学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（南通专用，人教版九年级上册第二十二章）

第 1 页 第 2 页 第 3 页 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 8 小题，第 11—12 题每小题 3 分，第 13—18 题每小 题 4 分，共,30 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15．______________ 16．______________ 17．______________ 18．______________ 三、解答题（本题共 8 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（10 分） 20．（10 分） 21．（10 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 26．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 3．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（   ） A．1，3 B．3， C．1， D．3， 5．关于函数的函数值，下列说法正确的是（    ） A．最小值是 B．最大值是 C．最大值是2 D．最小值是2 6．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是 8．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共120分） 二、选择题：本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分． 11．请写出一个过点的二次函数表达式 ． 12．抛物线的顶点坐标是 ． 13．若二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 14．从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ． 16．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 18．新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 20．（10分）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 21．（10分）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 22．（10分）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 23．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 24．（12分）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 25．（12分）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（14分）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C A C B C D C C 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共,30分。 11. （答案不唯一） 12. 13. 14. 15. 16. 或 17. 18. ， 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分） 【详解】解：当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为；（5分） （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为；（5分） （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或．（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：的长为8厘米或12厘米．（5分） （2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值， ∴当的长为10厘米时，矩形面积最大．（10分） 23．（12分） 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线；（3分） ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴；（6分） （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或．（12分） 24．（12分） 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为．（6分） （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是．（12分） 25．（12分） 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即；（4分） （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为；（8分） （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或．（12分） 26．（14分） 【详解】（1）存在，理由：由题意得，的“级变换点”为，将代入反比例函数表达式得：， 解得：；（3分） （2）证明：点A在直线上，所以设A的坐标为，则由题意得，点的坐标为，所以，点在直线上， 则，， 则， ∵，则，即；（7分） （3）解：点、的“1级变换点”坐标为、， 将、代入得， 则，即点A在直线上，同理可得，点在直线上， 即点A、所在的直线为， ∴抛物线与直线交点为，， ∴、是一元二次方程的两个根， 由，可知，，， ∴， ，， ∴， 由， 可知，， ∴， ∴，解得：， ∴， 令，则， 即， ∴．（14分） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：是二次函数，故A选项符合题意； 是一次函数，故B选项不符合题意； 是反比例函数，故C选项不符合题意； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．根据抛物线的顶点式确定顶点坐标，进而判断其位置即可. 【详解】解：抛物线的顶点为， 顶点在轴上， 故选：A． 3．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出，，即可得到答案． 【详解】解；∵点和点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：C 4．已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（   ） A．1，3 B．3， C．1， D．3， 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律，原抛物线顶点为，平移后的顶点为，通过比较顶点坐标的变化确定平移步骤. 【详解】解：由题可知，原抛物线解析式为，顶点坐标为. 平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为. 观察可得：顶点横坐标从变为， 即向左平移了个单位， ∴； 顶点纵坐标从变为， 即向下平移了个单位， ∴； 综上，，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式． 5．关于函数的函数值，下列说法正确的是（    ） A．最小值是 B．最大值是 C．最大值是2 D．最小值是2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其最值，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴函数有最大值是． 故选：C． 6．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 7．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的一般式，通过配方化为顶点式，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴的交点，进而判断各选项的正确性． 【详解】解：A、二次项系数为，故开口向下，选项A正确． B、 ∴开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，选项B正确． C、由B知，对称轴为直线，故选项C错误． D、令，得，故与轴交点为，选项D正确． 故选：C． 8．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 9．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左；当与异号时（即），对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由时可判断③，由时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，所以①正确； ∵与轴的一个交点在和之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故②正确； ∵由②知，时，且， 即， 所以③正确； 由函数图象知当时，函数取得最大值， ∴， 即（为实数），故④错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∴，故⑤错误； 故选：C． 10．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共30分。 11．请写出一个过点的二次函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此考查了二次函数的图像和性质，根据条件写出符合题意的解析式即可． 【详解】解：在中，当时， ∴此函数图像过点，符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 12．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13．若二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．利用待定系数法，转化为方程解决问题即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴， ∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴或2， ∵， ∴． 故答案为：． 14．从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可令h=25，则，求出后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴令，则． ∴或． ∴小球高于地面的时长为 故答案为：． 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 是常数，与一次函数图象的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 利用抛物线与直线的两个交点的意义得到当或时，，于是得到方程的解，从而确定方程较小的根。 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 当或时，， 方程的解为，， 方程较小的根是， 故答案为：． 16．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 17．如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，求一次函数，二次函数的解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.由四边形是矩形得，，则点的坐标为，求出直线的函数解析式为，然后利用面积公式即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 延长交轴于点， ∴由图可得，点的横坐标，， ∴，点， 即 ∴， ∴， 故答案为： 18．新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．根据是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，，将，代入解方程组得到由，，两式相减得：，求得，得到“偶点”在直线上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线与抛物线在内有交点，将代入抛物线方程得得到，，这是一个函数，对称轴为直线，当时，当时，当时，求得在的最小值为，最大值为，于是得到结论． 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：， 解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ， 即， ， ，即， “偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：， 整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，； 当时，， 当时，； 在的最小值为，最大值为， 的取值范围 故答案为：；． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 【答案】1 【分析】本题考查求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，先求得点A、B坐标，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴．（10分） 20．（10分）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为；（5分） （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ．（10分） 21．（10分）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为；（5分） （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或．（10分） 22．（10分）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 【答案】(1)的长为8厘米或12厘米． (2)10 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． （1）设的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：的长为8厘米或12厘米．（5分） （2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值， ∴当的长为10厘米时，矩形面积最大．（10分） 23．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线；（3分） ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴；（6分） （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或．（12分） 24．（12分）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为．（6分） （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是．（12分） 25．（12分）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可； （2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值； （3）根据题意，设，分三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即；（4分） （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为；（8分） （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或．（12分） 26．（14分）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出的“级变换点”的坐标，在代入反比例函数关系式，即可求得答案； （2）设A的坐标为，则点的坐标为，所以，点在直线上，得，，则，再由即可求得的最小值； （3）先求点、的“1级变换点”的坐标，然后代入，求得点A、所在的直线为，所以抛物线与直线的交点为，，再根据一元二次方程根与系数的关系逐步求得，同时由， ，逐步推得，令，进一步化简得，最后根据二次函数的最值求法，即可得到答案． 【详解】（1）存在，理由：由题意得，的“级变换点”为，将代入反比例函数表达式得：， 解得：；（3分） （2）证明：点A在直线上，所以设A的坐标为，则由题意得，点的坐标为，所以，点在直线上， 则，， 则， ∵，则，即；（7分） （3）解：点、的“1级变换点”坐标为、， 将、代入得， 则，即点A在直线上，同理可得，点在直线上， 即点A、所在的直线为， ∴抛物线与直线交点为，， ∴、是一元二次方程的两个根， 由，可知，，， ∴， ，， ∴， 由， 可知，， ∴， ∴，解得：， ∴， 令，则， 即， ∴．（14分） 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十二章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点在（   ） A．y轴上 B．x轴上 C．原点 D．第二象限 3．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（   ） A．1，3 B．3， C．1， D．3， 5．关于函数的函数值，下列说法正确的是（    ） A．最小值是 B．最大值是 C．最大值是2 D．最小值是2 6．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点是 8．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示则下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤点，，是该抛物线上的点，则，其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共120分） 二、选择题：本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分． 11．请写出一个过点的二次函数表达式 ． 12．抛物线的顶点坐标是 ． 13．若二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 14．从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ． 16．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式 18．新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图所示，已知二次函数的图象分别交轴，轴于点，，连接，求的面积． 20．（10分）如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 21．（10分）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 22．（10分）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 23．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 24．（12分）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 25．（12分）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（14分）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点A为直线上的一点，它的“级变换点”在直线上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级变换点”都在直线上，并且同时满足：①，②，求的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共8小题，第11 — 12题每小题3分，第13 — 18题每小题4分，共,30分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 11． ______________ 1 2． ______________ 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 1 7． ______________ 1 8． ______________ 三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19． （10分） ) ( 20． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （10分） 22． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （12分） 24． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 26． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$