第5章 专题强化(二) 平抛运动规律的应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一物理必修第二册高中同步学案（人教版）

专题强化(二)　平抛运动规律的应用 1．能熟练运用平抛运动规律解决问题。 2．会分析平抛运动与其他运动相结合的问题。 3．会分析类平抛运动。　　 一、平抛运动的两个重要推论及应用 1．做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 2．做平抛运动的物体在某时刻速度方向、位移方向与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝2tan α。 　图为一物体做平抛运动的轨迹，物体从O点抛出，x、y分别表示其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P(x0，y0)，其速度vP的反向延长线交x轴于A点(A点未画出)。则OA的长度为(　　) A．x0　　　　　　 B．0.5x0 C．0.3x0 D．不能确定 【解析】　法一：由题意作图，设v与水平方向的夹角为θ，由几何关系得tan θ＝① 由平抛运动规律得 水平方向有x0＝v0t② 竖直方向有y0＝vyt③ 由①②③得tan θ＝ 在△AEP中，由几何关系得＝＝ 所以＝x0－＝0.5x0。 法二：由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度矢量的反向延长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。 【答案】　B 　 如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θ B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为 C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长 D．若小球初速度增大，则θ减小 【解析】　 将小球着地时的速度进行分解，如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度v0＝，选项A错误；平抛运动的时间t＝，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；设位移方向与水平方向的夹角为α，则由推论一可知tan θ＝2tan α，但α≠，选项B错误；由于tan θ＝，t不变，当初速度v0增大时，tan θ变小，θ减小，选项D正确。 【答案】　D 二、与斜面有关的平抛运动 1．模型构建 两类与斜面结合的平抛运动 (1)物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。 (2)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。 2．求解思路 已知信息 实例 处理思路 速度方向 垂直打到斜面上的平抛运动 (1)确定速度与竖直方向的夹角θ，画出速度分解图 (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy (3)根据tan θ＝列式求解 位移方向 从斜面上一点水平抛出后落回在斜面上的平抛运动 (1)确定位移与水平方向的夹角θ，画出位移分解图 (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y (3)根据tan θ＝列式求解 　 如图所示，以10 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上(g取10 m/s2)，可知物体完成这段飞行的时间是(　　) A. s　 　B. s　 　C．1 s　 　D．2 s 【解析】　物体垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上，根据几何关系可知此时速度方向与水平方向的夹角为45°，由平抛运动的规律得vy＝v0 tan 45°＝gt，代入数据解得t＝1 s，故选项C正确，A、B、D错误。 【答案】　C 　 如图所示，在某次自由式滑雪比赛中，一运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上，若斜面雪坡的倾角为θ，运动员飞出时的速度大小为v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则(　　) A．如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的速度方向也就不同 B．不论v0多大，该运动员落到雪坡时的速度方向都是相同的 C．运动员落到雪坡时的速度大小是 D．运动员在空中经历的时间是 【解析】　如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的位置不同，但位移方向均沿斜坡，即位移方向与水平方向的夹角均为θ，由tan φ＝2tan θ得速度方向与水平方向的夹角均为φ，选项A错误，B正确；将运动员落到雪坡时的速度沿水平和竖直方向分解，求出运动员落到雪坡时的速度大小为，选项C错误；由几何关系得tan θ＝，解得运动员在空中经历的时间t＝。D错误。 【答案】　B 【针对训练1】　(多选)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta小球恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点q处。若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　) A．va＝vb 　 B．va＝vb C．ta＝tb 　　　 D．ta＝tb 【解析】　做平抛运动的小球的运动时间由竖直方向的高度决定，即t＝ ，从a处抛出的小球下落的高度是从b处抛出的小球的2倍，有ta＝tb，选项C错误，D正确；水平方向的距离由下落的高度和初速度共同决定，即x＝v0 ，由题意得从a处抛出的小球的水平位移是从b处抛出的小球的2倍，可知va＝vb，选项A错误，B正确。 【答案】　BD 三、类平抛运动 1．类平抛运动的特点 (1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。 (2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 (3)运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(v0的方向与CD平行)，小球运动到B点的过程中做的就是类平抛运动。 2．类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别在于： (1)运动平面不同：类平抛运动→任意平面；平抛运动→竖直面。 (2)初速度方向不同：类平抛运动→任意方向；平抛运动→水平方向。 (3)加速度不同：类平抛运动→a＝，与初速度方向垂直；平抛运动→重力加速度g，竖直向下。 　如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力) (1)物块由P运动到Q所用的时间t； (2)物块由P点水平射入时初速度的大小v0； (3)物块离开Q点时速度的大小v。 【解析】　(1)沿斜面向下的方向有mgsin θ＝ma，l＝at2 联立解得t＝ 。 (2)沿水平方向有b＝v0t v0＝＝b 。 (3)物块离开Q点时的速度大小 v＝＝ 。 【答案】　(1) 　(2)b (3) 1. (平抛运动规律的推论)从同一点水平抛出三个小球，分别撞在竖直墙壁上a点、b点、c点，则(　　) A．落在a点的小球水平速度最小 B．落在b点的小球竖直速度最小 C．落在c点的小球飞行时间最短 D．a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点 【解析】　三个小球做平抛运动，根据h＝gt2得t＝ ，可知落在a点的小球飞行时间最短，落在c点的小球飞行时间最长，C错误；由x＝v0t得v0＝，x相等，落在a点的小球飞行时间最短，则落在a点的小球水平速度最大，A错误；小球的竖直速度vy＝gt，可知落在a点的小球竖直速度最小，B错误；根据推论二可知，平抛运动的速度方向的反向延长线通过水平位移的中点，小球在a、b、c三点速度方向的反向延长线交于一点，D正确。 【答案】　D 2. (平抛运动规律的推论)如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则(　　) A．当v1＞v2时，α1＞α2 B．当v1＞v2时，α1＜α2 C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2 D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 【解析】　小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确。 【答案】　C 3. (与斜面有关的平抛运动)如图所示，倾角θ＝30°的斜面放在水平地面上，P是斜面底端O点正上方的一点，一物体从P点水平抛出，垂直落到斜面上的A点。A点距离水平面的高度为h，由此可知OP之间的距离为(　　) A．2h　　　　　　 B．2.5h C．2h D．2h 【解析】　设OP之间的距离为H，平抛运动的水平位移为s，则H－h＝vy·t，s＝v0t，两式相比＝，因为＝，s＝，所以H＝h＋，代入数据求得H＝2.5h，B正确。 【答案】　B 4．(与斜面有关的平抛运动)如图所示，在斜面顶端的A点以速度v平抛一小球，经t1时间落到斜面上B点处，若在A点将此小球以速度0.5v水平抛出，经t2落到斜面上的C点处，以下判断正确的是(　　) A．t1∶t2＝4∶1 B．AB∶AC＝4∶1 C．AB∶AC＝2∶1 D．t1∶t2＝∶1 【解析】　平抛运动竖直方向上的位移和水平方向上的位移的比值tan θ＝＝＝，则t＝。知运动的时间与初速度成正比，所以t1∶t2＝2∶1；竖直方向上下落的高度h＝gt2，知竖直方向上的位移之比为4∶1；斜面上的距离s＝，知AB∶AC＝4∶1，故B正确，A、C、D错误。 【答案】　B 5．(类平抛运动)如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，重力加速度为g，则(　　) A．物块做匀变速曲线运动，加速度为g B．Q点速度vQ＝ C．初速度为v0＝b D．物块由P点运动到Q点所用的时间t＝ 【解析】　光滑斜面上的物块所受合力为mg sin θ，大小恒定，方向沿斜面向下，初速度与合力方向垂直，物块做匀变速曲线运动，根据牛顿第二定律得，物块的加速度为：a＝＝gsin θ，故A错误；根据l＝at2，有：t＝ ＝ ；在Q点的沿平行斜面方向的分速度为：vQy＝at＝gsin θ× ＝ ；物块沿初速度方向做匀速直线运动，由b＝v0t，有：v0＝＝＝b ；故物块离开Q点时速度的大小：vQ＝ ＝ ，故B、D错误，C正确。 【答案】　C 专题强化练3　平抛运动规律的应用 1．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上Q点处，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为kv0，小球仍落在斜面上，则(　　) A．小球的水平位移和竖直位移之比变为原来的k倍 B．空中的运动时间变为原来的k倍 C．PQ间距一定为原来间距的k倍 D．夹角α将变为原来的k倍 【解析】　斜面倾角的正切值tan θ＝＝，得：t＝，运动的时间与平抛运动的初速度有关，初速度变为原来的k倍，则小球的水平位移和竖直位移之比不变，运动时间变为原来的k倍，故A错误，B正确；因为初速度变为原来的k倍，运动的时间也变为原来的k倍，根据x＝v0t，水平位移变为原来的k2倍，竖直位移也变为原来的k2倍，PQ间距s＝ ，所以PQ间距变为原来间距的k2倍，故C错误；由tan(θ＋α)＝2tan θ，知斜面倾角θ不变，速度与斜面的夹角α也不变，故D错误。 【答案】　B 2. (多选)如图所示，从斜面顶端P点处以初速度v0向左水平抛出一小球(不计空气阻力)，小球落在斜面上的A点处，A、P之间距离为L，小球在空中运动时间为t，改变初速度v0的大小，L和t都随之改变。关于L、t与v0的关系，下列说法中正确的是(　　) A．L与v0成正比　 B．L与v02成正比 C．t与v0成正比 D．t与v02成正比 【解析】　设斜面的倾角为θ，重力加速度为g，平抛运动在竖直方向上有Lsin θ＝gt2。在水平方向上有Lcos θ＝v0t，综合两式得L＝，知L与v02成正比。根据tan θ＝＝，可得t＝，t与v0成正比。故B、C正确，A、D错误。 【答案】　BC 3．(多选)倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断(　　) A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3 B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度的夹角之比为1∶1∶1 C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1 D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 【解析】　由于AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，故三个小球竖直位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的速度大小和位置无关，因此B正确；同时tan α＝，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比为3∶2∶1，C正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相交，因此不会在空中相交，D错误。 【答案】　BC 4．在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　) A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【解析】　甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确。 【答案】　A 5．如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球以2v0的水平速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 【解析】　斜面倾角的正切值tan θ＝＝＝，则运动的时间t＝，知运动的时间与平抛运动的初速度有关，初速度变为原来的2倍，则运动时间变为原来的2倍，所以时间比为1∶2，故B正确。 【答案】　B 6．如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则以下说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A．小球空中运动时间为 B．小球的水平位移大小为 C．由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解 D．小球的竖直位移大小为 【解析】　如图所示，过抛出点作斜面的垂线；当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向：x＝v0t；竖直方向：y＝gt2。 根据几何关系有＝tan θ； 联立解得t＝； 小球的水平位移大小为x＝v0t＝； 竖直位移大小为y＝gt2＝，由水平位移和竖直位移可求解位移的大小；故A、C、D错误，B正确。 【答案】　B 7．如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　) A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ 【解析】　法一：如题图所示，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有关系tan φ＝2tan θ，D正确。 法二：设小球飞行时间为t，则tan φ＝＝，tan θ＝＝＝，故tan φ＝2tan θ，D正确。 【答案】　D 8. 如图所示，A、B为两个挨得很近的小球，静止放于光滑斜面上，斜面足够长，在释放B球的同时，将A球以某一速度v0水平抛出，当A球落于斜面上的P点时，B球的位置位于(A、B两球均可视为质点，不计空气阻力)(　　) A．P点以下 B．P点以上 C．P点 D．由于v0未知，故无法确定 【解析】　设A球落到P点的时间为tA，AP的竖直位移为y；B球滑到P点的时间为tB，BP的竖直位移也为y，A球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，由y＝gt2得运动的时间为：tA＝ ，B球沿斜面做匀加速直线运动，运动到P点的位移为：s＝，加速度的大小为：a＝gsin θ，根据位移公式s＝at2得，B运动到P点的时间为：tB＝ ＝ ＞tA，故选B。 【答案】　B 9. 如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，斜面的倾角为30°，则关于h和初速度v0的关系，下列图像正确的是(　　) 【解析】　将小球恰好打到斜面上的速度沿竖直和水平方向进行分解，则有tan 30°＝，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，由几何关系得tan 30°＝，联立解得h＝，则h－v0图像应是开口向上的抛物线，故A、B、C错误，D正确。 【答案】　D 10. 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　) A．tan θ B．2tan θ C. D. 【解析】　 如图所示，设小球抛出时的初速度为v0，运动时间为t，则vx＝v0，vy＝v0cot θ，vy＝gt，x＝v0t，y＝，联立以上各式得＝，故D正确。 【答案】　D 11．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为(　　) A. B. C. D. 【解析】　设平抛运动的时间为t，由几何关系可知小球抛出时的初速度v0＝gt，而v0t＝R，解得v0＝，即选项B正确。 【答案】　B 12．如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从一水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入轨道。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。下列说法正确的是(　　) A．tan θ1·tan θ2＝2 B.＝2 C．tan θ1·tan θ2＝ D.＝ 【解析】　小球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动。进入轨道时的速度与水平方向的夹角为θ1，tan θ1＝＝，小球的位移与竖直方向的夹角为θ2，tan θ2＝＝，则tan θ1·tan θ2＝2。故选项A正确，B、C、D错误。 【答案】　A 13．如图所示，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，环半径为R。一个小球从A点沿AB以速度v0抛出，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　) A．v0越大，小球从抛出到落在半圆环上经历的时间越长 B．即使v0取值不同，小球落到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同 C．若v0取值适当，可以使小球垂直撞击半圆环 D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击半圆环 【解析】　小球落在环上的最低点C时所用时间最长，所以选项A错误；由平抛运动规律可知，小球的速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，v0取值不同，小球落到环上时的位移与水平方向的夹角不同，则速度方向和水平方向之间的夹角不相同，选项B错误；小球做平抛运动的末速度方向斜向右下方，不可能垂直撞击半圆环左半部分，要使小球垂直撞击半圆环右半部分，设小球落点与圆心O的连线与水平方向夹角为θ，如图所示，根据平抛运动规律可得，v0t＝R(1＋cos θ)，Rsin θ＝gt2，tan θ＝，联立解得cos θ＝1，则垂直撞击到半圆环是不可能的，故选项D正确，C错误。 【答案】　D 14．如图所示，将A、B两质点以相同的水平速度v0从坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B在光滑的斜面上运动，落地点为P2，P1、P2在同一平面内，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　) A．A、B的运动时间相同 B．A、B沿x轴方向的位移相同 C．A、B的运动时间相同，但沿x轴方向的位移不同 D．A、B的运动时间不同，且沿x轴方向的位移不同 【解析】　A在竖直平面内做平抛运动，竖直方向的运动为自由落体运动，有h＝gtA2，则tA＝ ；B在斜面上运动，受到重力和支持力，沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，加速度是gsin θ，位移是s＝，所以B运动的时间tB＝ ，故B运动的时间长。A、B在水平方向都做匀速运动，由于水平方向的初速度相同，B运动时间长，所以B在x轴方向的位移比A大，D正确。 【答案】　D 15．如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。求：(空气阻力不计，重力加速度为g) (1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间； (2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？ 【解析】　(1)设飞行时间为t，则水平方向位移 lABcos 30°＝v0t， 竖直方向位移lABsin 30°＝gt2， 解得t＝tan 30°＝，lAB＝。 (2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动。 小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0， 由vy＝v0y－gyt′可得 t′＝＝＝tan 30°＝ 小球离斜面的最大距离 y＝＝＝。 【答案】　(1)　　(2)　 16．如图为一游戏中某个环节的示意图。参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上水平跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。 (1)若选手以速度v0在A点水平跳出后，能落到水平跑道上，求v0的最小值； (2)若选手以速度v1＝4 m/s在A点水平跳出，求该选手在空中的运动时间。 【解析】　(1)若选手以速度v0在A点水平跳出后，能落到水平跑道上，则水平方向有hsin 60°≤v0t 竖直方向有hcos 60°＝gt2， 解得v0≥ m/s 则v0最小值为 m/s； (2)若选手以速度v1＝4 m/s在A点水平跳出，因v1＜ m/s，选手将落在弧形坡上，设该选手在空中运动的时间为t1 下降高度为h1＝gt12 水平前进距离x＝v1t1 又x2＋h12＝h2 解得t1＝0.6 s。 【答案】　(1) m/s　(2)0.6 s 学科网（北京）股份有限公司 $$