3.2.1函数的最值学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 函数的最大（小）值 【课前预习】 1.函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在∈I，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 2.求函数最值的方法： （1）图像法：作出y=f(x)的图像，图像最高点的纵坐标即为函数f(x)的最大值，图像最低点的纵坐标即为函数f(x)的最小值； （2）单调性法：①若f(x)在区间[a，b]上单调递增，则； ②若f(x)在区间[a，b]上单调递减，则. 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【自主练习】 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( ) （2）任何函数都有最大(小)值.( ) （3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( ) （4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( ) 2.设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值　　　 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 【经典例题】 题型一　图象法求函数的最值 例1　如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【变式探究】1已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________． 题型二　利用单调性求函数的最大（小）值 例2　1.　已知函数 （1)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间上的最大与最小值． 2已知函数，其中． （Ⅰ）用定义证明函数在上单调递减; （Ⅱ）结合单调性，求函数在区间上的最大值和最小值． 3.设a为实数,记函数的最大值, (1）求． （2)求的值域． 变式探究：1.已知f(x)＝， (1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． (2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值． 2.已知函数f(x)＝x＋. (1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性； (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值． 题型三　求二次函数的最值 点拨：1.二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧． 2.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况： 对称轴与区间的关系 －＜m＜n， 即－∈(－∞，m) m＜－＜n， 即－∈(m，n) m＜n＜－， 即－∈(n，＋∞) 图象 最值 f(x)最大值＝f(n)， f(x)最小值＝f(m) f(x)最大值＝max{f(n)，f(m)}， f(x)最小值＝ f(x)最大值＝f(m)， f(x)最小值＝f(n) 例3-1（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。 例3-2 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值。 例3-3（动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值。 【变式探究】3 已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值． 【当堂检测】 1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　) A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5] 2.已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值 C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值 3.函数f(x)＝的最大值为________． 4.函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________. 5．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值． 6.已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值． 【提升训练】 1. 已知函数； （1）若,求函数的单调区间； （2)设在区间［1，2］上的最小值为，求的表达式； （3）若恒成立，求的最小值． 2. 已知函数，求的最小值． 3. （1）当时，求函数的最小值． （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 4. 已知函数 （1）当时，求函数的最大值； （2）解关于的不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$