第一单元 长方体和正方体（知识清单）数学苏教版六年级上册

第一单元 长方体和正方体 单元知识清单讲义 知识点一：长方体和正方体的认识 1．长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2．正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3．正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 知识点二：长方体和正方体的表面积 1．长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2．正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3．利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 知识点三：体积和容积的认识及其单位 1．体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2．容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3．体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4．容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 知识点四：长方体和正方体的体积 1．长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2．正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3．运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4．体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 知识点五：体积单位间的进率 1．相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 2．高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 3．体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 题型1：长方体和正方体的认识 【例1】有一个长26厘米、宽18厘米、高0.6厘米的物体，它可能是（    ）。 A．数学书 B．橡皮 C．新华字典 D．黑板擦 【练1】用同样的小正方体拼成一个较大的正方体，至少需要（    ）个。 A．4 B．6 C．8 D．9 题型2：长方体和正方体棱长的应用 【例2】手工课上，小美用一根长（    ）的铁丝做成一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体框架后，还缺2分米。 A．70分米 B．72分米 C．74分米 D．212分米 【练2】口用沙布做一个棱长是8厘米的正方体沙包如下图，如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长度是（    ）厘米。 A．96 B．64 C．192 题型3：长方体和正方体的展开图 【例3】下面是一个无盖的长方体纸盒的展开图。与②号面相对的是（    ）号面。 A．④ B．⑤ C．无法确定 【练3】一个正方体的六个面上分别写着红、橙、黄、绿、青、蓝，根据下面三种摆放位置可知，与红相对的面是（    ）。 A．橙 B．绿 C．黄 题型4：长方体表面积的计算 【例4】如图，一个有盖的近似长方体铁皮茶叶盒，长15厘米，宽8厘米，高6厘米。做这个茶叶盒至少要用铁皮（ ）平方厘米（重叠处忽略不计）。 【练4】一个长方体木箱，底面周长是3米，高5分米，表面积是258平方分米。这个木箱的底面积是（ ）平方分米。 题型5：正方体表面积的计算 【例5】一个棱长是2米的无盖正方体蓄水箱，它的占地面积是（ ）平方米，制作一个至少需要（ ）平方米铁皮。 【练5】把棱长为6dm的正方体木料横截成2个相同的长方体，表面积增加了（ ）dm2。 题型6：体积和容积的认识 【例6】物体所占空间的大小叫作物体的（ ）。容器所能容纳物体的体积叫作容器的（ ）。 【练6】口小明和小红买了同样两瓶可乐，各倒入两种大小不同的杯子里，小明正好倒满4杯，小红正好倒满3杯，（ ）用的杯子的容积大一些。 题型7：体积和容积单位的认识及选择 【例7】在括号里填合适的单位。 一间教室的占地面积大约是60（ ），空间大约是180（ ）。 一个热水瓶的容积大约是2（ ）。 一块橡皮的体积大约是6（ ）。 【练7】边阅读边思考，在括号填入合适的单位名称。 大同，山西省第二大城市，古称云中、平城、云州，中国重要的综合能源基地。总面积14176（ ），常住人口310.02万人。地处温带大陆性季风气候区，干旱多风，温差较大，年平均气温6.4（ ），年降水量大约400～500（ ）。大同市城墙略呈方形，城墙内芯为三合土夯筑，外包每块重达8.5（ ）的青砖。御河上建造的七座桥犹如七朵金花，既满足了现代城市交通的需要，也成为一道靓丽的风景线，其中南环桥全长1320（ ），在上面行驶的车辆限速70（ ）。 题型8：长方体的体积计算 【例8】用一根长96厘米的铁丝焊接成一个长方体框架（焊接处忽略不计），已知框架的长是10厘米，宽是8厘米，这个框架的体积是（ ）立方厘米。 【练8】一根长方体木料长2米，横截面是边长0.2米的正方形，这根木料的体积是（ ）立方米。 题型9：正方体的体积计算 【例9】用一根36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，再在外面糊一层纸，纸的面积至少是（ ）平方厘米，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。 【练9】从一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体木块儿中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米，剩下的木块的体积是（ ）立方分米。 题型10：体积、容积单位间的换算 【例10】30立方厘米＝（ ）立方分米        500立方分米＝（ ）立方米 0.08升＝（ ）立方厘米        85毫升＝（ ）升 【练10】在括号里填合适的数。 （ ）        （ ）（ ） 7.8L＝（ ）mL＝（ ）cm3    （ ） 题型11：长方体和正方体的容积 【例11】一个正方体铁皮油箱的棱长为2.5分米，如果里面的油深2分米，这个油箱里有油（ ）升。 【练11】爸爸做一个玻璃鱼缸，已经准备了4块长方形玻璃，其中的两块长5分米、宽3分米，另两块长4分米、宽3分米。还需要配一块长（ ）分米、宽（ ）分米的长方形玻璃，才能做成一个容积是（ ）升的鱼缸。 题型12：组合体的表面积 【例12】求下面图形的表面积。 【练12】计算下图的表面积。（单位：分米） 题型13：组合体的体积 【例13】求如图图形的表面积和体积。 【练13】如图，一个底面是正方形的长方体被截去一段，已知底面正方形的边长是5厘米，求这个图形的体积。 题型14：运用长方体和正方体的表面积解决问题 【例14】用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 【练14】张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 题型15：体积的等积变形 【例15】一个装满水的正方体容器，棱长是4分米。把它里面的水倒入长8分米、宽6分米的长方体鱼缸内（水未溢出），水面有多高？ 【练15】一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 题型16：立体图形的切拼问题 【例16】一个长方体长8分米，高7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方体，表面积就增加160平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【练16】食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 题型17：测量不规则物体的体积 【例17】一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。 【练17】一个长方体鱼缸的底面是一个边长6分米的正方形，深1米。 （1）小明往里倒入72升的水，水深多少分米？ （2）他又往里放入了一些彩石（彩石全部没入水中），水面上升了3分米，一共放入了多少立方分米的彩石？ 1．左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 2．用5个相同的小正方体摆成下面的立体图形，要想摆成正方体，至少还需（    ）个这样的小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．一个长方体的长是12厘米，宽是10厘米，棱长总和是120厘米，高是（    ）厘米。 A．1 B．6 C．8 D．15 4．用一些1立方厘米的小正方体摆出一个大正方体，大正方体的体积可能是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．32 5．一个长方体硬纸盒，长30厘米、宽15厘米、高15厘米，做这样一个纸盒需要多少平方厘米的硬纸，下面列式错误的是（    ）。 A．30×15×2＋30×15×2＋15×15×2 B．30×15×4＋15×15×2 C．（30＋15）×2×15＋30×15×2 D．15×15×4＋30×15×2 6．把一张A4纸（长约30厘米、宽21厘米）从四个角各剪去一个相同的正方形，可以折成一个无盖的长方体纸盒。下面哪一种剪法折成的纸盒容积最大？（    ） A．① B．② C．③ D．无法确定 7．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如下图），这个玻璃鱼缸的表面积是（    ）平方厘米。 A．126 B．111 C．96 D．无法确定 8．小军用几个棱长1cm的正方体木块摆了一个物体，下图是从不同的方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．3 B．4 C．5 D．6 9．在一个底面积72平方厘米、高10厘米的长方体容器中，水深2厘米。如果放入一个棱长6厘米的正方体铁块，这时水深（ ）厘米。 10．9.36＝（ ）L＝（ ）mL     0.37L＝（ ）mL＝（ ） 11．一个长方体木盒，长是8cm，宽是5cm、高是2cm，这个木盒的占地面积最大是（ ）cm2，它的表面积是（ ）cm2。 12．用4个完全相同的小长方体积木拼出不同的图形（如图），这些图形的（ ）不变，（ ）在发生变化。（填序号） ①表面积   ②体积     ③容积 13．如下图，在一块平坦的地面上，实践社团的同学们在工人师傅的帮助下，用砖围了一个长方体水池，池壁厚10（底面利用原有的水泥地）。这个水池的容积是（ ）。 14．一个长方体（如图），它的表面积是（ ）平方分米，合（ ）平方厘米，体积是（ ）立方分米，合（ ）立方厘米。 15．利民广场有一个花坛，底面是边长1.4米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.4米，中间填满了288立方分米的泥土。这个花坛所占的空间是（ ）立方分米。 16．用3个棱长2分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）立方分米，表面积是（ ）平方厘米，棱长总和是（ ）米。 17．求出下列图形的体积（单位：分米）             18．计算下面几何体的体积。 19．求下面物体的表面积和体积。 （1）（2） 20．操场上有一个长8米、宽3.5米、深0.4米的长方体沙坑，沙坑内沙面离坑口有0.06米。这个沙坑的占地面积是多少？如果把这个沙坑填满，还需要多少立方米沙子？ 21．一个密封的长方体水箱，从里面量，长80厘米，宽和高20厘米。当水箱如图①放置时，水深16厘米，当水箱如图②放置时，水深多少厘米？ 22．把一个棱长是6厘米的正方体钢材，锻造成一个长18厘米，宽8厘米的长方体钢材，长方体钢材的高是多少厘米？（用方程解） 23．一个正方体的棱长是a厘米，这个正方体的棱长总和是多少厘米？如果a＝12，那么这个正方体的棱长总和是多少厘米？ 24．张叔叔准备做3根底面是正方形，高36厘米的长方体通风管，将通风管侧面展开后，恰好是一个正方形，（做每根通风管损耗铁皮10.5平方厘米），那么张叔叔做这些通风管至少需要准备多少平方厘米的铁皮？ 25．一块长方形铁皮，宽3米，长5米，如下图那样，从四个角剪掉边长为0.6米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的容积是多少升？ 26．一种长方体的煤气灶包装箱，长8分米，宽4分米，高1.5分米。 （1）做这个包装箱至少要用多少平方分米硬纸板？是多少平方米？ （2）包装箱的体积是多少立方分米？是多少立方米？ 27．一个无盖的长方体玻璃金鱼缸，长8分米，宽7分米，高6分米。 （1）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）这个金鱼缸最多可以盛水多少升？是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计） 28．下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 29．王叔叔在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图，底面也浇筑混凝土），这个水槽从外面量长12分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚1分米。 （1）这个水槽最多可以盛水多少升？ （2）如果在水槽外贴一圈瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ 30．一个花坛（如图），底面是边长2米的正方形，高0.8米。四周用木条围成。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？（木条空隙忽略不计） （3）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 长方体和正方体 单元知识清单讲义 知识点一：长方体和正方体的认识 1．长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2．正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3．正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 知识点二：长方体和正方体的表面积 1．长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2．正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3．利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 知识点三：体积和容积的认识及其单位 1．体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2．容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3．体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4．容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 知识点四：长方体和正方体的体积 1．长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2．正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3．运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4．体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 知识点五：体积单位间的进率 1．相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 2．高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 3．体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 题型1：长方体和正方体的认识 【例1】有一个长26厘米、宽18厘米、高0.6厘米的物体，它可能是（    ）。 A．数学书 B．橡皮 C．新华字典 D．黑板擦 【答案】A 【分析】生活中1厘米大约是拇指盖的宽度，根据生活中常见到的物品大小判断每个选项的物品大小是否符合题意，据此解答。 【解答】A．数学书是长方体形状的，长和宽（26厘米×18厘米）符合常见课本尺寸，高0.6厘米虽略薄，但可能是较薄教材或练习册的厚度，符合题意； B．橡皮各种形状都有，尺寸通常较小，如果是长方体形状，长宽高一般都得在5厘米以内，不符合题意； C．新华字典是长方体形状的，但是较厚，实际尺寸一般更小，长约15厘米左右，厚度约4~5厘米，与题目中的高0.6厘米矛盾，不符合题意； D．黑板擦的背面是长方体，其长大约十几厘米、宽5厘米左右，厚度1厘米左右，不符合题意。 故答案为：A 【练1】用同样的小正方体拼成一个较大的正方体，至少需要（    ）个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】正方体的长、宽、高相等，则大正方体的长宽高上至少有2个小正方体，即大正方体至少需要个小正方体。 【解答】（个） 所以至少需要8个小正方体。 故答案为：C 【点评】本题考查正方体，解答本题的关键是掌握正方体的概念。 题型2：长方体和正方体棱长的应用 【例2】手工课上，小美用一根长（    ）的铁丝做成一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体框架后，还缺2分米。 A．70分米 B．72分米 C．74分米 D．212分米 【答案】A 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式求出长方体的棱长总和，再减缺的2分米即可解答。 【解答】 （分米） 则小美用一根长70分米的铁丝做成一个长7分米、宽6分米、高5分米的长方体框架后，还缺2分米。 故答案为：A 【练2】口用沙布做一个棱长是8厘米的正方体沙包如下图，如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长度是（    ）厘米。 A．96 B．64 C．192 【答案】A 【分析】接缝相当于正方体棱长，根据正方体棱长总和＝棱长×12，列式计算即可。 【解答】8×12＝96（厘米） 花边的总长度是96厘米。 故答案为：A 题型3：长方体和正方体的展开图 【例3】下面是一个无盖的长方体纸盒的展开图。与②号面相对的是（    ）号面。 A．④ B．⑤ C．无法确定 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，长方体6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察这个长方体的展开图可知，与②号面相对的面⑤号，③号面与①号面相对。据此解答。 【解答】据分析可知，②号相对的是⑤号，③号面与①号面相对。 故答案为：B 【练3】一个正方体的六个面上分别写着红、橙、黄、绿、青、蓝，根据下面三种摆放位置可知，与红相对的面是（    ）。 A．橙 B．绿 C．黄 【答案】A 【分析】在正方体中，相邻的面一定不是相对面，根据左图和中图找出青的相对面，再根据左图和右图找出蓝的相对面，那么最后剩下的两个面就是相对面，据此解答。 【解答】由图可知，青和红、蓝、绿、橙是相邻面，则青和黄是相对面，蓝和青、红、黄、橙是相邻面，则蓝和绿是相对面，所以红和橙是相对面。 故答案为：A 题型4：长方体表面积的计算 【例4】如图，一个有盖的近似长方体铁皮茶叶盒，长15厘米，宽8厘米，高6厘米。做这个茶叶盒至少要用铁皮（ ）平方厘米（重叠处忽略不计）。 【答案】516 【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【解答】（15×8＋15×6＋8×6）×2 ＝（120＋90＋48）×2 ＝258×2 ＝516（平方厘米） 则做这个茶叶盒至少要用铁皮516平方厘米。 【练4】一个长方体木箱，底面周长是3米，高5分米，表面积是258平方分米。这个木箱的底面积是（ ）平方分米。 【答案】54 【分析】长方体表面积等于前后左后四个侧面面积之和加上上下两个底面面积。要想求这个长方形木箱的底面积，只需用表面积减去侧面积除以2；先求出侧面积，只需要根据S侧面积＝C底面周长×h计算，据此解答。 【解答】3米＝30分米 （258－30×5）÷2 ＝（258－150）÷2 ＝108÷2 ＝54（平方分米） 故这个木箱的底面积是54平方分米。 题型5：正方体表面积的计算 【例5】一个棱长是2米的无盖正方体蓄水箱，它的占地面积是（ ）平方米，制作一个至少需要（ ）平方米铁皮。 【答案】4 20 【分析】求蓄水箱的占地面积就是求边长为2米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，据此计算即可；求无盖正方体蓄水箱需要的铁皮就是求正方体五个面的面积，根据正方体五个面的面积＝一个面的面积×5，据此进行计算即可。 【解答】2×2＝4（平方米） 2×2×5 ＝4×5 ＝20（平方米） 则它的占地面积是4平方米，制作一个至少需要20平方米铁皮。 【练5】把棱长为6dm的正方体木料横截成2个相同的长方体，表面积增加了（ ）dm2。 【答案】72 【分析】正方体木料锯开后，表面积增加了两个横截面的面积，这两个横截面正好是两个正方形，根据正方形的面积公式，代入之前求出的数据，即可得解。 【解答】增加： （dm2） 所以表面积增加了72dm2。 【点评】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是理解正方体切成两个长方体后表面积增加的是两个正方形的面积。 题型6：体积和容积的认识 【例6】物体所占空间的大小叫作物体的（ ）。容器所能容纳物体的体积叫作容器的（ ）。 【答案】体积 容积 【解答】体积和容积的概念虽然相似，但它们所描述的对象是不同的，体积描述的是物体本身的大小，而容积描述的是容器能够容纳物体的空间大小。 例如：一个立方体盒子的体积可能是100立方厘米。一个水杯的容量可能是300毫升，可以装满300毫升的液体。 根据体积和容积的意义可知：物体所占空间的大小叫作物体的体积，容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 【练6】口小明和小红买了同样两瓶可乐，各倒入两种大小不同的杯子里，小明正好倒满4杯，小红正好倒满3杯，（ ）用的杯子的容积大一些。 【答案】小红 【分析】由题意可知，根据分数的意义，把一瓶可乐看作单位“1”，把它平均分为4份，小明的杯子刚好装下1份，把它平均分为3份，小红的杯子刚好装下1份，再根据分数与除法的关系，分别求出小明和小红杯子的容积占一瓶可乐的几分之几，再比较分数的大小，分数大的容积就大。 【解答】 小红用的杯子的容积大一些。 题型7：体积和容积单位的认识及选择 【例7】在括号里填合适的单位。 一间教室的占地面积大约是60（ ），空间大约是180（ ）。 一个热水瓶的容积大约是2（ ）。 一块橡皮的体积大约是6（ ）。 【答案】平方米/m2 立方米/m3 升/L 立方厘米/cm3 【分析】体积单位的选择：计量小型物体的体积一般用立方厘米，手指尖的体积大约是1立方厘米；计量一些建筑等较大物体的体积时通常用立方米作单位，棱长是1米的正方体纸箱的体积是1立方米；面积单位的选择：教室、住房、建筑等的面积通常用平方米作单位，边长为1米的正方形桌子的桌面的面积是1平方米；容积单位的选择：1盒牛奶大约是250毫升，1升大概是4盒牛奶；据此根据生活实际和数据解答。 【解答】根据对面积、体积、容积单位的认识及数据的大小可知： 一间教室的占地面积大约是60平方米，空间大约是180立方米。 一个热水瓶的容积大约是2升。 一块橡皮的体积大约是6立方厘米。 【练7】边阅读边思考，在括号填入合适的单位名称。 大同，山西省第二大城市，古称云中、平城、云州，中国重要的综合能源基地。总面积14176（ ），常住人口310.02万人。地处温带大陆性季风气候区，干旱多风，温差较大，年平均气温6.4（ ），年降水量大约400～500（ ）。大同市城墙略呈方形，城墙内芯为三合土夯筑，外包每块重达8.5（ ）的青砖。御河上建造的七座桥犹如七朵金花，既满足了现代城市交通的需要，也成为一道靓丽的风景线，其中南环桥全长1320（ ），在上面行驶的车辆限速70（ ）。 【答案】平方千米/km2 摄氏度/℃ 毫升/mL 千克/kg 米/m 千米/时/km/h 【分析】测量或计量大面积的土地，通常用“平方千米”作单位；1平方千米大约是140个标准足球场的面积，所以计量大同的总面积用“平方千米”作单位比较合适； 一般计量年平均气温用“摄氏度”作单位； 1毫升液体的体积就是1立方厘米，20滴水大约是1毫升；所以计量年降水量用“毫升”作单位比较合适； 1千克就是1000克，1千克大约两个菠萝的重量，所以计量青砖的质量用“千克”作单位比较合适； 一庹大约1米，所以计量南环桥的全长用“米”作单位比较合适； 一般计量汽车的速度用“千米/时”作单位比较合适。 【解答】大同，山西省第二大城市，古称云中、平城、云州，中国重要的综合能源基地。总面积14176（平方千米），常住人口310.02万人。地处温带大陆性季风气候区，干旱多风，温差较大，年平均气温6.4（摄氏度），年降水量大约400～500（毫升）。大同市城墙略呈方形，城墙内芯为三合土夯筑，外包每块重达8.5（千克）的青砖。御河上建造的七座桥犹如七朵金花，既满足了现代城市交通的需要，也成为一道靓丽的风景线，其中南环桥全长1320（米），在上面行驶的车辆限速70（千米/时）。 题型8：长方体的体积计算 【例8】用一根长96厘米的铁丝焊接成一个长方体框架（焊接处忽略不计），已知框架的长是10厘米，宽是8厘米，这个框架的体积是（ ）立方厘米。 【答案】480 【分析】由题意可知，铁丝的长度是这个长方体框架的棱长总和。将铁丝的长度除以4，求出一组长、宽、高的和，再将这个和减去长和宽，求出这个长方体框架的高。长方体体积＝长×宽×高，将数据代入公式，求出这个框架的体积。 【解答】96÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（厘米） 10×8×6＝480（立方厘米） 所以，这个框架的体积是480立方厘米。 【练8】一根长方体木料长2米，横截面是边长0.2米的正方形，这根木料的体积是（ ）立方米。 【答案】0.08 【分析】长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高＝横截面×长，横截面根据正方形面积＝边长×边长，据此列式计算即可。 【解答】0.2×0.2×2＝0.08（立方米） 这根木料的体积是0.08立方米。 题型9：正方体的体积计算 【例9】用一根36厘米长的铁丝做成一个正方体框架，再在外面糊一层纸，纸的面积至少是（ ）平方厘米，这个正方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】54 27 【分析】由题意可知，铁丝的长度就是正方体的棱长总和，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体的棱长，再根据，计算正方体的表面积即纸的面积，最后根据，代入数据计算即可得解。 【解答】（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 纸的面积至少是54平方厘米，这个正方体的体积是27立方厘米。 【练9】从一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体木块儿中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米，剩下的木块的体积是（ ）立方分米。 【答案】27 33 【分析】把一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体截成一个最大的正方体，则最大的正方体的棱长一定是长方体最短的一边，也就是3分米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用3×3×3即可求出正方体的体积；然后根据长方体的体积＝长×宽×高，用5×4×3即可求出长方体的体积，然后用长方体的体积减去正方体的体积，即可求出剩下的体积。 【解答】5＞4＞3 最大的正方体的棱长是3分米， 3×3×3＝27（立方分米） 这个正方体的体积是27立方分米。 5×4×3＝60（立方分米） 60－27＝33（立方分米） 剩下的木块的体积是33立方分米。 【点评】本题主要考查了长方体和正方体的体积公式的应用，要熟练掌握相关公式。 题型10：体积、容积单位间的换算 【例10】30立方厘米＝（ ）立方分米        500立方分米＝（ ）立方米 0.08升＝（ ）立方厘米        85毫升＝（ ）升 【答案】0.03 0.5 80 0.085 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【解答】30立方厘米＝0.03立方分米 500立方分米＝0.5立方米 0.08升＝80立方厘米 85毫升＝0.085升 【练10】在括号里填合适的数。 （ ）        （ ）（ ） 7.8L＝（ ）mL＝（ ）cm3    （ ） 【答案】8050 0.056/ 0.056/ 7800 7800 9.108// 【分析】1dm3＝1000cm3；1L＝1000cm3；1L＝1dm3；1L＝1000mL；1m3＝1000dm3；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【解答】8.05dm3＝（8.05×1000）cm3＝8050cm3 56cm3＝（56÷1000）dm3＝0.056（或）dm3 56cm3＝（56÷1000）L＝0.056（或）L 56cm3＝0.056（或）dm3＝0.056（或）L 7.8L＝（7.8×1000）mL＝7800mL 7.8L＝（7.8×1000）cm3＝7800cm3 7.8L＝7800L＝7800cm3 9108dm3＝（9108÷1000）m3＝9.108（或或）m3 题型11：长方体和正方体的容积 【例11】一个正方体铁皮油箱的棱长为2.5分米，如果里面的油深2分米，这个油箱里有油（ ）升。 【答案】12.5 【分析】从题意可知：油箱里的油为长2.5分米，宽为2.5分米，高为2分米的长方体。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可。结果换算成升（1升＝1立方分米）。 【解答】2.5×2.5×2＝12.5（立方分米） 12.5立方分米＝12.5升 这个油箱里有油12.5升。 【练11】爸爸做一个玻璃鱼缸，已经准备了4块长方形玻璃，其中的两块长5分米、宽3分米，另两块长4分米、宽3分米。还需要配一块长（ ）分米、宽（ ）分米的长方形玻璃，才能做成一个容积是（ ）升的鱼缸。 【答案】5 4 60 【分析】鱼缸是一个无盖的长方体，已知有4个面了，那么还缺少一个底面，那么可知长方体鱼缸的长是5分米，宽是4分米，高是3分米，由此可知，需要配一块长是5分米，宽是4分米的玻璃做底面，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体玻璃的容积，注意单位名数的换算。 【解答】根据分析可知，需要配一块长是5分米，宽是4分米的玻璃。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 因此，还需要配一块长5分米、宽4分米的长方形玻璃，才能做成一个容积是60升的鱼缸。 题型12：组合体的表面积 【例12】求下面图形的表面积。 【答案】1266cm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6。由于题中正方体和长方体相接，那么组合体的表面积比长方体和正方体的表面积之和少两个正方体面的面积，即只需要求正方体四个面的面积。据此解题。 【解答】（25×15＋25×4＋15×4）×2＋7×7×4 ＝（375＋100＋60）×2＋196 ＝535×2＋196 ＝1070＋196 ＝1266（cm2） 【练12】计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】248平方分米 【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。 【解答】 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 题型13：组合体的体积 【例13】求如图图形的表面积和体积。 【答案】表面积216m2；体积189m3 【分析】把图形右上角露出的3个面向外平移，把图形右上角的缺口补完整，这样图形的表面积就是棱长为6m的正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解。 图形的体积等于棱长为6m的正方体的体积减去棱长为3m的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】表面积： （m2） 体积： （m3） 图形的表面积是216m2，体积是189m3。 【练13】如图，一个底面是正方形的长方体被截去一段，已知底面正方形的边长是5厘米，求这个图形的体积。 【答案】300立方厘米 【分析】如图，将这个图形分成两部分，这个图形的体积＝下边长方体的体积＋上边立体图形的体积，而上边立体图形的体积＝上边长方体的体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【解答】体积：5×5×10＋5×5×（14－10）÷2 ＝25×10＋25×4÷2 ＝250＋100÷2 ＝250＋50 ＝300（立方厘米） 这个图形的体积300立方厘米。 题型14：运用长方体和正方体的表面积解决问题 【例14】用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 【答案】2332.8平方厘米 【分析】根据题意，用彩纸包装一个的正方体礼品盒，实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，先根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出礼盒的表面积，再乘1.2即是包装这个礼盒至少用纸的面积。 【解答】18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 1944×1.2＝2332.8（平方厘米） 答：包装这个礼盒用纸至少是2332.8平方厘米。 【练14】张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 【答案】先把2本字典最大的面拼在一起，再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起；1440平方厘米 【分析】 要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 答：需要牛皮纸的面积是1440平方厘米。 【点评】解答本题的关键是先把2本字典拼成一个长方体，再把拼后的两个长方体的最大面拼在一起，进而利用长方体表面积公式进行解答。 题型15：体积的等积变形 【例15】一个装满水的正方体容器，棱长是4分米。把它里面的水倒入长8分米、宽6分米的长方体鱼缸内（水未溢出），水面有多高？ 【答案】分米 【分析】由题意可知，长方体里的水的体积等于正方体的体积，根据，即可知长方体里水的体积，再根据的逆运算，用水的体积除以长方体的长再除以长方体的宽，即可得解。 【解答】 ＝8÷6 （分米） 答：水面有分米高。 【练15】一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 【答案】5厘米 【分析】由图发现，拿出石块，水面下降10－9＝1厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，先用正方体的底面积×1求出下降水面水的体积，也就是石块的体积；再用石块的体积÷石块底面积即可求出石块的高。 【解答】10－9＝1（厘米） 10×10×1＝100（立方厘米） 100÷（5×4） ＝100÷20 ＝5（厘米） 答：这个长方体石块的高是5厘米。 题型16：立体图形的切拼问题 【例16】一个长方体长8分米，高7分米。如果把它沿着水平方向切两次，切成三个小长方体，表面积就增加160平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】280立方分米 【分析】根据题意作图如下： 从图中可知：增加的表面积（160平方分米）＝底面积×4，用增加的面积÷4即可求出这个长方体的底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据即可求出原来长方体的体积。 【解答】160÷4×7＝280（立方分米） 答：原来长方体的体积是280立方分米。 【练16】食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 【答案】5盒 【分析】按图中月饼盒的摆放，先用计算装入正方体中，第一层能放多少盒，用45除以30；再看能放多少层，用45除以长方体的高，再用长、宽、高所放的盒数相乘，得到正放有几盒。因为正方体纸盒还有空余，刚好是15厘米，月饼盒的高也是15厘米，而空余处的另外两条边是45厘米，足够存月饼盒的另外两条边。以月饼盒“15cm，30cm”的侧面为底，还分别可放2个1盒，所以用正放的盒数加上侧放的盒数，即可得解。 【解答】45÷30＝1（盒）……15（cm） 45÷15＝3（盒）           （盒） （盒） 答：最多能装5盒。 题型17：测量不规则物体的体积 【例17】一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。 【答案】216立方厘米 【分析】由题意可知，上升的水的体积就是石头的体积，上升的水的体积可看作是一个长是12厘米、宽是6厘米、高是厘米的小长方体的体积，根据，代入数据计算即可得解。 【解答】12×6×（8－5） ＝12×6×3 ＝216（立方厘米） 答：这块石头的体积是216立方厘米。 【练17】一个长方体鱼缸的底面是一个边长6分米的正方形，深1米。 （1）小明往里倒入72升的水，水深多少分米？ （2）他又往里放入了一些彩石（彩石全部没入水中），水面上升了3分米，一共放入了多少立方分米的彩石？ 【答案】（1）2分米 （2）108立方分米 【分析】（1）小明往鱼缸里倒入72升的水，把72升换算成立方分米为单位；已知鱼缸里的水容积是72升，用水的容积除以长方体鱼缸的底面积，所得结果与鱼缸的深度比较；如果所得结果大于鱼缸的深度，则水深为鱼缸的深度；如果所得结果小于鱼缸的深度，则所得结果即为此时鱼缸的水深。 （2）往鱼缸里放入了一些彩石，彩石全部没入水中，且水面上升了3分米，也就是上升这部分水的体积等于放入这些彩石的体积之和；根据长方体的体积＝长×宽×高，用鱼缸的底面积乘3，所得结果即为放入这些彩石的体积之和。 【解答】（1）72升＝72立方分米 72÷（6×6） ＝72÷36 ＝2（分米） 1米＝10分米 因为10分米＞2分米，所以倒入72升的水，水没有溢出。 答：小明往里倒入72升的水，水深2分米。 （2）6×6×3＝108（立方分米） 答：一共放入了108立方分米的彩石。 1．左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体表面展开图的特征，题干中的长方体有4个面一样大，另两个面一样大，逐一分析每个选项，看哪个选项的立体图形能与给定的展开图对应起来。 【解答】A．是一个普通的长方体，它的六个面中，相对的面大小形状相同。但是观察给定的展开图，它有两个面明显比其他面小一些，而选项A的六个面没有这样的特征，所以选项A不符合。 B．是一个正方体，正方体的六个面都是完全相同的正方形。而给定的展开图明显不是六个相同的正方形组成的，所以选项B不符合。 C．它的各个面的大小比例关系与给定的展开图不匹配。从展开图可以看出有两个相对较小的面，以及四个较大的面，且四个较大的面一样大，选项C的形状和比例与展开图不一致，所以选项C不符合。 D．它的形状和大小关系与给定的展开图相符合。展开图中两个较小的面可以对应选项D长方体的两个侧面，四个较大的面可以对应长方体的上下底面和前后侧面，所以选项D符合。 所以最有可能是下面图中的展开图。 故答案为：D 2．用5个相同的小正方体摆成下面的立体图形，要想摆成正方体，至少还需（    ）个这样的小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正方体的特点，小正方体摆成大正方体至少需要8块，再减去已经摆好的小正方体数量，即可求出还需要的小正方体数量。据此解答。 【解答】8－5＝3（块） 则至少还需3个这样的小正方体。 故答案为：B 3．一个长方体的长是12厘米，宽是10厘米，棱长总和是120厘米，高是（    ）厘米。 A．1 B．6 C．8 D．15 【答案】C 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，先用棱长总和120厘米除以4，求出长宽高的和，再用它们的和减去长和宽的长度，求出长方体的高即可。 【解答】120÷4－（12＋10） ＝30－22 ＝8（厘米） 所以高是8厘米。 故答案为：C 4．用一些1立方厘米的小正方体摆出一个大正方体，大正方体的体积可能是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，由于每个小正方体的体积是1立方厘米，所以它的棱长是1厘米。要摆出一个大正方体，大正方体的每条棱长至少是由几个小正方体的棱长组成的。因此大正方体的棱长可能是：2厘米、3厘米…… 以此类推。那么大正方体的体积就可能是：2×2×2＝8（立方厘米）、3×3×3＝27（立方厘米）……以此类推，大正方体的体积应该是一个数的立方；据此逐项判断即可。。 【解答】A．4＝2×2＝22，该选项不符合题意； B．8＝2×2×2＝23，该选项符合题意； C．16＝4×4＝2×2×2×2＝24＝42，该选项不符合题意； D．32＝2×2×2×2×2＝25，该选项不符合题意； 所以大正方体的体积可能是8立方厘米。 故答案为：B 5．一个长方体硬纸盒，长30厘米、宽15厘米、高15厘米，做这样一个纸盒需要多少平方厘米的硬纸，下面列式错误的是（    ）。 A．30×15×2＋30×15×2＋15×15×2 B．30×15×4＋15×15×2 C．（30＋15）×2×15＋30×15×2 D．15×15×4＋30×15×2 【答案】D 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为这个长方体盒子的宽和高相等，所以这个盒子有2个相同的正方形面，4个完全相同的长方形的面；也可以先求出盒子的侧面积再加上两个底面的面积。 【解答】方法一：按照长方体表面积的计算公式计算 30×15×2＋30×15×2＋15×15×2 ＝900＋900＋450 ＝2250（平方厘米） 方法二：按照4个相同长方形的面积之和加上2个相同的正方形面积之和计算 30×15×4＋15×15×2 ＝450×4＋225×2 ＝1800＋450 ＝2250（平方厘米） 方法三：按照侧面积加上2个底面的面积计算 （30＋15）×2×15＋30×15×2 ＝45×2×15＋450×2 ＝90×15＋900 ＝1350＋900 ＝2250（平方厘米） 因此列式正确的有A、B、C，选项D是错误的。 故答案为：D 6．把一张A4纸（长约30厘米、宽21厘米）从四个角各剪去一个相同的正方形，可以折成一个无盖的长方体纸盒。下面哪一种剪法折成的纸盒容积最大？（    ） A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】B 【分析】在长方形纸的四个角上各剪去一个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒，那么这个无盖长方体纸盒的长等于长方形的长减去2个正方形的边长，长方体的宽等于长方形的宽减去2个正方形的边长，高等于正方形的边长；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，代入数据计算，即可求出纸盒的容积，再比较大小即可。 【解答】①（30－3－3）×（21－3－3）×3 ＝24×15×3 ＝1080（立方厘米） ②（30－4－4）×（21－4－4）×4 ＝22×13×4 ＝1144（立方厘米） ③（30－6－6）×（21－6－6）×6 ＝18×9×6 ＝972（立方厘米） 1144＞1080＞972 图②的剪法折成的纸盒容积最大。 故答案为：B 7．在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体（如下图），这个玻璃鱼缸的表面积是（    ）平方厘米。 A．126 B．111 C．96 D．无法确定 【答案】C 【分析】观察图片可知，长方体玻璃鱼缸的长有6个小正方体，宽有5个小正方体，高有3个小正方体，分别可用1乘各边对应的小正方体的个数，得到各边的长度，又因是无盖的长方体玻璃鱼缸，根据计算可得解。 【解答】（厘米） （厘米） （厘米） （平方厘米） 故答案为：C 8．小军用几个棱长1cm的正方体木块摆了一个物体，下图是从不同的方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】从前面看是两层4个正方形，第一层三个正方形，第二层一个正方形，居中；从上面看到的是两层4个小正方形，第一层是三个正方形，第二层是一个正方形，靠右；从右边看，看到的是两层三个正方形，通过正面、上面和右面看到的形状，说明这个物体是由5个小正方体摆成的，1个小正方体的体积是（1×1×1）cm3，据此解答。 【解答】1×1×1×5＝5（cm3） 这个物体的体积是5cm3。 故答案为：C 9．在一个底面积72平方厘米、高10厘米的长方体容器中，水深2厘米。如果放入一个棱长6厘米的正方体铁块，这时水深（ ）厘米。 【答案】4 【分析】将一个物体放入长方体容器中，水面上升的高度对应的体积就是这个物体的体积。题中放入正方体棱长是6厘米，超过了水深2厘米，则这个正方体只有一部分没入水中。而容器内水得体积没有发生变化，在放入正方体铁块后，水面升高，长方体容器的底面积减少了正方体铁块的一个面的面积，据此求出长方体容器内水的体积，再除以变化后的底面积可得到水深。 【解答】放入物体后水深是： 72×2÷（72－6×6） ＝72×2÷（72－36） ＝72×2÷36 ＝4（厘米） 即这时的水深是4厘米。 10．9.36＝（ ）L＝（ ）mL     0.37L＝（ ）mL＝（ ） 【答案】9.36 9360 370 370 【分析】小单位换大单位除以进率，大单位换小单位乘进率。 【解答】（1）1L＝1＝1000mL，因为9.36×1000＝9360，所以9.36＝9.36L＝9360mL； （2）1L＝1000mL＝1000，因为0.37×1000＝370，所以0.37L＝370mL＝370。 11．一个长方体木盒，长是8cm，宽是5cm、高是2cm，这个木盒的占地面积最大是（ ）cm2，它的表面积是（ ）cm2。 【答案】40 132 【分析】根据长方体的特征可知，这个长方体木盒的6个面都是长方形，求它的最大占地面积，就是求这个木盒最大一个面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据求解。 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出它的表面积。 【解答】8×5＞8×2＞5×2 占地面积最大：8×5＝40（cm2） 表面积： （8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（cm2） 这个木盒的占地面积最大是40cm2，它的表面积是132cm2。 12．用4个完全相同的小长方体积木拼出不同的图形（如图），这些图形的（ ）不变，（ ）在发生变化。（填序号） ①表面积   ②体积     ③容积 【答案】② ① 【分析】根据体积、表面积容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积；长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积；能容纳物体的体积叫做容积。无论如何拼，所拼图形的体积都等于4个长方体的体积和，但4个长方体有的面会被挡住，所以表面积就会发生改变。由此可知：用4个完全相同的小长方体积木拼成不同的图形，体积不变，表面积变化了。据此解答。 【解答】据分析可知，用4个完全相同的小长方体积木拼成不同的图形，这些图形的②不变，①在发生变化。（填序号） ①表面积 ②体积 ③容积 13．如下图，在一块平坦的地面上，实践社团的同学们在工人师傅的帮助下，用砖围了一个长方体水池，池壁厚10（底面利用原有的水泥地）。这个水池的容积是（ ）。 【答案】8.064 【分析】要求这个水泥池的容积，需要知道水泥池里面的长、宽和高，所以先求出水泥池的长和宽，分别减去两个墙厚即可，高不变，然后用长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，就可求出体积，注意单位名数的统一。 【解答】10cm＝0.1m （3－0.1×2）×（2－0.1×2）×1.6 ＝（3－0.2）×（2－0.2）×1.6 ＝2.8×1.8×1.6 ＝5.04×1.6 ＝8.064（m3） 这个水池的容积是8.064m3。 14．一个长方体（如图），它的表面积是（ ）平方分米，合（ ）平方厘米，体积是（ ）立方分米，合（ ）立方厘米。 【答案】22 2200 6 6000 【分析】根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体的表面积；1平方分米＝100平方厘米，把平方分米换算成平方厘米； 根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体体积；1立方分米＝1000立方厘米；把立方分米换算成立方厘米，据此解答。 【解答】（3×2＋3×1＋2×1）×2 ＝（6＋3＋2）×2 ＝（9＋2）×2 ＝11×2 ＝22（平方分米） 22平方分米＝2200平方厘米 3×2×1 ＝6×1 ＝6（立方分米） 6立方分米＝6000立方厘米 一个长方体，它的表面积是22平方分米，合2200平方厘米，体积是6立方分米，合6000立方厘米。 15．利民广场有一个花坛，底面是边长1.4米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.4米，中间填满了288立方分米的泥土。这个花坛所占的空间是（ ）立方分米。 【答案】564.48 【分析】砖墙厚度是0.4米，则正方形的内边长是米，根据的逆运算，用泥土的体积÷边长÷边长，可得到花坛的高，再根据长方体的体积公式，代入数据计算即可得解，单位不同要先统一单位。 【解答】1.4米＝14分米 0.4米＝4分米 （分米） （立方分米） 这个花坛所占的空间是564.48立方分米。 16．用3个棱长2分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）立方分米，表面积是（ ）平方厘米，棱长总和是（ ）米。 【答案】24 5600 4 【分析】这个长方体的体积等于3个正方体的体积的和。 拼好的长方体的长是（2×3）分米，宽是2分米，高是2分米，利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算长方体的表面积，长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，由此列式计算即可。 注意换算单位，高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率，低级单位转化为高级单位除以两个单位之间的进率。1平方分米＝100平方厘米，1米＝10分米。 【解答】2×2×2×3＝24（立方分米） 长方体的长：2×3＝6（分米） （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方分米） 56平方分米＝5600平方厘米 （6＋2＋2）×4 ＝10×4 ＝40（分米） 40分米＝4米 则这个长方体的体积是24立方分米，表面积是5600平方厘米，棱长和是4米。 17．求出下列图形的体积（单位：分米）             【答案】176立方分米 【分析】组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【解答】（8－4）×7×4＋4×4×4 ＝4×7×4＋64 ＝112＋64 ＝176（立方分米） 18．计算下面几何体的体积。 【答案】88cm3 【分析】这个组合图形的体积等于正方体与长方体的体积和，正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】2×2×2＋8×2×5 ＝8＋80 ＝88（cm3） 19．求下面物体的表面积和体积。 （1）（2） 【答案】（1）27平方米；9立方米；（2）96平方厘米；64立方厘米 【分析】长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式：v＝abh，正方体的表面积公式：s＝6a2，体积公式：v＝a3，把数据分别代入公式解答。 【解答】（1）表面积：（3×1.5＋1.5×2＋3×2）×2 ＝（4.5＋3＋6）×2 ＝13.5×2 ＝27（平方米） 体积：3×1.5×2＝9（立方米） （2）表面积：4×4×6＝96（平方厘米） 体积：4×4×4＝64（立方厘米） 20．操场上有一个长8米、宽3.5米、深0.4米的长方体沙坑，沙坑内沙面离坑口有0.06米。这个沙坑的占地面积是多少？如果把这个沙坑填满，还需要多少立方米沙子？ 【答案】28平方米；1.68立方米 【分析】这个沙坑占地面积就是它的底面积，根据长方形的面积＝长×宽解答。求还需要多少沙子把这个沙坑填满，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长是8米，款是3.5米，高是0.06米处的体积即可，据此解答。 【解答】8×3.5＝28（平方米） 8×3.5×0.06＝1.68（立方米） 答：这个沙坑的占地面积是28平方米，还需要1.68立方米沙子。 21．一个密封的长方体水箱，从里面量，长80厘米，宽和高20厘米。当水箱如图①放置时，水深16厘米，当水箱如图②放置时，水深多少厘米？ 【答案】64厘米 【分析】 由题意可知，无论水箱按图放置还是按图放置，水箱内水的体积不变； 先根据长方体的体积＝长×宽×高求出这个长方体内水的体积； 再除以图的底面积，即可得出图形中水的高度。 【解答】80×20×16÷（20×20） ＝1600×16÷400 ＝25600÷400 ＝64（厘米） 答：水深64厘米。 22．把一个棱长是6厘米的正方体钢材，锻造成一个长18厘米，宽8厘米的长方体钢材，长方体钢材的高是多少厘米？（用方程解） 【答案】1.5厘米 【分析】根据题意可知，锻造前后钢材的体积不变，即正方体钢材的体积＝长方体钢材体积；设长方体钢材的高为x厘米；根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积公式：体积＝长×宽×高；列方程：6×6×6＝18×8×x，解方程，即可解答。 【解答】解：设长方体钢材的高是x厘米。 6×6×6＝18×8×x 36×6＝144x 144x＝216 x＝216÷144 x＝1.5 答：长方体钢材的高是1.5厘米。 23．一个正方体的棱长是a厘米，这个正方体的棱长总和是多少厘米？如果a＝12，那么这个正方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】12a厘米；144厘米 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，代入数据即可知，棱长综合为12a厘米，再把a＝12代入计算即可。 【解答】a×12＝12a（厘米） 当a＝12时， 12×12＝144（厘米） 答：这个正方体的棱长总和是12a厘米；如果a＝12，那么这个正方体的棱长总和是144厘米。 24．张叔叔准备做3根底面是正方形，高36厘米的长方体通风管，将通风管侧面展开后，恰好是一个正方形，（做每根通风管损耗铁皮10.5平方厘米），那么张叔叔做这些通风管至少需要准备多少平方厘米的铁皮？ 【答案】3919.5平方厘米 【分析】根据题意，将高为36厘米的长方体通风管侧面展开后恰好是一个正方形，可知这个正方形的边长是36厘米，根据正方形的面＝边长×边长，再加上做每根通风管损耗铁皮的面积，求出做一根这样的通风管所需铁皮的面积，再乘3即可。 【解答】36×36＝1296（平方厘米） （1296＋10.5）×3 ＝1306.5×3 ＝3919.5（平方厘米） 答：做这些通风管至少需要准备3919.5平方厘米的铁皮。 25．一块长方形铁皮，宽3米，长5米，如下图那样，从四个角剪掉边长为0.6米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的容积是多少升？ 【答案】4104升 【分析】已知从四个角剪掉边长为0.6米的正方形，则做成长方体盒子的长是（5－0.6×2）米，宽是（3－0.6×2）米；高是0.6米，根据长方体的体积（容积）V＝abh，代入数据求出容积；再根据1立方米＝1000升，把立方米单位换算成升即可。 【解答】5－0.6×2 ＝5－1.2 ＝3.8（米） 3－0.6×2 ＝3－1.2 ＝1.8（米） 3.8×1.8×0.6 ＝6.84×0.6 ＝4.104（立方米） 4.104立方米＝4104升 答：这个盒子的容积是4104升。 26．一种长方体的煤气灶包装箱，长8分米，宽4分米，高1.5分米。 （1）做这个包装箱至少要用多少平方分米硬纸板？是多少平方米？ （2）包装箱的体积是多少立方分米？是多少立方米？ 【答案】（1）100平方分米；1平方米 （2）48立方分米；0.048立方米 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出做这个包装箱至少要用硬纸板的面积，再根据进率“1平方米＝100平方分米”换算单位。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出包装箱的体积，再根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【解答】（1）（8×4＋8×1.5＋4×1.5）×2 ＝（32＋12＋6）×2 ＝50×2 ＝100（平方分米） 100平方分米＝1平方米 答：做这个包装箱至少要用100平方分米硬纸板，是1平方米。 （2）8×4×1.5 ＝32×1.5 ＝48（立方分米） 48立方分米＝0.048立方米 答：包装箱的体积是48立方分米，是0.048立方米。 27．一个无盖的长方体玻璃金鱼缸，长8分米，宽7分米，高6分米。 （1）制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）这个金鱼缸最多可以盛水多少升？是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】（1）236平方分米； （2）336升；336000毫升 【分析】（1）分析题目，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求出长方体的表面积，再根据金鱼缸无盖可知不用计算长方体的上面，据此用长方体的表面积减去一个长×宽的面积即可； （2）先根据长方体的体积＝长×宽×高求出金鱼缸的体积，再根据1升＝1立方分米，1升＝1000毫升把单位换算成升和毫升即可。 【解答】（1）（8×7＋8×6＋7×6）×2－8×7 ＝（56＋48＋42）×2－56 ＝146×2－56 ＝292－56 ＝236（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要玻璃236平方分米。 （2）8×7×6 ＝56×6 ＝336（立方分米） 336立方分米＝336升 336升＝336000毫升 答：这个金鱼缸最多可以盛水336升，是336000毫升。 28．下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6.3升 （2）1970平方厘米 【分析】（1）已知长方体容器长35厘米、宽10厘米、水深18厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出水的体积，再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 （2）观察图形可知，水与容器接触的面是长方体的底面、前后面和左右面共5个面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是水与容器接触的面积。 【解答】（1）35×10×18 ＝350×18 ＝6300（立方厘米） 6300立方厘米＝6.3升 答：容器中水的体积是6.3升。 （2）35×10＋35×18×2＋10×18×2 ＝350＋1260＋360 ＝1970（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是1970平方厘米。 29．王叔叔在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图，底面也浇筑混凝土），这个水槽从外面量长12分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚1分米。 （1）这个水槽最多可以盛水多少升？ （2）如果在水槽外贴一圈瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】（1）240升 （2）2平方米 【分析】（1）水槽最多可以盛水多少升，是求长方体的容积，要从里面量。因此长方体的容积＝（长方体的长－混凝土厚×2）×（长方体的宽－混凝土厚×2）×（长方体的高－混凝土厚），代入数据计算即可。 （2）在水槽外贴一圈瓷砖，即求前后左右4个面的面积，因此贴瓷砖的面积＝长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【解答】（1）（12－1×2）×（8－1×2）×（5－1） ＝（12－2）×（8－2）×（5－1） ＝10×6×4 ＝240（立方分米） ＝240（升） 答：这个水槽最多可以盛水240升。 （2）12×5×2＋8×5×2 ＝120＋80 ＝200（平方分米） ＝2（平方米） 答：贴瓷砖的面积是2平方米。 30．一个花坛（如图），底面是边长2米的正方形，高0.8米。四周用木条围成。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？（木条空隙忽略不计） （3）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ 【答案】（1）4平方米 （2）6.4平方米 （3）3.2立方米 【分析】（1）求花坛占地面积，实际是求花坛的底面积，底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，用2×2，即可求出花坛占地面积； （2）观察图形可知，四周的面积等于前面、后面、左面和右面的面积和，因为底面是个正方形，所以前面、后面、左面和右面这四个面的面积相等，则用2×0.8×4，即可求出四周大约需要木条多少平方米。 （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，则用2×2×0.8，即可求出泥土的体积。 【解答】（1）2×2＝4（平方米） 答：这个花坛的占地4平方米。 （2）2×4×0.8 ＝8×0.8 ＝6.4（平方米） 答：四周大约需要木条6.4平方米。 （3）2×2×0.8 ＝4×0.8 ＝3.2（立方米） 答：大约需要泥土3.2立方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$