3.2.1函数单调性学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 【课前预习】 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注：当函数f(x)有多个增或减区间时，不能用“U”连接，用“，”或“和”连接. 2.单调性的性质 （1）若f（x）在区间D上单调递增 （2）若f（x）在区间D上单调递减 3.利用定义证明或判断 在区间D上单调性的一般步骤： ①取值：取； ②作差：； ③变形：通常采用通分、配方、因式分解、分子有理化、分母有理化等； ④定号：判断差与0的大小； ⑤下结论. 4.复合函数求单调性 对于复合函数，先将函数分解成和，然后分别讨论(或判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断，即：f(t)和t＝g(x)单调性相同时，f[g(x)]单调递增；f(t)和t＝g(x)单调性不同时，f[g(x)]单调递减。 基本初等函数的单调区间如下表所示： 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无 k＜0 无 R 反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 (－∞，0)和(0，＋∞) k＜0 (－∞，0)和(0，＋∞) 无 二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－] a＜0 (－∞，－] [－，＋∞) 【自主练习】 1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　) (2)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． (　　) 2.函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________． 3．下列说法中正确的有(　　) ①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数； ②函数y＝x2在R上是增函数； ③函数y＝－在定义域上是增函数； ④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A．0个　　　　　　　　　B．1个 C．2个 D．3个 4．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　) A．m> B．m< C．m>－ D．m<－ 5．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0) C. D. 6．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________． 【经典例题】 题型一　利用函数图象求单调区间[经典例题] 例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　) 　　 A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1) C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1) 跟踪训练1　函数f(x)的图象如图所示，则(　　) 　　　　　　 A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数 C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数 D．函数f(x)在[2,4]上是增函数 函数单调性的判定与证明 例2 用定义证明：根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增． ． 【变式探究】2 用定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数． 题型二 求函数的单调区间 例3 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－；(2)f(x)＝(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 【变式探究】3 (1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数； (2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． 题型三 函数单调性的应用 角度1：利用函数的单调性比较函数值大小 例4 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与的大小． 【变式探究】4设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(　 　) A．f(a)>f(2a)　　　　　 B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a) 角度2：利用函数的单调性解不等式 例5已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围． 【变式探究】5已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是 . 角度3：已知函数单调性求参数范围 例6 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2， (1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值(或范围)是________． (2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的值(或范围)是________． (3)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 【变式探究】6已知函数f(x)＝若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围． 【当堂检测】 1. (多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性 2.已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，)　　 　B．(，＋∞) C．(－∞，] D．[，＋∞) 3.若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 。 4.已知函数 f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2] 5.已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为________． 6.求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数. 课后练习 一、选择题 1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有(　　) A．函数f(x)先增后减 B．f(x)是R上的增函数 C．函数f(x)先减后增 D．函数f(x)是R上的减函数 2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　) A．y＝－3x＋2　　B．y＝ C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10 3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是(　　) A．(－∞，1] B．[2，＋∞) C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 二、填空题 5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是____________． 6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________． 7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________． 三、解答题 8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性． 9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间． [尖子生题库] 10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$