第2章 专题强化 匀变速直线运动的推论及应用 v-t图像的综合应用（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一物理必修第一册高中同步学案（人教版）

专题强化　匀变速直线运动的推论及应用 v­t图像的综合应用 学科素养与目标要求 科学 思维 1．掌握三个平均速度公式及其适用条件，会用平均速度公式求解相关问题。 2．会推导位移差公式x＝aT2，会用它解决相关问题。 3．进一步掌握v­t图像的特点，熟练应用v­t图像求位移。 一、匀变速直线运动的平均速度公式 1．平均速度公式＝v＝ 证明：(1)根据平均速度的定义式＝、速度—时间关系式v＝v0＋at及位移公式x＝v0t＋at2，有＝＝v0＋at＝v0＋a·t＝v，即一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度。 (2)＝＝＝＝＝，即一段时间内的平均速度等于这段时间初、末速度v0、v矢量和的一半。图示如下： (3)＝与＝及＝v的比较 ＝适用于任何形式的运动；＝和＝v只适用于匀变速直线运动。 　(多选)一物体做匀变速直线运动，0时刻速度的大小为4 m/s，若此后1 s内位移的大小为5 m，那么该物体(　　) A．1 s末速度的大小可能小于10 m/s B．1 s末速度的大小可能大于14 m/s C．加速度的大小可能小于2 m/s2 D．加速度的大小可能大于10 m/s2 【解析】　规定初速度的方向为正方向，若位移的方向与初速度方向相同，则x＝5 m，根据x＝t，得v＝6 m/s，则加速度a＝＝2 m/s2，若位移的方向与初速度方向相反，则x＝－5 m，根据x＝t得v＝－14 m/s，则加速度a＝＝－18 m/s2，负号表示方向与初速度方向相反，故AD正确，BC错误。 【答案】　AD 1．让小球从斜面顶端滚下，如图所示是用闪光照相机拍摄的小球在斜面上运动的一段，已知频率为10 Hz，且O点是0.4 s时小球所处的位置，试根据此图估算： (1)小球从O点到B点的平均速度大小； (2)小球在A点和B点的瞬时速度大小； (3)小球运动的加速度大小。 【答案】　(1)0.8 m/s　(2)0.8 m/s 1.0 m/s　(3)2 m/s2 【解析】　依题意知，相邻两次闪光的时间间隔为 Δt＝＝ s＝0.1 s。 (1)小球从O点到B点的平均速度 vOB＝＝ m/s＝0.8 m/s。 (2)小球在A点的瞬时速度等于OB间的平均速度 vA＝vOB＝0.8 m/s 小球在B点的瞬时速度等于AC间的平均速度 vB＝＝ m/s＝1.0 m/s。 (3)小球的加速度 a＝＝ m/s2＝2 m/s2。 2．速度－位移公式的推论——位移中点速度公式v＝ (1)推导证明：如图，对全过程有v2－v＝2ax，对前一半位移有－v＝2a·，联立可得v＝ 。 (2)一个结论：不论是匀加速还是匀减速直线运动，位移中点的速度总大于中间时刻的速度，即v>v＝。可用图像证明如图所示： 　列车进站时做匀减速直线运动，车头经过站台某一位置Q时的速度为7 m/s，车尾经过Q时的速度为1 m/s，则车身的中部经过Q时的速度为(　　) A．3.5 m/s B．4.0 m/s C．5.0 m/s D．5.5 m/s 【解析】　设列车的长度为L，根据速度－位移公式得，v2－v＝2a＝v－v2＝2a，联立解得车身中部经过Q点的速度v＝＝m/s＝5 m/s。 【答案】　C 2．(多选)某汽车沿一直线运动，在t时间内通过的位移为L，在处速度为v1，在处速度为v2，则(　　 ) A．匀加速运动，v1>v2 B．匀加速运动，v1<v2 C．匀减速运动，v1<v2 D．匀减速运动，v1>v2 【解析】　设汽车的初速度为v0，末速度为v，则在中间时刻时速度v2＝，根据位移时间公式可得＝，＝，解得在中间位置时的速度为v1＝，根据数学知识可得v－v＝－＝>0，即无论汽车做匀加速运动还是匀减速运动，都有v1>v2，AD正确。 本题也可以通过v­t图像解决问题，如图所示 　 【答案】　AD 【总结提升】 1．注意在匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度v与中间位置的瞬时速度v是不同的，v＝，v＝。 2．可以证明：不论物体是做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有v>x。 三、位移差公式Δx＝aT2 　设物体从O点以初速度v0、加速度a沿x轴方向做匀变速直线运动，经相等的时间T后分别到达A、B、C、…，其间距(位移大小)分别为x1、x2、x3、… 则x1＝v0T＋aT2，x2＝(v0＋a·T)T＋aT2，x3＝(v0＋a·2T)T＋aT2，… 得Δx＝x2－x1＝aT2，x3－x2＝aT2，…，xn－xn－1＝aT2 即在匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差是一个恒定值。 　(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是(　　) A．第2 s内的位移是2.5 m B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s C．质点的加速度是0.125 m/s2 D．质点的加速度是0.5 m/s2 【解析】　由Δx＝aT2，得a＝＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，A、C错误，D正确；第3 s末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，B正确。 【答案】　BD 四、v­t图像的综合应用 1．利用v­t图像求位移 v­t图线与时间轴所围成的“面积”表示位移。“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和。 　某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像求： (1)物体距出发点的最远距离； (2)前4 s内物体的位移； (3)前4 s内物体通过的路程。 【答案】　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m 【解析】　(1)物体距出发点最远的距离 xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m。 (2)前4 s的位移 x＝x1－x2＝v1t1－v2t2 ＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m。 (3)前4 s内通过的路程 s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2 ＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。 2．x­t图像与v­t图像的比较 　　　种类 内容　　　 v­t图像 x­t图像 图线斜率 表示加速度 表示速度 图线与时间轴所围面积 表示位移 无意义 两图线交点坐标 表示速度相同，不表示相遇，往往是距离最大或最小的临界点 表示相遇 　(多选)下列所给的图像中能反映做直线运动的物体回到初始位置的是(　　) 【解析】　由图A可知，物体开始和结束时的纵坐标为0，说明物体又回到了初始位置，A正确；由图B可知，物体一直沿正方向运动，位移增大，故无法回到初始位置，B错误；由图C知，物体第1 s内的位移沿正方向，大小为2 m，第2 s内的位移沿负方向，大小为2 m，故2 s末物体回到初始位置，C正确；由图D知，物体做匀变速直线运动，2 s末时物体的总位移为零，故物体回到初始位置，D正确。 【答案】　ACD 3．(多选)如图所示的位移(x)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　) A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动 B．0～t1时间内，甲车通过的路程等于乙车通过的路程 C．0～t2时间内；丙、丁两车在t2时刻相距最远 D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等 【解析】　位移－时间图像中，斜率代表速度，由图可知甲的速度不变，所以做匀速直线运动；乙的斜率逐渐减小，所以做速度逐渐减小的直线运动，并非曲线运动，故A错误；在t1时刻甲、乙两车的位移相等，又都是单向直线运动，所以两车路程相等，故B正确；由速度－时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移可知，丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，故C正确；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，时间相等，平均速度等于位移除以时间，所以丙的平均速度小于丁的平均速度，故D错误。 【答案】　BC 1．(平均速度公式的应用)一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用时间为t，紧接着通过下一段位移3Δx所用时间为2t，则物体运动的加速度大小为(　　 ) A． B． C． D． 【解析】　物体做匀加速直线运动，在第一段位移Δx内的平均速度是1＝， 在第二段位移3Δx内的平均速度是2＝， 因为某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则两个中间时刻的时间差是Δt＝＋t＝t，则加速度是a＝＝＝。 【答案】　B 2．(位移差公式Δx＝aT2的应用)(多选)物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m。且物体通过AB、BC、CD所用时间相等，则下列说法正确的是(　　) A．可以求出物体加速度的大小 B．可以求得CD＝4 m C．可求得OA＝1.125 m D．可求得OA＝1.5 m 【解析】　设物体做匀加速运动的加速度为a，通过AB、BC及CD的时间均为T，则有Δs＝aT2＝1 m，可以求得CD＝4 m，而B点瞬时速度vB＝，所以O与B间的距离sOB＝＝3.125 m，O与A之间的距离sOA＝sOB－AB＝1.125 m，即选项BC正确。 【答案】　BC 3．如图，A、B 实线部分分别是甲、乙两球从同一地点沿同一直线运动的v­t 图像，根据图像可以判断不正确的(　　) A．甲、乙两球在运动过程中加速度方向一直相反 B．两球在t＝8 s时相遇 C．两球在t＝2 s时速率不相等 D．两球在8 s内位移为 0 【解析】　甲先沿正方向减速运动，4 s后反向加速，乙先沿负方向减速运动，3 s后反向加速，所以甲、乙两球在运动过程中加速度方向一直相反，故A正确；从图像可知两球在0－8 s内各自位移为零，表示均回到起点，两球相遇，故BD正确；从图像可知两球在t＝2 s时速率均为20 m/s，故C错误。 【答案】　C 4．(匀变速直线运动推导公式的应用)一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求： (1)火车中点经过此路标时的速度大小v； (2)整列火车通过此路标所用的时间t。 【答案】　(1)　(2) 【解析】　火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。 (1)前一半位移，－v＝2a· 后一半位移，v－＝2a· 所以有－v＝v－， 故v＝。 (2)火车的平均速度＝ 故所用时间t＝＝。 专题强化练2　匀变速直线运动的推论及应用 v­t图像的综合应用 1.汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度大小达到v0时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的总时间为t0，则汽车通过的总位移大小为(　　) A．v0t0 B．v0t0 C．v0t0 D．v0t0 【解析】　汽车的速度－时间图像如图所示，由于图线与时间轴所围“面积”等于位移，故位移大小为x＝v0t0，B正确。 【答案】　B 2．一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1 s 内通过的位移为x1＝3 m，第2 s内通过的位移为x2＝2 m，又经过位移x3物体的速度减小为0，则下列说法正确的是(　　) A．初速度v0的大小为2.5 m/s B．加速度a的大小为2 m/s2 C．位移x3的大小为1.5 m D．位移x3内的平均速度大小为0.75 m/s 【解析】　由Δx＝aT2可得加速度的大小a＝1 m/s2，则B项错误；第1 s末的速度v1＝＝2.5 m/s，则v0＝v1＋at1＝3.5 m/s，A项错误；物体的速度由2.5 m/s减速到0所需时间t＝2.5 s，则经过位移x3的时间t′＝1.5 s，故x3＝at′2＝1.125 m，C项错误；位移x3内的平均速度＝＝0.75 m/s，则D项正确。 【答案】　D 3．沿直线做匀变速运动的质点在第一个0.5 s内的平均速度比它在第一个1.5 s内的平均速度大2.45 m/s，以质点初始时刻的运动方向为正方向，则质点的加速度为(　　 ) A．2.45 m/s2 B．－2.45 m/s2 C．4.90 m/s2 D．－4.90 m/s2 【解析】　质点在第一个0.5 s内的平均速度为v1，即在t1＝0.25 s时的速度为v1；在第一个1.5 s内的平均速度为v2，即在t2＝0.75 s时速度为v2。由题意得：v1－v2＝2.45 m/s，故a＝＝ m/s2＝－4.90 m/s2，D正确。 【答案】　D 4．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移是 (　　) A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0 【解析】　可以采用逆向思维，把物体的运动看做是初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m，选项B对。 【答案】　B 5.某物体做直线运动，物体的v­t图像如图所示。若初速度的大小为v0，末速度的大小为v1，则在时间t1内物体的平均速度(　　) A．等于(v0＋v1) B．小于(v0＋v1) C．大于(v0＋v1) D．条件不足，无法比较 【解析】　v­t图线与时间轴所围的面积表示位移，显然位移大于图中梯形的面积， 故在时间t1内物体的平均速度大于(v0＋v1)，选项C正确，ABD错误。 【答案】　C 6．飞行背包是一种可以让使用者通过穿戴该产品后飞上天空的飞行器。消防员利用飞行背包在某次高楼火灾观测时，竖直飞行的v­t图像如图所示，下列说法正确的是(　　 ) A．消防员上升的最大高度为225 m B．消防员在1.5 min～2.5 min内正处于上升阶段 C．消防员在0～0.5 min和2.5～3 min内加速度方向相同 D．消防员在2.5～3 min内的平均速度大小为5 m/s 【解析】　消防员在0～1.5 min内上升，1.5～2.5 min静止，2.5～4.25 min内下降，故1.5 s时上升的高度达到最大，据面积法可得，上升的最大高度为s＝×15×1.5×60 m＝675 m，故AB错误；消防员在0～0.5 min向上加速，加速度方向向上，2.5～3 min内向下加速，加速度方向向下，则两个时间段内的加速度方向相反，C错误；消防员在2.5～3 min内的平均速度为＝＝ m/s＝5 m/s，D正确。 【答案】　D 7．(多选)一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C两点。已知AB段、BC段距离分别为5 m、9 m，质点经过AB段、BC段时间相等均为1 s，则(　　) A．质点的加速度大小为4 m/s2 B．质点的加速度大小为2 m/s2 C．质点在C点的速度大小为11 m/s D．质点在B点的速度大小为6 m/s 【解析】　AB段、BC段时间相等，均为T＝1 s 由x2－x1＝aT2得 a＝＝m/s2＝4 m/s B点为AC的时间中点 vB＝AC＝＝m/s＝7 m/s 则vC＝vB＋aT＝(7＋4×1)m/s＝11 m/s 故A、C正确。 【答案】　AC 8．(多选)一个做匀加速直线运动的物体，先后经过a、b两点时的速度分别为v和7v，通过ab段的时间是t，则下列说法正确的是(　　 ) A．经过ab中间位置的速度是4v B．经过ab中间时刻的速度是4v C．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt D．前一半位移所需的时间是后一半位移所需时间的2倍 【解析】　设中间位置的速度为v1则v－v2＝2a·；(7v)2－v＝2a·联立解得v1＝5v，故A错误；匀变速运动在某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度。所以经过ab中间时刻的速度是v2＝＝4v，故B正确；中间时刻的速度为4v，前的时间通过的位移x1＝·＝vt后时间通过的位移x2＝·＝vt前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt，故C正确；中间位置的速度为v1＝5v前一半位移所用的时间t1＝＝后一半位移所用的时间t2＝＝。所以前一半位移所用的时间是后一半位移所用时间的2倍，故D正确。 【答案】　BCD 9．(多选)a、b两个物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度 B．20 s时，a、b两物体相距最远 C．60 s时，物体a在物体b的前方 D．若题图为位移时间图像，则物体a、b在40 s时相遇 【解析】　a、b加速时，b图线的斜率大于a图线的斜率，则b的加速度大于a的加速度，故A项错误；在0～20 s内，b静止，a向正方向做匀加速运动，在20～40 s内a的速度大于b的速度，两者间距增大。40 s后，a的速度小于b的速度，两者间距减小，则40 s时，a、b两物体相距最远，故B项错误；60 s时，a图线与时间轴围成的面积大于b图线与时间轴围成的面积，则a的位移大于b的位移，物体a在物体b的前方，故C项正确；若题图为位移时间图像，则物体a、b在40 s时相遇，故D项正确。 【答案】　CD 10．(多选)甲、乙、丙三个物体从同一地点出发，沿一条直线运动，v­t图像如图所示，下列说法正确的是(　　 ) A．乙的加速度最大 B．甲和丙的加速度方向相反 C．丙在16 s内的位移大小为16 m D．12 s末甲和乙相遇 【解析】　根据v­t图像的斜率表示加速度，则乙的加速度最小，故A错误；甲和丙的加速度方向相反，故B正确；根据v­t图像的面积表示位移，则丙在16 s内的位移大小为16 m，故C正确；由于甲、乙、丙三个物体从同一地点出发，且12 s末甲和乙速度相等，则此时两者相距最远，故D错误。 【答案】　BC 11．甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　) A．在t1时刻两车速度相等 B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等 C．从t1到t2时间内，两车走过的路程不相等 D．从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等 【解析】　根据位移—时间图像的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，选项A错误；从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，选项B错误；从t1到t2时间内，两车都是从x1位置走到x2位置，两车走过的路程相等，选项C错误；根据位移－时间图像的斜率表示速度可知，从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，选项D正确。 【答案】　D 12．一质点做匀加速直线运动，速度变化Δv时发生位移x1，紧接着速度变化同样Δv时发生位移x2。则该质点的加速度大小为(　　) A． B． C． D．(Δv)2 【解析】　本题疑难之处在于不知道运动时间，突破点是在匀加速直线运动中，速度变化同样的Δv时，所用时间相等。根据x2－x1＝aT2，a＝，联立可求得a＝，故B正确。 【答案】　B 13．如图所示，水平面上的一小滑块自A点由静止开始做加速度为a＝2 m/s2的匀加速直线运动，依次通过A、B、C、D四个点。通过AB、BC、CD各段所用时间均为 s。 (1)求BC段的距离； (2)若让该滑块自B点由静止开始仍沿此直线做加速度为a的匀加速直线运动，求该滑块到D点时的速度大小。 【答案】　(1)xBC＝6 m　(2)vD＝8 m/s 【解析】　(1)滑块做匀加速直线经过A、B、C、D四点可得 xAB＝aT2＝2 m xAC＝a(2T)2＝8 m 故BC段的距离为xBC＝xAC－xAB＝6 m (2)AD的距离为xAD＝a(3T)2＝18 m BD的距离为xBD＝xAD－xAB＝16 m 滑块从B由静止匀加速到D点时有v＝2axBD 解得vD＝8 m/s 14．已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB段的距离为l1，BC段的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离。 【答案】　 【解析】　利用“位移差公式＋时间中点速度公式＋速度平方差公式”求解 对AB、BC段，应用“位移差公式”有l2－l1＝aT2； 对B点，运用“时间中点速度公式”有vB＝ 对OB段，运用“速度平方差公式”有v＝2a(l＋l1) 三式联立可得l＝ 15．公共汽车从甲站沿平直公路开往乙站，汽车在市区内被允许的最大速度是vm＝15 m/s，公共汽车加速时最大加速度为a1＝3 m/s2，刹车时最大加速度为a2＝5 m/s2，甲、乙两站间距离为x＝1 200 m，求：在不违章的前提下，公共汽车从甲站出发到达乙站停车所需的最短时间。 【答案】　84 s　 【解析】　公共汽车以最大加速度加速，以最大速度匀速行驶，再以最大刹车加速度减速，则汽车运动的时间是最短的。 汽车加速过程中：x1＝a1t，vm＝a1t1 汽车刹车过程中：x2＝a2t，vm＝a2t2 汽车匀速运动过程中：x－x1－x2＝vmt3 最短时间为：t＝t1＋t2＋t3 解得：t＝84 s 学科网（北京）股份有限公司 $$