学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（南通专用，人教版2024八年级上册第十四章-第十五章）

第 1 页 第 2 页 第 3 页 2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 8 小题，第 11—12 题每小题 3 分，第 13—18 题每小 题 4 分，共,30 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15．______________ 16．______________ 17．______________ 18．______________ 三、解答题（本题共 8 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（10 分） 20．（10 分） 21．（10 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 26．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十四章-第十五章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面四个图标中，是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 4．如图，，如果，，，那么的长是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 7．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 9．如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知点的坐标为，为轴正半轴上一点，且点的横坐标大于，直线绕点顺时针旋转交轴于点，连接，当时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共120分） 二、选择题：本题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共,30分． 11．如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 12．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 13．若点与点关于x轴对称，则点关于y轴对称的点的坐标为 ． 14．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为 ． 15．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 16．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是 ．    17．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 18．如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 三、填空题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 20．（10分）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 21．（10分）如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； (3)求的面积． 22．（10分）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 23．（12分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 24．（12分）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 25．（12分）在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图1，①若折叠后，，则_______； ②若折叠后，则_______°； (2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由； (3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数． 26．（14分）如图，在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止，若点、点同时出发，当点到达终点时，点也停止运动，设点运动的时间为（秒）． (1)连结，当将的面积二等分时，求的值； (2)用含的代数式表示的长； (3)当时，求的面积； (4)当所在的直线与的某一边平行或垂直时，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十四章-第十五章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面四个图标中，是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 4．如图，，如果，，，那么的长是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 7．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 9．如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知点的坐标为，为轴正半轴上一点，且点的横坐标大于，直线绕点顺时针旋转交轴于点，连接，当时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共120分） 二、选择题：本题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共,30分． 11．如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 12．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 13．若点与点关于x轴对称，则点关于y轴对称的点的坐标为 ． 14．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为 ． 15．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 16．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是 ．    17．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 18．如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 三、填空题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 20．（10分）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 21．（10分）如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； (3)求的面积． 22．（10分）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 23．（12分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 24．（12分）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 25．（12分）在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图1，①若折叠后，，则_______； ②若折叠后，则_______°； (2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由； (3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数． 26．（14分）如图，在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止，若点、点同时出发，当点到达终点时，点也停止运动，设点运动的时间为（秒）． (1)连结，当将的面积二等分时，求的值； (2)用含的代数式表示的长； (3)当时，求的面积； (4)当所在的直线与的某一边平行或垂直时，直接写出的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级上册第十四章-第十五章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面四个图标中，是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据定义找到一条直线逐一进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记规律的变化特点． 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是． 故选：C． 3．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 4．如图，，如果，，，那么的长是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了初中数学中全等三角形的判定与性质、角度的和差关系等知识点．解题的关键在于利用给定条件证明与全等，进而通过全等三角形对应角相等的性质确定的度数，结合已知角度值计算出的具体度数．先利用已知条件证明和全等，再根据全等三角形对应角相等得到的度数，最后结合的度数计算的度数． 【详解】解：在和中， ， , ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形，三角形的三边关系，解题中注意运用分类思想避免漏解． 根据等腰三角形的定义分两种情况解答． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为3时，则三边长分别为：3、3、7， ∵， ∴不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为7时，则三边长分别为：7、7、3， ∴该等腰三角形的周长为， 故选C． 7．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 8．如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，由，，得到，进而得出，即可求解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 9．如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 10．如图，已知点的坐标为，为轴正半轴上一点，且点的横坐标大于，直线绕点顺时针旋转交轴于点，连接，当时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过作交轴于点，作轴于点，作轴于点，证明，，则，设，则，，又，，故有，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交轴于点，作轴于点，作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共,30分。 11．如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定——，解题关键是掌握全等三角形的判定——． 根据全等三角形的判定——求解． 【详解】解：在中，，，需要添加，可用“”证明， 故答案为：． 12．从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为 ． 【答案】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 13．若点与点关于x轴对称，则点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， 即，， ，， 点， 点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 14．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，若的面积为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理的内容是解题的关键． 如图所示，过点作于点，得到，由三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是边上的高，平分， ∴， ∵的面积为，，即， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 15．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是 ．    【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化． 因为平分，所以；又因为，所以，从而可得，故．同理可得，．由此的周长，代入数值即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得，． ∵的周长． ∵， ∴的周长． 故答案为：． 17．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小， ∴，， ∵，，，，， ∴ ， ， ∴， 整理得：β． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）如图，已知点是线段上的两点，且，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】解：,理由如下： ∵点是线段上的点，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴．（10分） 20．（10分）图形设计：请将网格中的两个小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【答案】见解析 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义和性质是解决问题的关键．利用轴对称图形的定义和性质解答即可． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）（10分） 21．（10分）如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均在格点上． (1)画出关于轴对称的； (2)分别写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了格点画图问题、轴对称图形的坐标变化、三角形面积问题，熟练掌握轴对称图形的坐标变化规律是解题的关键．小问，根据关于轴对称的对应点关系，找到对应点的位置，依次连接即可得到所求图形；小问，依据坐标系中的数据，找到对应的横纵坐标即可；可通过勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，面积可用求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ．（3分） （2）解：观察图象可得，，，． 故答案为，，．（6分） （3）解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为．（10分） 22．（10分）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ；（5分） （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4（10分） 23．（12分）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可． （）根据题意所述画出示意图即可； （）根据可得出，即求出的长度也就得出了之间的距离； 【详解】（1）解：先画一条水平直线代表河边，在直线上 取点表示小刚最初的位置； 从点向正前方画一条线段，按比例取步的长度确定点，表示树的位置； 再从点继续向正前方画线段，按比例 取一定长度(这里未明确后续行走步数对应的长度，不影响整体思路)，然后向左转画一条线段，当小刚走到电线塔、树与自己现处的位置成一条直线 时，确定终点位置；如图所示： （6分） （2）∵小刚站在河边的点处，向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处， ∴ 在和中， ， ， ， ∵当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了140步， ∴从点到点走的步数， 又∵小刚一步大约米， 米， 故小刚在点处时他与电线塔的距离为米．（12分） 24．（12分）已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ；（4分） （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ；（8分） （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．（12分） 25．（12分）在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图1，①若折叠后，，则_______； ②若折叠后，则_______°； (2)如图2，设，，在折叠的过程中，判断的值是否随着点D或E的位置变化而变化．若不变，求出结果；若变化，说明理由； (3)当的某条边与或垂直时，与的角平分线相交于点O，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②65 ； (2)的值不随着点或的位置变化而变化 (3)或或 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和及其推论等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）①可得出，从而； ②可得出，设，则，根据得出，进而得出结果； （2），从而得出，进而得出结果； （3）当或时，点不是落在四边形的外部，故分为：当时，设交于，可求得，从而，从而得出，从而得出；同样方法得出当时和当时得结果． 【详解】（1）解：①∵， ， ， 故答案为：；（2分） ②∵， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：65；（4分） （2）解：的值不随着点或的位置变化而变化， 理由如下： ， ， ， ∴的值不随着点或的位置变化而变化；（8分） （3）解：当或时，点不是落在四边形的外部，舍去； 如图1，当时， ， ， ， ， ， 如图2， 当时，同理， 此时，即， ， 如图3， 当时，， ， 综上所述：或或．（12分） 26．（14分）如图，在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止，若点、点同时出发，当点到达终点时，点也停止运动，设点运动的时间为（秒）． (1)连结，当将的面积二等分时，求的值； (2)用含的代数式表示的长； (3)当时，求的面积； (4)当所在的直线与的某一边平行或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，合理的分类讨论是解决问题的关键． （1）根据当将的面积二等分，知，列方程求解即可； （2）根据P在B点左、右两侧进行分类讨论； （3）根据列方程求出t的值，进而可得长度，则面积可求，注意要根据P在B点左、右两侧进行分类讨论； （4）分四类，，，进行讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 当将的面积二等分时， ， ， ；（3分） （2）∵动点从点出发，速度为每秒4个单位长度， 当时，， 当时，；（6分） （3）∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止， ∴ 当时，，， ，， ， 当时，，， ，， ， 综上所述，或；（10分） （4）当时，如下图，， ，， ， ， ， 则为等腰直角三角形， ， ； 当时，如下图，可得为等腰直角三角形， ， ； 当时，此时P与B重合，， 当时，如下图，此时，舍去． 综上所述，或或．（14分） 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共8小题，第11 — 12题每小题3分，第13 — 18题每小题4分，共,30分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 11． ______________ 1 2． ______________ 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 1 7． ______________ 1 8． ______________ 三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19． （10分） ) ( 20． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21． （10分） 22． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （12分） 24． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 26． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D B A C B B D B 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共,30分。 11. 12. 13. 14. 2 15. 16. 30 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分） 【详解】解：,理由如下： ∵点是线段上的点，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴．（10分） 20．（10分） 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ．（3分） （2）解：观察图象可得，，，． 故答案为，，．（6分） （3）解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为．（10分） 22．（10分） 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ；（5分） （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4（10分） 23．（12分） 【详解】（1）解：先画一条水平直线代表河边，在直线上 取点表示小刚最初的位置； 从点向正前方画一条线段，按比例取步的长度确定点，表示树的位置； 再从点继续向正前方画线段，按比例 取一定长度(这里未明确后续行走步数对应的长度，不影响整体思路)，然后向左转画一条线段，当小刚走到电线塔、树与自己现处的位置成一条直线 时，确定终点位置；如图所示： （6分） （2）∵小刚站在河边的点处，向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处， ∴ 在和中， ， ， ， ∵当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了140步， ∴从点到点走的步数， 又∵小刚一步大约米， 米， 故小刚在点处时他与电线塔的距离为米．（12分） 24．（12分） 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ；（4分） （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ；（8分） （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．（12分） 25．（12分） 【详解】（1）解：①∵， ， ， 故答案为：；（2分） ②∵， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：65；（4分） （2）解：的值不随着点或的位置变化而变化， 理由如下： ， ， ， ∴的值不随着点或的位置变化而变化；（8分） （3）解：当或时，点不是落在四边形的外部，舍去； 如图1，当时， ， ， ， ， ， 如图2， 当时，同理， 此时，即， ， 如图3， 当时，， ， 综上所述：或或．（12分） 26．（14分） 【详解】（1）解：，， ， 当将的面积二等分时， ， ， ；（3分） （2）∵动点从点出发，速度为每秒4个单位长度， 当时，， 当时，；（6分） （3）∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止， ∴ 当时，，， ，， ， 当时，，， ，， ， 综上所述，或；（10分） （4）当时，如下图，， ，， ， ， ， 则为等腰直角三角形， ， ； 当时，如下图，可得为等腰直角三角形， ， ； 当时，此时P与B重合，， 当时，如下图，此时，舍去． 综上所述，或或．（14分） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$