2.2 基本不等式 课后提升训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2基本不等式课后提升训练 人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学 一、单项选择题 1．若，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 3．若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 6．已知，则的最小值是（    ） A．0 B．－1 C． D．1 7．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 8．已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 二、多项选择题 9．已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 10．已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 11．若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则的最小值为 ． 13．已知，若，则的最大值为 ． 14．已知，，且，则的最小值是 . 四、解答题 15．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 16．（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 17．已知，，，，求证： (1)； (2)． 18．求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 19．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 参考答案 一、单项选择题 1．B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1． 故选：B 2．D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 3．B 【分析】解法一，利用代换法和均值不等式即可求解； 解法二，由权方和不等式：已知均为正实数，则，当且仅当时等号成立．来求解即可； 解法三，利用等式消元化为函数来求值域即可. 【详解】解法一：因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 解法二：由权方和不等式可得：， 当且仅当时，取得最小值2. 解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则， 即． 故当时，取得最小值为2. 故选：B. 4．A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 5．D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 6．A 【分析】方程可变形为，由，，知，，令，，根据基本不等式构造关系求解. 【详解】方程可变形为， 由，，知，， 令，，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值是0． 故选：A． 7．C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 8．B 【分析】利用换元法，设，用表示出目标式，结合函数单调性可求答案. 【详解】设，又，且． 所以，当且仅当“”时取等号． 则， 故选：B． 二、多项选择题 9．AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 10．AC 【分析】利用基本不等式判断AB；利用三元基本不等式判断CD. 【详解】对于A,B，由题得，则， 故， 当且仅当时等号成立，A正确，B错误； 对于C,D，因为，所以，所以， 所以，故， 当且仅当，时等号成立，C正确，D错误． 故选：AC. 11．CD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． 三、填空题 12．3 【分析】根据已知条件得到，代入到要求的式子中，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 故答案为：. 13．2 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2． 故答案为：2 14．8 【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则. 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是8. 故答案为：8. 三、解答题 15．(1)=6m，=4m (2)=5m，= 【分析】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案； （2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）设长为，宽为， 则围成四块田地的篱笆总长为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小； （2）设长为，宽为，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大. 16．（1）；（2）16；（3） 【分析】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解. （2）利用的形式变形得出，再利用基本不等式求解. （3）直接利用基本不等式，解关于的不等式. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式，利用即可证明； （2）由柯西不等式，利用即可证明. 【详解】（1），当，即时取等， ． （2），当，即时取等， ． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$