19.1 矩形 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假巩固 一、用定义判定矩形 1.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 2.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 4.补全下列解题过程． 如图，点为的边上的中点，且．求证：是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴                 ． ∵，∴． ∴． ∴是矩形（                             ）． 5.如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DEAB交AE于E，则四边形ADCE的形状是           . 6.如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状． 7.如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 二、用对角线判定矩形 1.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 2.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 3.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 4.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 5.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 6.已知：如图，中，是中点，连接，延长线交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 7.如图，在平行四边形中，点E、F分别为中点，G、H分别在边上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 三、利用矩形的性质求面积 1.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 2.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　） A. B. C.5 D.10 3.三角形具有稳定性，但是四边形不具有．水平向左推动如图所示的矩形，得到新的四边形（点E在矩形的内部），直线交于点G，连接，在向左推动的过程中的面积变化情况是(　　)    A.越来越大 B.越来越小 C.不变 D.不一定如何变化 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是CD中点，且∠COD=60°．如果AB=2，那么矩形ABCD的面积是    ． 5.如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，以BC为一边，在BC上方作等边三角形BCE，连接DE，BD则的面积为                        ． 6.如图，在矩形中，，，过对角线的中点作，分别交，于点，，连接，．求四边形的面积．    7.如图，在矩形中，分别过点作对角线的垂线段，垂足分别是连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 四、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 2.如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(　　) A. B. C. D. 3.下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件        ，使四边形是矩形． 5.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 6.如图，和相交于点O，，点E、F分别是、的中点． (1)求证： (2)当______时，四边形是矩形，请说明理由． 7.如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，连接，，，添加条件________，能使四边形成为矩形，并说明理由． 五、利用矩形的性质求角度 1.如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3.如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为(　　)    A. B. C. D. 4.矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数为          ． 5.如图，在矩形中，已知，则的度数为      ． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝120°，求∠D的度数． 7.如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 六、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是(　　)cm2 ． A.16 B.4 C.8 D.16 2.如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　) A.240 B.192 C.120 D.96 3.如图，在四边形中，，于点，若四边形的面积是，则的长是(　　) A. B. C. D. 4.如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是    ．      5.如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 6.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由． 7.如图，在中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 七、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 2.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 3.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 5.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 6.如图，已知在中，平分，平分． (1)尺规作图：在射线上找一点E，使得线段的长度最小；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 7.如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于. (1)求证：； (2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形. 八、利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有(　　) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 2.如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 3.如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 4.在矩形中，，是对角线的交点，过作于点，的延长线与的平分线相交于点，与交于点．下列四个结论中正确的是       ． ①；②；③；④；⑤是等边三角形． 5.如图，E是矩形的边上一点，，P是对角线上任意一点，，垂足分别为F和G，则一定与图中哪条线段的长度相等：     ． 6.如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 7.如图，在矩形中，是线段上的一点，连接． (1)在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 证明：四边形是矩形， ①______， ． ②______， ③______， ， ④______， ⑤______， 四边形是平行四边形， ． 九、用角判定矩形 1.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 2.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.图是甲、乙两名同学的作业（题中为等腰三角形，）. 对于两人的作业，下列说法正确的是(　　) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 4.工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 5.课本在线我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流． 定理  有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．    已知：如图，四边形中，． 求证：__________________． 证明：， _______________° （______________）， 又， ______________． ． 四边形是平行四边形（______________）． 又， 是矩形（______________）． 6.如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形. 7.如图，，直线与交于点，与交于点，，，，分别是，，，的平分线．求证：四边形是矩形． 十、利用矩形的性质求线段的长度 1.如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（　　） A. B. C.1 D. 2.矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为(　　) A. B. C. D. 3.如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　) A.3 B.4 C. D.5 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为          ． 5.如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，．若，，则        ． 6.如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．    (1)求证：． (2)若，求长． 7.已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 十一、矩形中的折叠问题 1.如图，矩形中，，，将其沿直线折叠使点与点重合，则的长为(　　) A. B. C. D. 2.矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是(　　) A. B. C. D. 3.把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是(　　) A.32 B.20 C.16 D.10 4.如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则阴影部分的面积为      ． 5.如图，将矩形纸片折叠，使点与重合，若，则折痕的长度是     ． 6.如图，矩形沿着直线对折，点恰好落与边上的点重合，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 7.如图，将矩形（）沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．    (1)求的长； (2)求和的面积； (3)求中点到边上的距离． 华东师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假巩固（参考答案） 一、用定义判定矩形 1.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 【答案】B 【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误； B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确； C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误； D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误． 故选：B． 2.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形, 故选：B. 3.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C.有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意； D.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 4.补全下列解题过程． 如图，点为的边上的中点，且．求证：是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴                 ． ∵，∴． ∴． ∴是矩形（                             ）． 【答案】；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵，∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是角的平行四边形是矩形）． 故答案为 ；有一个角是角的平行四边形是矩形. 5.如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DEAB交AE于E，则四边形ADCE的形状是           . 【答案】矩形 【解析】∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE=∠EAC， ∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC， ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC， ∴， 又∵， ∴四边形EABD是平行四边形， ∴AE平行且等于BD， ∵AB=AC，点D为BC的中点, ∴BD=DC=AE， ∴四边形EADC是平行四边形, 又∠ADC=90°, ∴平行四边形EADC是矩形． 故答案为：矩形． 6.如图，在中，D是的中点，E是的中点．过点B作交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵且， ∴四边形是平行四边形． ∵且点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 7.如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：（1）四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形． ． （2），平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 二、用对角线判定矩形 1.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 2.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴， 当时， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A． 3.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 【答案】D 【解析】.两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意； 故选：． 4.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 【答案】矩 【解析】四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 5.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 【答案】矩 【解析】∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 6.已知：如图，中，是中点，连接，延长线交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 平行四边形是矩形． 7.如图，在平行四边形中，点E、F分别为中点，G、H分别在边上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别为中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 三、利用矩形的性质求面积 1.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可知，故A正确； 根据矩形的性质得，，故B，D正确， 而与不一定相等， 故选：C． 2.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，∠BOC＝120°，则ABC的面积为（　　） A. B. C.5 D.10 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴OB＝OA＝OC， ∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝OC， ∴， 在中， ∵AB2+BC2＝AC2，BC＝5， ∴AB2+＝（2AB）2， 解得：AB＝5， ∴△ABC的面积是， 故选：A． 3.三角形具有稳定性，但是四边形不具有．水平向左推动如图所示的矩形，得到新的四边形（点E在矩形的内部），直线交于点G，连接，在向左推动的过程中的面积变化情况是(　　)    A.越来越大 B.越来越小 C.不变 D.不一定如何变化 【答案】A 【解析】在向左推动的过程中，始终有， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵在向左推动的过程中，、均变大， ∴越来越大， 故选：A． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是CD中点，且∠COD=60°．如果AB=2，那么矩形ABCD的面积是    ． 【答案】4 【解析】∵四边形ABCD是矩形, ∴OA＝BO，∠COD=∠AOB＝60°, ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝2， ∴∠BAD＝90°，AO＝COAC，BO＝DOBD，AC＝BD＝2OB＝4， ∴AD2， ∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝2×24； 故答案：4． 5.如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，以BC为一边，在BC上方作等边三角形BCE，连接DE，BD则的面积为                        ． 【答案】 【解析】作EF⊥BC于点F，如图， ∵△BCE是等边三角形，BC=4， ∴∠ECF=60°，EC=BC=4，BF=CF=2， ∴， ∴S△BDE=S四边形BCDE－S△BCD = S△BCE+S△CDE－S△BCD = =； 故答案为：． 6.如图，在矩形中，，，过对角线的中点作，分别交，于点，，连接，．求四边形的面积．    【答案】解：∵过对角线的中点作， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在矩形中，，即， ∴， ∵是对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为：， ∴四边形的面积为． 7.如图，在矩形中，分别过点作对角线的垂线段，垂足分别是连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】解：（1） 矩形， （2） 矩形， 四、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ，， 四边形是矩形，故A不符合题意； ， ， ∵，， 四边形是矩形，故B不符合题意； ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形，故C不符合题意； ， ，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意； 故选：D． 2.如图，增加下列一个条件可以使平行四边形成为矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.四边形是平行四边形， ，故选项A不符合题意； B.四边形是平行四边形， ，故选项B不符合题意； C.四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故选项C符合题意； D.四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3.下列条件中，能判定平行四边形是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，即对角线相等，    ∴平行四边形是矩形， ∴A选项符合题意； ∵，即一组邻边相等， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴B选项不符合题意； ∵，即对角线垂直 ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形； ∴C选项不符合题意； ∵，即一组边和对角线垂直， ∴平行四边形不能判定是矩形； ∴D选项不符合题意； 故选：A． 4.如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件        ，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即. 故答案为：（答案不唯一）． 5.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 【答案】①③④ 【解析】①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 6.如图，和相交于点O，，点E、F分别是、的中点． (1)求证： (2)当______时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】解：（1）， ∴， ， 在与中, ， ， ， ∵点分别是的中点， ， ； （2）当时，四边形是矩形，理由为： ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形. 故答案为：. 7.如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，连接，，，添加条件________，能使四边形成为矩形，并说明理由． 【答案】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加，， ， 为矩形， 添加， ， 为矩形， 添加， ， 为矩形． 故答案为：或或. 五、利用矩形的性质求角度 1.如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接，    四边形是矩形， ，，，， ， ∵，，， ∴， ∴, ， ， ， , ， ， ． 故选：B． 2.如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3.如图，是矩形的对角线交点，平分，，的度数为(　　)    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】四边形是矩形， ，， ， ， ， 是等边三角形． ， 平分， ， ， ， ， ， 又 ， ， ． 故选D． 4.矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数为          ． 【答案】 【解析】四边形为矩形， ，，，， ， ， ，， . 5.如图，在矩形中，已知，则的度数为      ． 【答案】 【解析】四边形是矩形， ∴，，， ∴， ， ∴, , , 故答案为：． 6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF． （1）求证：△ABE≌△FCE； （2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝120°，求∠D的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC,即AB//DF， ∴∠ABE=∠FCB， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE. 在△ABE和△FCE中， ∴△ABE≌△FCE. （2）∵四边形ABFC是矩形， ∴AF=BC，AE=AF，BE=BC， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠BAE， ∵∠AEC=120°， ∴∠ABE=∠BAE=60°， ∵平行四边形ABCD， ∴∠D=∠ABE=60°． 7.如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，OC＝OD， ∴△OCD是等腰三角形， ∴∠DCO＝∠ODC， ∵CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE， ∴∠DOC＝∠ECO＝45°， ∴∠DCO＝＝67.5°， ∴∠DCE＝∠DCO﹣∠OCE＝22.5°． 六、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8 cm，则平行四边形ABCD的面积是(　　)cm2 ． A.16 B.4 C.8 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8 cm， ∴AO=OB=AB=4 cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 2.如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　) A.240 B.192 C.120 D.96 【答案】B 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为， 故选：B． 3.如图，在四边形中，，于点，若四边形的面积是，则的长是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，过点D作交的延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积四边形的面积， ∴， ∴， 故选C． 4.如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是    ．      【答案】 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是由翻折得到的，， ∴，点、、在同一条直线上， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5.如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为     ． 【答案】 【解析】由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，连接， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 6.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，过点作交直线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，在绕点旋转过程中是否存在某个时刻，使得，如果存在，请直接写出此时的度数；如果不存在，说明理由． 【答案】解：（1）如图，连接， ， ， 又，， ， ， ， 又， ， ， ， 由旋转的性质可得，， ， 又， 四边形是平行四边形， ． （2）情况1：如图，当点在线段上时， ，点在线段上， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 此时旋转角的度数为． 情况2：如图，当点在线段的延长线上时， ，点在线段的延长线上， ， 又是平行四边形， 是矩形， ， 又， ， 此时旋转角的度数为， 故存在，此时旋转角的度数为或． 7.如图，在中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，为线段的中点， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 七、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； ②∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ③连接， ∵四边形是矩形， ∴过点E，． 若，则，显然与不一定相等，故③不正确； ④∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选D． 2.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，但对角线不一定垂直， 故选项C不一定正确； 故选：C． 3.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 4.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 【答案】①②④ 【解析】平移恰好到， 四边形为平行四边形， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 平分，故正确； 平分，平分， ，， 但， ，故错误； 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，故正确． 故选①②④． 5.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 【答案】 【解析】①，， ，， 将绕点逆时针旋转， ，，，，， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)， ，，， 平分，故①正确； ②，， ， ， ，， ， ，故②正确； ③如图，连接， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 点是的中点，故③正确， ④，， ， ， ，故④不合题意， 故答案为：①②③． 6.如图，已知在中，平分，平分． (1)尺规作图：在射线上找一点E，使得线段的长度最小；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】解：（1）如图所示，点E即为所求； ∵在中，平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴根据平行线间间距线段和点到直线的距离垂线段最短可知点E即为所求； （2）∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴. 7.如图1，四边形中，，，且，，的平分线交边于，的平分线交于，交于. (1)求证：； (2)如图2，若，、交于点，写出图中所有等腰直角三角形. 【答案】（1）证明： ，， ，， 又 平分，平分， ，， ，， ，， ， ， 即； （2）解： ，，，且，， 四边形为矩形， 由（1）得，， 故，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形． 故，，，是等腰直角三角形． 八、利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有(　　) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴，即 在和中， , ∴, ∵ ∴, ∵， ∴ ∴ 又 ∴， 所以，图中全等三角形共有3对， 故选：B. 2.如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 【答案】C 【解析】过点C作，交的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积是定值，故A正确； ∵， ∴的值不变，故B正确； ∵， ∴，故D正确； ∴的值不变不成立， 故选：C． 3.如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.由矩形，可得，， ． 又， ，故A正确； B.由，可得， 由矩形，可得， 又， ，故B正确； C.由，可得， 由矩形，可得， ，故C正确； D.不一定等于， 直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误； 故选：D． 4.在矩形中，，是对角线的交点，过作于点，的延长线与的平分线相交于点，与交于点．下列四个结论中正确的是       ． ①；②；③；④；⑤是等边三角形． 【答案】②③④⑤ 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠FAB=45°， ∴∠AFB=45°， ∴∠AFC=135°，CF与AH不垂直， ∴点F不是AH的中点，即AF≠FH， ∴①错误； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC=OD=OB，BD=AC， ∵∠ADB=30°， ∴∠ABO=60°， ∴△ABO是等边三角形，故⑤正确； ∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠AFB， ∴∠BAF=∠AFB， ∴AB=BF， ∵AB=BO， ∴BF=BO， ∴②正确； ∵∠BAO=60°，∠BAF=45°， ∴∠CAH=15°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEO=90°， ∵∠EOC=60°， ∴∠ECO=30°， ∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH， ∴AC=CH， ∴③正确； ∵△AOB是等边三角形， ∴AO=OB=AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AB=CD， ∴DC=OC=OD， ∵CE⊥BD， ∴DE=EO=DO=BD， 即BE=3ED， ∴④正确； 所以其中正确结论有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 5.如图，E是矩形的边上一点，，P是对角线上任意一点，，垂足分别为F和G，则一定与图中哪条线段的长度相等：     ． 【答案】或 【解析】连接，如图， ∵，，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：或． 6.如图，矩形的对角线与相交于点O，延长到点E，使，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形. 7.如图，在矩形中，是线段上的一点，连接． (1)在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 证明：四边形是矩形， ①______， ． ②______， ③______， ， ④______， ⑤______， 四边形是平行四边形， ． 【答案】（1）解：作图如下： （2）证明：四边形是矩形， ①， ． ∵②， ③， ， ④， ⑤， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：①；②；③；④；⑤. 九、用角判定矩形 1.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 【答案】A 【解析】∵， ③∴，． ②∴，． ①∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 所以，顺序为③②①． 故选：A． 2.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以，, 则，，, 因为、、、分别是、、、的角平分线， 所以，， 所以，, 在中，， 即； 在中，， 即； 在中，， 即； 所以四边形是矩形, 故选：B. 3.图是甲、乙两名同学的作业（题中为等腰三角形，）. 对于两人的作业，下列说法正确的是(　　) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 【答案】A 【解析】由甲同学的作业可知，，， ∴平分， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 由乙同学的作业可知，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 综上，甲、乙两位同学的作业都符合题意， 故选：A． 4.工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 【答案】三个角是直角的四边形为矩形 【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形． 故答案为：三个角是直角的四边形为矩形. 5.课本在线我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流． 定理  有三个角是直角的四边形是矩形． 定理证明： 为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．    已知：如图，四边形中，． 求证：__________________． 证明：， _______________° （______________）， 又， ______________． ． 四边形是平行四边形（______________）． 又， 是矩形（______________）． 【答案】四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 又， ． ． 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 又， 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：四边形是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形. 6.如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形. 【答案】证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形. 7.如图，，直线与交于点，与交于点，，，，分别是，，，的平分线．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵， ． ，分别是，的平分线， ，， ， ． 同理可得． 又， ，， ，即， 四边形是矩形． 十、利用矩形的性质求线段的长度 1.如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是（　　） A. B. C.1 D. 【答案】A 【解析】如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴线段是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：A. 2.矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设矩形的长与宽分别为x、y，根据题意列出方程组得： ， 由②得， 即， ∴， ∴对角线的长为 (cm)． 故选：A． 3.如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　) A.3 B.4 C. D.5 【答案】B 【解析】四边形是矩形，且， ， ， 是等边三角形，， 故选：B． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为          ． 【答案】 【解析】如图，连接，AC，BD． ∵O是矩形的对称中心， ∴O也是对角线的交点， 过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OD=OB， ∵OM⊥AD， ∴AM=DM=AD=BC=4， ∴OM=AB=3， ∵AE=2， ∴EM=AM-AE=2， ∴OE==， 同法可得OF=， ∴OE+OF=2， 故答案为：2． 5.如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，．若，，则        ． 【答案】 【解析】连接， 由题意可知，的垂直平分线段， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， 又， 在中，， ， ， 在和中， ， ≌ ， ， 故答案为：． 6.如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．    (1)求证：． (2)若，求长． 【答案】解：（1）四边形是矩形， ， ， 将矩形绕点顺时针旋转至矩形点正好落在上的点处， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作于，过点作于，    四边形是矩形， ， 将矩形绕点顺时针旋转， ，，， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ． 7.已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 【答案】解：（1）由旋转可知， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，作于点M， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵平分， ∴． 由旋转可知，， ∴，． 在和中， ∴． ∴， ∴H为的中点． （3）∵， ∴设，，， ∵， ∴, ∴, ∵， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 十一、矩形中的折叠问题 1.如图，矩形中，，，将其沿直线折叠使点与点重合，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2.矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接，交于点， 在矩形中，，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 3.把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是(　　) A.32 B.20 C.16 D.10 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，， ， ， 由勾股定理得： 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 故选：D． 4.如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片，使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则阴影部分的面积为      ． 【答案】9 【解析】∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处， ∴，，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴, ∴， 故答案为：9. 5.如图，将矩形纸片折叠，使点与重合，若，则折痕的长度是     ． 【答案】 【解析】∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， 如图，记的交点为， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，矩形沿着直线对折，点恰好落与边上的点重合，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】解：（1）是等腰三角形．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质知：， ∴， ， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ， 由折叠的性质知：， 设，则， ∵在中，， 即， 解得， ， ∴． 7.如图，将矩形（）沿折叠后，点落在点处，且交于点，若，．    (1)求的长； (2)求和的面积； (3)求中点到边上的距离． 【答案】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，由折叠性质得：， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得：， ∴； （2）由折叠的性质得：，，， ， ∴ ， ； （3） ， 设到边上的距离为， 则 ，即： ， 解得： ， ∴到边上的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $$