1.1.2空间向量的数量积运算过关检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第一章（2019）人教A版） 一、单选题 1．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 2．在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 3．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 5．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 三、填空题 9．已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 10．若线段，在平面内，，，且，，，则 ． 四、解答题 11．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，若是的中点，在上且，记，，. (1)用向量，，表示向量； (2)若，求. 12．如图，已知空间四边形． (1)若，，求证：； (2)求的值． 13．如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 14．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 解析 一、单选题 1．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 分析：根据空间向量的线性运算可得解. 解析： 如图所示，在三棱柱中，，， 依题意，故选：A. 2．在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 答案：D 分析：利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可得出结果． 解析：由题意 ， 又，即，得，所以． 故选：D． 3．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 答案：A 分析：由，列出方程求解即可. 解析：因为三点共线，所以，即， 所以，解得，所以， 故选：A 4．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 答案：B 分析：先表示出，然后利用数量积公式计算. 解析： . 故选：B 5．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：利用投影向量的定义可得结果. 解析：如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点，所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 6．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算， 即可求得的值，得到答案. 解析：如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为，可得. 故选：D. 二、多选题 7．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：AC 分析：根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 解析：因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 8．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 答案：AD 分析：根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 解析：选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 三、填空题 9．已知长方体的底面是边长为2的正方形，是的中点，则 答案：4 分析：根据空间向量的线性运算，结合数量积的运算律即可求解. 解析： 故, 故答案为：4    10．若线段，在平面内，，，且，，，则 ． 答案：4 分析：由线面垂直得到线线垂直，两边平方，根据空间向量数量积公式可得，求出答案. 解析：因为，线段，在平面内，所以， ，又， 所以 ， 所以． 故答案为：4 四、解答题 11．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，若是的中点，在上且，记，，. (1)用向量，，表示向量； (2)若，求. 分析：（1）根据空间向量基本定理进行求解即可； （2）根据空间向量数量积的运算性质和定义、结合空间向量基本定理进行求解即可. 解析：（1）因为是的中点，在上且， 所以； （2）由（1）可知：，因为， 所以， 而，因为正四面体的棱长为1， 所以 . 12．如图，已知空间四边形． (1)若，，求证：； (2)求的值． 分析：（1）得，得，两式相减，化简得到答案 （2），代入提公因式化简可以得到答案 解析：（1）因为，所以， 同理可得，两式相减可得， 即，所以． （2） ． 13．如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 分析：（1）解法1：利用共面向量及三角形的重心特征可得，平方即可得答案； 解法2：求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）证法1：由，可得，同理可证，，即得证明； 证法2：由，可得，，利用勾股定理即可得证明. 解析：（1）解：解法1：因为为的重心，所以， 所以 ， 所以； 解法2：因为为的重心 ,所以， 在中，由勾股定理可得：． （2）证明：证法1：因为 ， 所以， 同理可得, 所以 ， 所以，即, 同理可证，， 所以，，两两垂直． 证法2：因为为正三角形的重心，所以， 其中为正三角形边上的中线(高)， 在中，，所以， 在中，可得， 同理可得， 所以可得， 所以， 同理可证，， 所以，，两两垂直． 14．在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 分析：（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为0证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 解析：（1）； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以 . 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$