第2章 3 匀变速直线运动的位移与时间的关系（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一物理必修第一册高中同步学案（人教版）

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系 学科素养与目标要求 物理观念 1．知道v­t图像中的“面积”与位移的对应关系。 2．理解位移与时间的关系式的意义。 3．理解速度与位移的关系式的意义。 科学思维 会推导位移与时间的关系式和速度与位移的关系式，并能利用两公式进行有关的计算。 一、匀变速直线运动的位移 1．位移公式：x＝__vt__ 2．位移在v­t图像中的表示：做匀变速直线运动，物体的位移在数值上等于v­t图线与对应的时间轴所包围的矩形的__面积__。如图所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的__位移__。 二、速度与位移的关系 1．公式 v2－v＝__2ax__ 2．推导 由速度时间关系式v＝__v0＋at__ 位移时间关系式x＝　v0t＋at2　 得v2－v＝__2ax__。 1．某质点的位移随时间变化的关系式为x＝4t＋2t2，x与t的单位分别是m和s，则质点的初速度和加速度分别是(　　 ) A．4 m/s和2 m/s2 B．0和4 m/s2 C．4 m/s 和4 m/s2 D．4 m/s和0 【答案】　C 2．从静止开始做匀加速直线运动的物体前10 s内的位移是10 m，则该物体运动30 s时的位移为________m。 【答案】　90 m 3．汽车沿平直公路从A至B的过程中做匀加速直线运动，A、B间距离为15 m，经过A点的速度为5 m/s。已知加速度为2.5 m/s2，则汽车经过B点时的速度为________m/s。 【答案】　10 一、匀变速直线运动的位移 1．位移公式x＝v0t＋at2的推导 如图甲所示，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得v­t图像与时间轴所围成的“面积”表示位移。 如图乙所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)·OA。 与之对应的物体的位移x＝(v0＋v)t。 由速度公式v＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋at2。 2．对位移公式x＝v0t＋at2的理解 (1)适用条件：匀变速直线运动。 (2)公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向： ①匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值。 ②若位移为正值，位移的方向与规定的正方向相同；若位移为负值，位移的方向与规定的正方向相反。 (3)两种特殊形式： ①当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。 ②当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀变速直线运动)。 　如图所示，小球以6 m/s的速度由足够长的斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2 m/s2。分别求出经过2 s、3 s、4 s、6 s、8 s小球的位移。(小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不变) 【答案】　8 m,9 m,8 m,0，－16 m，其中负号表示小球位移沿斜面向下。 【解析】　以小球的初速度方向，即沿斜面向上为正方向，则小球的加速度沿斜面向下，为负值。将t2＝2 s，t3＝3 s，t4＝4 s，t6＝6 s，t8＝8 s代入x＝v0t＋at2解得x2＝8 m，x3＝9 m，x4＝8 m，x6＝0，x8＝－16 m。 1．某物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求： (1)物体在2 s内的位移大小； (2)物体在第2 s内的位移大小； (3)物体在第二个2 s内的位移大小。 【答案】　(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m 【解析】　(1)由v0＝0，t1＝2 s得x1＝at＝2 m (2)第1 s末的速度(第2 s初的速度) v1＝v0＋at2＝1 m/s 故第2 s内的位移大小x2＝v1t3＋at＝1.5 m (3)第2 s末的速度v2＝v0＋at′＝2 m/s， 这也是物体在第二个2 s内的初速度。 故物体在第二个2 s内的位移大小 x3＝v2t″＋at″2＝6 m 二、匀变速直线运动速度与位移的关系 1．速度与位移关系的推导 如图，假设汽车的初速度为v0，以加速度a沿x轴做匀变速直线运动，在时间t内，运动位移x后速度变为v。 则有v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，联立消去t，得v2－v＝2ax。此即匀变速直线运动的速度与位移关系公式。 2．对速度与位移关系公式v2－v＝2ax的理解 (1)公式的适用条件：适用于匀变速直线运动。 (2)公式的意义：公式v2－v＝2ax反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求另一个未知量。 (3)公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。 (4)两种特殊形式 ①当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动) ②当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动) 　某物体做匀加速直线运动，速度v与位移x的关系为v2＝2＋8x则物体的加速度大小是(　　 ) A．2 m/s2 B．4 m/s2 C．8 m/s2 D．16 m/s2 【解析】　根据匀加速直线运动速度与位移的关系有v2－v＝2ax 整理得v2＝v＋2ax 物体速度v与位移x的关系为v2＝2＋8x 物体的加速度大小是a＝4 m/s2 【答案】　B 2．在一次交通事故中，交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m，该车辆最大刹车加速度是15 m/s2，该路段限速为60 km/h，则该车(　　) A．超速 B．不超速 C．无法判断 D．速度刚好是60 km/h 【解析】　车辆的末速度为零，由v2－v＝2ax，可计算出初速度v0＝＝m/s＝30 m/s＝108 km/h，该车严重超速。 【答案】　A 三、刹车问题分析 　一辆汽车以20 m/s的速度行驶，现因故刹车，并最终停止运动。已知汽车刹车过程的加速度大小是5 m/s2，则汽车从刹车起经过5 s所通过的距离是多少？ 【答案】　40 m 【解析】　汽车刹车时做匀减速直线运动，以初速度方向为正方向，则a＝－5 m/s2，先求汽车速度减小到零所需要的时间，由v＝v0＋at得t＝＝ s＝4 s，即汽车经过4 s就已经停下来，最后1 s处于静止状态，5 s所通过的距离就是4 s内通过的位移大小，由位移公式得x＝v0t＋at2＝20×4 m＋×(－5)×42 m＝40 m。 【方法总结】 刹车类问题的处理思路 实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止。解答此类问题的思路是： (1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝； (2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解。若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t<t刹，则在t时间内未停止运动，可用直线公式求解。 3．(多选)某汽车正以72 km/h在公路上行驶，为“礼让行人”，以大小为5 m/s2加速度刹车，则以下说法中正确的有(　　 ) A．刹车后2 s时的速度大小为10 m/s B．汽车滑行30 m停下 C．刹车5 s后的速度大小为－5 m/s D．刹车后6 s内的位移大小为40 m 【解析】　汽车刹车的初速度为v0＝72 km/h＝20m/s 刹车的加速度大小为a＝5 m/s2，则汽车刹车到停止的时间为t＝＝4 s 刹车的位移为x＝＝40 m 刹车后3 s汽车还没有停止，由速度公式可得瞬时速度v3＝v0－at3＝20－5×2＝10 m/s，故A正确； 由上面的分析计算可知汽车滑行40 m停下，故B错误； 由上面的分析知汽车刹车到停止的时间为4 s， 所以刹车后5s时的速度大小为0，故C错误； 刹车后6 s内汽车已停止，则位移大小还是为40 m，故D正确。 【答案】　AD 1．(位移公式的应用)汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系为x＝24t－6t2，则它在前3 s内的位移大小为 (　　) A．18 m B．24 m C．36 m D．12 m 【解析】　根据x＝v0t＋at2＝24t－6t2知，汽车的初速度v0＝24 m/s，加速度a＝－12 m/s2，则汽车速度减为零所用的时间t0＝＝s＝2 s，可知汽车3 s内的位移等于其2 s内的位移，则x＝t0＝×2 m＝24 m，故B正确。 【答案】　B 2．(位移公式的应用)汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为(　　 ) A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s 【解析】　根据x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37.5 m，代入得：t1＝3 s，t2＝5 s 但因刹车时间t0＝＝4 s， 所以t2＝5 s应舍去。故只有选项A正确。 【答案】　A 3．(速度与位移关系的应用)现在的航空母舰上都有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某飞机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s。若该飞机滑行100 m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为(　　) A．30 m/s B．40 m/s C．20 m/s D．10 m/s 【解析】　设应用弹射系统帮助起飞时飞机的初速度为v0，由公式v2－v＝2ax，可得v0＝＝40 m/s，故选B。 【答案】　B 4．(逆向思维法)一辆汽车，在人行横道前16 m处开始刹车，做匀减速直线运动，从刹车开始到汽车停下共经过4 s,4 s末恰好停在人行横道前。则司机从开始刹车到与人行横道相距4 m经过了(　　 ) A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s 【解析】　将刹车过程看作初速度为零的匀加速运动的过程，则刹车的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，则司机从开始刹车到与人行横道相距4 m经过的时间为t′＝t－＝4－＝2 s，故选B。 【答案】　B 5．(刹车问题)汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求： (1)汽车经3 s时速度的大小； (2)汽车经6 s时速度的大小； (3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离。 【答案】　见解析 【解析】　设汽车经时间t0速度减为0，有： t0＝＝s＝5 s (1)根据速度—时间公式有： v3＝v0＋at＝4 m/s (2)经过6 s时速度为：v6＝0 (3)刹车8 s汽车的位移为： x8＝x5＝v0t0＋at＝25 m。 课时作业(六)　匀变速直线运动的位移与时间的关系 基础对点练 考点一　位移公式x＝v0t＋at2的应用 1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是 (　　) A．物体的末速度与时间成正比 B．物体的位移与时间的平方成正比 C．物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比 D．若是匀加速运动，位移和速度随时间增加；若是匀减速运动，位移和速度随时间减小 【解析】　根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，只有在初速度为零的情况下，速度与时间成正比，位移与时间的平方成正比，故A、B错误；由a＝可知，a一定，则物体的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比，故C正确；当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可能增大，故D错误。 【答案】　C 2．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移是1 m，物体在第3 s内的位移是(　　 ) A．2 m B．3 m C．5 m D．8 m 【解析】　根据x1＝at得物体的加速度为 a＝＝ m/s2＝2 m/s2， 则物体在第3 s内的位移为 x′＝at－at＝×2×(9－4) m＝5 m。 【答案】　C 3．一个质点以初速度v0做匀加速直线运动，加速度大小为a，经过时间t，位移大小为2at2，末速度为v，则初、末速度之比为(　　) A．3∶4 B．1∶3 C．3∶5 D．2∶5 【解析】　根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式有：x＝v0t＋at2 v＝v0＋at 将x＝2at2代入，解得v0＝at v＝at，所以＝ 【答案】　C 4．质点在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，则其在第10 s内的位移和在第1 s内的位移之比是(　　) A．10∶1 B．19∶1 C．99∶1 D．100∶1 【解析】　设加速度为a，则在第1 s内的位移为x1＝a×12＝a，在第10 s内的位移为x10＝a×102－a×92＝a，故x10∶x1＝19∶1，B正确。 【答案】　B 考点二　速度与位移关系的理解与应用 5．一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则(　　 ) A．物体的加速度为2 m/s2 B．4 s内的平均速度为6 m/s C．4 s末的瞬时速度为6 m/s D．第1 s内的位移为1.5 m 【解析】　根据物体做匀加速直线运动的位移与时间关系x＝v0t＋at2，解得a＝1 m/s2，故A错误；平均速度为 ＝＝4 m/s；故B错误；由速度与时间公式可得v＝v0＋at＝6 m/s，故C正确；第1 s内的位移为x1＝v0t＋at＝2.5 m，故D错误。 【答案】　C 6．一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则xAB∶xBC等于(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 【解析】　画出运动示意图，由v2－v＝2ax，得xAB＝，xBC＝，故xAB∶xBC＝1∶3，选项C正确。 【答案】　C 7．物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度为(　　) A．15 m/s B．30 m/s C．7.5 m/s D．无法求解 【解析】　设最大速度为vm，匀加速直线运动过程：1＝(0＋vm)＝vm，匀减速直线运动过程：2＝(vm＋0)＝vm，所以x＝1t1＋2t2＝(t1＋t2)＝t，解得vm＝30 m/s。 【答案】　B 8．列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为(　　) A．3v2－v1 B．3v2＋v1 C． D． 【解析】　由v2－v＝2ax，得，v－v＝2a·2l，v－v＝2a·3l，故v3＝，选项C正确，选项A、B、D错误。 【答案】　C 能力综合练 9.一质点沿x轴做匀加速直线运动。其位移—时间图像如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．该质点的加速度大小为2 m/s2 B．该质点在t＝1 s时的速度大小为2 m/s C．该质点在t＝0到t＝2 s时间内的位移大小为6 m D．该质点在t＝0时速度为零 【解析】　质点做匀加速直线运动，则x＝v0t＋at2，由图可知，第1 s内的位移为x1＝0－(－2 m)＝2 m，前2 s内的位移为x2＝6 m－(－2 m)＝8 m，则有：2＝v0＋a；8＝2v0＋2a；解得：v0＝0，a＝4 m/s2，故A、C错误，D正确；该质点在t＝1 s时的速度大小为v＝at＝4×1 m/s＝4 m/s，故B错误；故选D。 【答案】　D 10．光滑斜面的长度为L，一物体由静止开始从斜面顶端沿斜面匀加速滑下，当该物体滑到底部时的速度为v，则物体下滑到L处的速度为(　　 ) A． B． C．v D． 【解析】　根据匀变速直线运动的速度位移公式有v2＝2aL；v′2＝2a·L联立两式解得v′＝v，故选C。 【答案】　C 11．(多选)一汽车在公路上行驶，位移和速度关系为x＝40－(m)，其中x单位为m，v单位为m/s。则下列说法正确的是(　　) A．汽车做匀减速运动，初速度大小为10 m/s B．汽车做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2 C．汽车经过4 s速度减小到零 D．汽车经过2 s速度减小到零 【解析】　根据题中位移和速度关系式x＝40－(m)，整理得v2－400 m2/s2＝－10 m/s2·x，对照匀变速直线运动的位移－速度公式v2－v＝2ax，可得v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2。所以汽车做减速运动，初速度大小为20 m/s，加速度大小为5 m/s2，故A错误，B正确；由v＝v0＋at，得t＝s＝4 s，故C正确，D错误。 【答案】　BC 12．如图所示，A、B两物体相距x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，此物体在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2。那么物体A追上物体B所用的时间为(　　) A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s 【解析】　物体B做减速运动到速度为0所需时间t1＝s＝5 s，这段时间内，物体B运动的位移xB＝＝m＝25 m，物体A运动的位移xA＝vAt1＝4×5 m＝20 m。显然还没有追上，此后物体B静止。设物体A追上物体B所用时间为t，则有vAt＝x＋25 m，所以t＝8 s，故选项B正确，选项ACD错误。 【答案】　B 13．一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求： (1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离； (2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。 【答案】　(1)30 m　(2)40 m 【解析】　汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝＝4 s。 (1)因为t1＝2 s<t，所以汽车2 s末没有停止运动，故x1＝v0t1＋at＝ m＝30 m。 (2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s末已停止运动，故x2＝＝v0t＋at2＝ m＝40 m。 14．物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度L1＝4 m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物(可视为质点)从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，用时2 s恰好滑到倾斜滑轨的末端，并以同样的速度大小进入水平滑轨，已知货物在水平滑轨上做匀减速时的加速度大小a2为2.5 m/s2，求： (1)货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小； (2)货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小； (3)若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过1 m/s，求水平滑轨的最短长度L2。 【答案】　(1)a1＝2 m/s2　(2)4 m/s (3)3 m 【解析】　(1)货物用时2 s恰好滑到倾斜滑轨的末端，根据匀变速直线运动位移与时间的关系有L1＝a1t2 代入数据解得a1＝2 m/s2 (2)根据匀变速直线运动速度与时间的关系有v＝a1t＝4 m/s (3)根据匀变速直线运动速度与位移的关系有v2－v′2＝2a2L2 代入数据解得L2＝3 m 15．在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h。设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s。计算行驶时的安全车距至少为多少？ 【答案】　105 m 【解析】　汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s，运动过程如图所示 在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m 刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为t2＝s＝6 s 汽车刹车后滑行的位移为x2＝v0t2＋at＝30×6 m＋×(－5)×62 m＝90 m 所以行驶时的安全车距至少应为 x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m。 学科网（北京）股份有限公司 $$