第5章 专题强化(一) 小船渡河与关联速度问题（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一物理必修第二册高中同步学案（人教版）

专题强化(一)　小船渡河与关联速度问题 1．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题。 2．建立两种模型的一般分析思路和解法。　　 一、小船渡河问题 1．运动分析 小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动。 2．两类最值问题 (1)渡河时间最短问题 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。 (2)渡河位移最短问题 情况一：v水＜v船 最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如图乙所示。 情况二：v水＞v船 合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图丙所 示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ ′角，且cos θ ′＝。 　已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，图中用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图依次是(　　) A．①②　　　　　　　 B．①⑤ C．④⑤ D．②③ 【解析】　小船渡河类问题，若要小船在最短时间内渡河，则船头垂直河岸，且位移偏向下游，④对；已知v2＞v1，小船速度与水流速度的合速度垂直河岸时，小船以最短位移渡河，此时船头指向上游，⑤对，故C正确。 【答案】　C 　小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求： (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6) (3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？ 【解析】　(1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。 (2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则v合＝＝4 m/s，经历时间t＝＝ s＝50 s。 又cos θ＝＝＝0.6，即船头指向与岸的上游所成角度为53°。 (3) 如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，应使v合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船头指向与岸的上游成60°角。 【答案】　(1)40 s　正对岸下游120 m处 (2)船头指向与岸的上游成53°角　50 s (3)船头指向与岸的上游成60°角 特别提醒 1．要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船＞v水时。 2．要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直。 3．要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是船在静水中的速度，后者是合速度。 【针对训练1】　小船在静水中的速度v1＝3 m/s，它要渡过一条水流速度v2＝5 m/s，河宽150 m的河流，若认为河流笔直且足够长，则可确定(　　) A．小船可能到达出发点的正对岸 B．小船渡河的最小位移是150 m C．小船渡河时间不能少于50 s D．小船根本不可能到达对岸 【解析】　因为小船在静水中的速度小于水流速度，则合速度的方向不可能垂直河岸，所以小船不可能到达出发点的正对岸，故A、B错误；当船头方向始终垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t＝＝ s＝50 s，故C正确；将小船的速度沿河岸和垂直河岸分解，只要小船的速度有垂直河岸方向的分量，就能到达河对岸，故D错误。 【答案】　C 二、关联速度问题 1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题。 2．“关联”速度的分解规律 (1)分解依据 ①物体的实际运动是合运动。 ②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同。 (2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。 (3)常见的速度分解情形如下： 　如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，小船水平向左运动，小船与滑轮间的绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船的速度v船为(　　) A．小船做加速运动，v船＝ B．小船做加速运动，v船＝v0cos α C．小船做匀速直线运动，v船＝ D．小船做匀速直线运动，v船＝v0cos α 【解析】　如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度v船可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短，二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度v船应有沿OP绳指向O的分速度v2和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得v船＝，v2＝v0，则v船＝，α角逐渐变大，可得v船是逐渐变大的，所以小船做的是加速运动。 【答案】　A 　如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其以速度v0沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列v－t图像中，最接近物体B运动情况的是(　　) 【解析】　将与物体A相连的绳端的速度v0分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝v0sin θ，在t＝0时刻θ＝0°，vB＝0，C错误；之后随θ增大，sin θ增大，B的速度增大，且开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，若绳和杆足够长，则物体B的速度最终趋近于A的速度，A正确，B、D错误。 【答案】　A 特别提醒 解答“关联”速度的分解问题的两个关键 (1)弄清合运动与分运动：物体的实际运动是合运动。 (2)绳(杆)两端所连物体的速度与沿着绳(杆)方向的分速度大小相等。 【针对训练2】　A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图所示，物体B的速度vB为(绳始终有拉力)(　　) A. B. C. D. 【解析】　对A物体的速度沿着绳子方向和垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为v1 cos α；对B物体的速度沿着绳子方向和垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为vBcos β，由于沿着绳子方向速度大小相等，所以v1cos α＝vBcos β，因此vB＝，故A、B、D错误，C正确。 【答案】　C 1．(小船渡河模型)小华同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图如图所示。图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向如图水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变。则(　　) B. C. D. 【解析】　A中小船的合速度的方向正好垂直于河岸，过河的位移最小，过河时间不是最短，故A错误；B中小船相对于静水的速度方向垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，故B正确；C中由于存在水流速度，因此不可能出现此现象，故C错误；根据D中船头的指向可知小船合速度的方向不可能是图示方向，而且船的轨迹应该是直线，故D错误。 【答案】　B 2．(小船渡河模型)某船要渡过60 m宽的河，船渡河的最短时间是12 s；若船沿垂直河岸的直线到达正对岸，渡河时间是15 s，则船在静水中的速率v1及河水的流速v2分别为(　　) A．v1＝5 m/s　v2＝4 m/s B．v1＝5 m/s　v2＝3 m/s C．v1＝4 m/s　v2＝5 m/s D．v1＝4 m/s　v2＝3 m/s 【解析】　当以最短时间渡河时，船头指向正对岸，则渡河时间为：t1＝，所以船在静水中的速度为：v1＝＝ m/s＝5 m/s，故C、D均错误；当船垂直河岸到达正对岸时，即合速度垂直河岸，渡河时间为：t2＝，代入数据得：v2＝3 m/s，故A错误，B正确。 【答案】　B 3. (关联速度模型)(多选)如图所示，水平向右直线行驶的小车通过细绳和定滑轮将重物以速率v竖直向上匀速提升，在此过程中，不计细绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是(　　) A．小车做加速运动 B．小车做减速运动 C．细绳对小车的拉力逐渐变大 D．细绳对小车的拉力大小不变 【解析】　将小车的速度分解，如图，则v车＝，则随着小车向右运动，则θ减小，v车减小，即小车做减速运动，选项A错误，B正确；因物块匀速上升，可知绳子对物块的拉力不变，即绳子的张力不变，绳子对小车的拉力大小不变，选项C错误，D正确。 【答案】　BD 4．(关联速度模型)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　) A．5 m/s　　　　　　　 B. m/s C．20 m/s D. m/s 【解析】　 物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vBcos α，由于绳不可伸长，所以绳OA段伸长的速度等于绳BO段缩短的速度，所以有vB∥＝vA，故vA＝vBcos α，所以vB＝＝m/s，选项D正确。 【答案】　D 5. (关联速度模型)如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　) A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ 【解析】　 可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。 【答案】　C 专题强化练1　小船渡河与关联速度问题 题型一　小船渡河模型 1．船在静水中的速度为v1，水流的速度为v2，河宽为d，当船头垂直于河岸航行时(　　) A．实际航程最短 B．水速减少时渡河时间变长 C．过河时间最短 D．水速变大时渡河时间变长 【解析】　如果水流速度为v2，船渡河过程被冲到下游的距离为：x＝v2t＝d，实际航程不是最短，选项A错误；船渡河的时间与水流速度无关，选项B错误；设河宽为d，船垂直于河岸的速度为v1，过河最短时间为：t＝，选项C正确；船渡河的时间与水流速度无关，选项D错误。 【答案】　C 2．(多选)唐僧、悟空、八戒和沙僧师徒四人想划船渡过一条宽160 m的河，他们在静水中划船的速度大小为3 m/s，河水的流速为5 m/s。对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是(　　) A．唐僧说：我们要想到达正对岸就得朝着正对岸划船 B．悟空说：我们要想节省时间就得朝着正对岸划船 C．沙僧说：我们要想少走点路就得朝着正对岸划船 D．八戒说：今天这种情况我们是不可能到达正对岸的 【解析】　当划船的速度垂直于河岸时，渡河的时间最短，因此要想节省时间就得朝着正对岸划船，故悟空说的正确；因在静水中划船的速度大小为3 m/s，河水的流速为5 m/s(大于船在静水中的速度)，所以当合速度与船速度垂直时，渡河的位移最小，此时船头偏向上游，渡河位移偏向下游，不可能到达正对岸的，因此八戒说的正确，故A、C错误，B、D正确。 【答案】　BD 3．轮船的船头垂直河岸以一定的速度向对岸行驶，河宽为d，河水匀速流动(河道是直的)，如图所示(轮船可视为质点)。则轮船渡河通过的路程、时间与水流速度的关系正确的是(　　) A．水流速度越大，则路程越长，所用时间越长 B．水流速度越大，则路程越长，所用时间不变 C．水流速度越大，则路程越短，所用时间越短 D．水流速度的大小不影响通过的路程与时间 【解析】　设船头垂直于河岸行驶的速度为v，那么渡河时间为t＝。由此可知，渡河时间与船头垂直于河岸的速度有关，而与水流速度无关；水流速度越大，船的合速度也越大，因渡河时间不变，则船在水中运动的路程就越大，故B正确，A、C、D错误。 【答案】　B 4．(多选)在全国少数民族传统体育运动会上有一个骑射项目，如图所示，运动员骑在奔驰的马背上沿着跑道AB运动，拉弓放箭，射向他左侧的固定箭靶。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2，跑道离固定箭靶的最近距离OA＝d。若不计空气阻力的影响，要想命中靶心且射出的箭在空中飞行时间最短，则(　　) A．运动员骑马奔驰时应该瞄准靶心放箭 B．运动员应该在离A点距离为d的地方放箭 C．箭射到靶的最短时间为 D．箭射到靶的最短时间为 【解析】　 要想使箭在空中飞行时间最短的情况下击中靶心，v2必须垂直于跑道，并且v1、v2的合速度方向指向靶心，如图所示，故箭射到靶的最短时间t＝，D错误，C正确。箭在空中飞行时沿跑道的分速度为v1，则运动员放箭时离A点的距离应为x＝v1t＝d，A错误，B正确。 【答案】　BC 5．(多选)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变，船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则(　　) A．越接近河岸水流速度越小 B．越接近河岸水流速度越大 C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短 D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响 【解析】　从轨迹曲线的形状可以知道，小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，即越接近河岸水流速度越小，河中间部分水流速度较大，A正确，B错误；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，C正确；根据各分运动的独立性可知，该船渡河的时间不会受水流速度变化的影响，D错误。 【答案】　AC 6．(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示。若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是(　　) A．船渡河的最短时间为100 s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度为7 m/s 【解析】　由运动的独立性可知，垂直河岸方向速度越大，渡河时间越短，即船头始终与河岸垂直，航行时所用时间最短，tmin＝＝100 s，选项A、B正确；由题图甲可知，水流速度在变化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹不是直线，选项C错误；船在静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4 m/s，则船在河水中的最大速度为5 m/s，选项D错误。 【答案】　AB 7. 如图所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则(　　) A．t1＞t2，s1＜s2　　　　 B．t1＜t2，s1＞s2 C．t1＝t2，s1＜s2 D．t1＝t2，s1＞s2 【解析】　因为AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝，所以两次渡河时间相等。设AB、AC与河岸夹角为θ，船头向着AB方向时，沿河岸方向的分速度v1＝v静cos θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向的分速度v2＝|v－v静cos θ|＜v1，水平方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，s1＞s2，故D正确，A、B、C错误。 【答案】　D 8. 平直的河岸中河水的流动速度恒为4 m/s，河宽为40 m。如图所示，一条木船要沿着图中虚线所示的直线从A点到达B点，且AB与河岸成30°角，则下列说法正确的是(　　) A．船从A点到达B点的最短时间为10 s B．船的最大划速为 m/s C．船的最小划速为 m/s D．船的最小划速为2 m/s 【解析】　 因为船的划行方向和划行速度的大小都不知道，所以不能求出船从A点到达B点的最短时间和最大划速，A、B错误；根据题意作出速度的矢量三角形如图所示，从图中可以看出船的最小划速为2 m/s，D正确。 【答案】　D 题型二　关联速度模型 9．如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒与平台接触点的速度为(　　) A．vsin α B. C．vcos α D. 【解析】　棒与平台接触点的实际运动即合运动，方向垂直于棒指向左上，如图所示 合速度v合沿竖直方向上的速度分量等于v，即v合sin α＝v，所以v合＝，故B正确。 【答案】　B 10．如图所示，在距河面高度h＝20 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么(　　) A．5 s时绳与水面的夹角为60° B．5 s时小船前进了15 m C．5 s时小船的速率为4 m/s D．5 s时小船到岸边的距离为15 m 【解析】　设开始时小船距岸边为L，则L＝＝20 m，5 s时人拉绳端移动的位移为x＝vt＝3×5 m＝15 m，设5 s时小船前进了x′，绳与水面的夹角为θ，由几何关系得sin θ＝＝0.8，A错误；由tan θ＝，解得x′≈19.64 m，B错误；由v船cos θ＝v可得5 s时小船的速率为v船＝5 m/s，C错误；5 s时小船到岸边的距离为L－x′＝＝15 m，D正确。 【答案】　D 11．如图，质量相等的两个物体A和B用轻绳连接跨过定滑轮(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)。当用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中(　　) A．物体A上升过程中处于平衡状态 B．物体A上升过程中重力小于绳子的拉力 C．由于B物体一侧的绳子与水平方向的夹角逐渐减小，所以物体B的速率小于物体A的速率 D．地面对物体B的支持力逐渐减小 【解析】　将B物体的速度进行分解如图所示 vA＝vBcos θ，运动过程中θ减小，B的速度不变，则A的速度逐渐增大，说明A物体在竖直向上做加速运动，由牛顿第二定律T－mg＝ma可知，物体A上升过程中重力小于绳子的拉力，故A错误，B正确；根据vA＝vBcos θ可知，A的速度小于B的速度，故C错误；由于B在竖直方向上平衡，有Tsin θ＋N＝mg，假若绳子无限长，B物体距滑轮足够远，即当θ→0时，有vA→vB，a→0，这表明，物体A在上升的过程中，加速度必定逐渐减小，绳子对A物体的拉力逐渐减小，sin θ减小，则支持力增大，故D错误。 【答案】　B 12．如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A的速度v1为(　　) A．v1＝v0sin αcos θ B．v1＝ C．v1＝v0cos αcos θ D．v1＝ 【解析】　人和A沿绳方向的分速度相等 可得v0cos α＝v1cos θ 所以v1＝。 【答案】　D 13．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小为v2，则(　　) A．v2＝v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝v1 【解析】　小球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，由几何关系可知小球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，两球沿杆方向的速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正确。 【答案】　C 14．一小船正在渡河，如图所示，在离对岸30 m时，其下游40 m处有一危险水域，若水流速度为5 m/s，船在静水中的速度为6 m/s。 (1)从现在开始小船到达对岸的最短时间？ (2)为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起相对于静水的最小速度。 【解析】　(1)当船头垂直于河岸时，小船到达对岸的时间最短，根据d＝v船t，解得t＝5 s； (2)小船的合速度方向与合位移方向相同，由平行四边形定则可知，只有当小船相对于静水的速度与合速度方向垂直时，小船相对于静水的速度最小。如图所示： 由tan θ＝＝，得θ＝37°。 最小速度为v1＝v2sin θ＝5×0.6 m/s＝3 m/s，其方向斜向上游河岸，且与河岸成53°角。 【答案】　(1)5 s　(2)3 m/s，其方向斜向上游河岸，且与河岸成53°角 15. 一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H。车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示。试求： (1)车向左运动的加速度的大小； (2)重物m在t时刻速度的大小。 【解析】　(1)车在时间t内向左运动的位移：x＝， 由车做匀加速直线运动，得：x＝at2， 解得：a＝＝。 (2)t时刻车的速度：v车＝at＝， 由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：v物＝v车cos θ， 解得：v物＝。 【答案】　(1)　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $$