， 四边形是矩形， ，， 又是的中点， ， 当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据 垂线段最短，即当时值最小， 此时， ， ， ， 故答案为：． 6.如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 7.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由． 【答案】解：（1）如图，连接， ， ， 又，， ， ， ， 又， ， ， ， 由旋转的性质可得，， ， 又， 四边形是平行四边形， ． （2）情况1：如图，当点在线段上时， ，点在线段上， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 此时旋转角的度数为． 情况2：如图，当点在线段的延长线上时， ，点在线段的延长线上， ， 又是平行四边形， 是矩形， ， 又， ， 此时旋转角的度数为， 故存在，此时旋转角的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$