第02讲 等差数列及其前n项和（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第02讲 等差数列及其前n项和 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 等差数列前n项和基本量的计算 5 考点二 等差数列片段和的性质 5 考点三 两个等差数列前n项和的比值 6 考点四 等差数列前n项和最值 6 考点五 等差数列前n项和的其他性质 7 考点六 等差数列求和的实际应用 7 三阶突破训练 8 基础过关 8 能力提升 9 真题感知 11 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第7题，5分 等差数列及其求和 无 2024年新I卷，第19题,17分 等差数列通项公式的基本量计算 数列新定义 2024年新Ⅱ卷，第12题,5分 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 无 2024年全国甲卷，第4题,5分 等差数列通项公式的基本量计算 利用等差数列的性质计算 等差数列前n项和的基本量计算 无 2023年新I卷，第7题,5分 由递推关系证明数列是等差数列 等差数列前n项和的性质 充分条件与必要条件的判定 2023年新I卷，第20题,12分 等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算 等差数列前n项和的基本量计算 无 2023年新Ⅱ卷，第18题,12分 利用定义求等差数列通项公式 等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和 分组 (并项)-奇偶项求和 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系 5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习 一、等差数列 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式，可得． 令，，则，其中，为常数． （1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列． （2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点． 二、等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和 首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题． 2．用前n项和公式法判定等差数列 等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质： （1）通项公式的推广：，． （2）若，则． 特别地，①若，则； ②若，则． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列． （4）数列是常数是公差为td的等差数列． （5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列． （6）若，则． 2．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，． （4）若数列共有项，则，． （5），． 考点一 等差数列前n项和基本量的计算 典例1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 典例2．已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 跟踪训练1．已知等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 考点二 等差数列片段和的性质 典例1．已知等差数列的前项和为，若，则 . 典例2．已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 跟踪训练1．设等差数列的前项和为，若，，则 跟踪训练2．设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 . 考点三 两个等差数列前n项和的比值 典例1．已知等差数列， 的前项和分别为，，且，则 ． 典例2．两个等差数列，的前项和分别为和，已知，则的值是 . 跟踪训练1．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 跟踪训练3．已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点四 等差数列前n项和最值 典例1．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 典例2．在等差数列中，，且是其前项和，则（    ） A．都小于都大于0 B．都小于都大于0 C．都小于都大于0 D．都小于都大于0 跟踪训练1．设为等差数列的前项和，.若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 跟踪训练2．（多选）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（    ） A．当时，取最大值 B．使得的的最大值为4048 C．使得的的最小值为4050 D． 考点五 等差数列前n项和的其他性质 典例1．等差数列共有2n+1项，其中，，则n的值为 A．3 B．5 C．7 D．9 典例2．（多选）等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（    ） A．， B．等差数列的公差 C．使成立的n最小为10 D．当时，取得最小值 跟踪训练1．设为等差数列的前n项和，且， ，则 A． B． C．2018 D．2016 跟踪训练2．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 跟踪训练3．在等差数列中，已知，，求. 考点六 等差数列求和的实际应用 典例1．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 典例2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 跟踪训练1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 跟踪训练2．（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到米．要登上皂幕山的最高峰，一共需要走级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前分钟中，每分钟走级阶递，由于体力有限，小明每隔分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔分钟，其速度降低，直到登上最高峰，则（    ）（参考数据：，，，） A．小吉到达最高峰的时间比小明早 B．小明到达最高峰的时间比小吉早 C．小吉登上最高峰所需时间多于分钟 D．两人到达最高峰的时间差距超过分钟 1.已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 2.已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 3.已知数列的前n项和为，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 5.已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 6.等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 7．（多选）某植物基因型为Aa的亲本个体自交，第1代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA和aa出现的概率分别为，之后每一代个体都自交，记第n代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA出现的概率为，则（    ） A．数列是等比数列 B．第5代中杂合子Aa出现的概率为 C．数列是等差数列 D．第5代中纯合子AA出现的概率为 8．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D．的最小值是4 9．已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第13项为 ． 10．（多选）如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都为定值，那么这个列叫作等差数列，这个差叫作等差列的公差.已知向量列是以为首项，为公差的等差向量列，若向量与非零向量垂直，则 . 11．（多选）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 1.已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4.已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 5.设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 6.设等差数列满足，且其前项和有最大值，则当数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（   ） A．12 B．11 C．23 D．22 7.随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，如图，现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 8.记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 9.（多选）在等差数列中，，，记数列的前项和为，下列选项正确的是（    ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 10．（多选）已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 11.（多选）已知数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前6项依次为4，8，10，10，8，4，则下列结论中正确的是（    ） A．数列的公差为2 B． C．数列的前7项和最大 D． 12.把数列与的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列，则数列的前202项和为 . 13.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上，“物不知其数”问题的解法被称为“中国剩余定理”．现有一个剩余问题：在［1，2025］的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则的项数为 ，的前项和为 ． 1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 6．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列及其前n项和 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 等差数列前n项和基本量的计算 5 考点二 等差数列片段和的性质 7 考点三 两个等差数列前n项和的比值 8 考点四 等差数列前n项和最值 10 考点五 等差数列前n项和的其他性质 12 考点六 等差数列求和的实际应用 14 三阶突破训练 16 基础过关 16 能力提升 21 真题感知 29 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第7题，5分 等差数列及其求和 无 2024年新I卷，第19题,17分 等差数列通项公式的基本量计算 数列新定义 2024年新Ⅱ卷，第12题,5分 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 无 2024年全国甲卷，第4题,5分 等差数列通项公式的基本量计算 利用等差数列的性质计算 等差数列前n项和的基本量计算 无 2023年新I卷，第7题,5分 由递推关系证明数列是等差数列 等差数列前n项和的性质 充分条件与必要条件的判定 2023年新I卷，第20题,12分 等差数列通项公式的基本量计算利用等差数列的性质计算 等差数列前n项和的基本量计算 无 2023年新Ⅱ卷，第18题,12分 利用定义求等差数列通项公式 等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和 分组 (并项)-奇偶项求和 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分 【备考策略】1.理解等差数列的概念 2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系 5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和。需综合复习 一、等差数列 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式，可得． 令，，则，其中，为常数． （1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列． （2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点． 二、等差数列的前n项和 1．等差数列的前n项和 首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题． 2．用前n项和公式法判定等差数列 等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质： （1）通项公式的推广：，． （2）若，则． 特别地，①若，则； ②若，则． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列． （4）数列是常数是公差为td的等差数列． （5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列． （6）若，则． 2．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，． （4）若数列共有项，则，． （5），． 考点一 等差数列前n项和基本量的计算 典例1．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知数列是一个公差为，首项为的等差数列，再等差数列算得前项和. 【详解】由，得， 所以故数列是一个公差为，首项为的等差数列. ，. 故选：A 典例2．已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【详解】（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 跟踪训练1．已知等差数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而可求得数列第5项的值. 【详解】因为数列是等差数列，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：C. 跟踪训练2．数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可得证； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得解. 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 考点二 等差数列片段和的性质 典例1．已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】7 【分析】根据等差数列前n项和的片段和性质列式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 即，即，解得. 故答案为：7 典例2．已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 跟踪训练1．设等差数列的前项和为，若，，则 【答案】27 【分析】根据的定义，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 跟踪训练2．设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 . 【答案】 【分析】由等差数列的性质，也是等差数列计算得出. 【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列， 所以也是等差数列， 因为，， 则构成等差数列， 所以， 解得：， 所以， 所以，即 故答案为： 考点三 两个等差数列前n项和的比值 典例1．已知等差数列， 的前项和分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 典例2．两个等差数列，的前项和分别为和，已知，则的值是 . 【答案】/9.3 【分析】根据等差数列的性质以及前项和公式计算即可. 【详解】因为两个等差数列，的前项和分别为和，， 设，， 当时，，， 当时，，满足；，满足， 所以，， 所以 故答案为： 跟踪训练1．两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 跟踪训练2．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用等差数列性质得，由即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 跟踪训练3．已知，分别为等差数列，的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质可求解，结合向量共线的性质即可求解. 【详解】由题意可知三点共线，且，故， 由于可得则，其中为非零实数， 故， 故，故，得， 故选：A 考点四 等差数列前n项和最值 典例1．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】D 【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：， ，进而判断选项即可. 【详解】因为是等差数列，且， 所以，， 即，所以，，且，所以B错误，D正确； 因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误； 所以当时，取得最大值，所以C错误. 故选：D 典例2．在等差数列中，，且是其前项和，则（    ） A．都小于都大于0 B．都小于都大于0 C．都小于都大于0 D．都小于都大于0 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，故，又，故， 所以,， 结合，可知都小于,都大于0. 故选：B 跟踪训练1．设为等差数列的前项和，.若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】D 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由可得和的符号，即可判断的最小值. 【详解】由得：，整理可得：， 等差数列为递增数列，又，，， 当且时，；当且时，； 有最小值，最小值为. 故选：D. 跟踪训练2．（多选）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（    ） A．当时，取最大值 B．使得的的最大值为4048 C．使得的的最小值为4050 D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的性质可得，结合等差数列求和公式判断C和B，利用通项公式求的范围，即可判断D. 【详解】由，，得．所以，A正确， 由和得， 结合，， 故使得的的最大值为4048，使得的的最小值为4049，所以B正确，C错误． ，解得，D正确． 故选：ABD． 考点五 等差数列前n项和的其他性质 典例1．等差数列共有2n+1项，其中，，则n的值为 A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和公式，以及等差数列的性质可知，奇数项的和为，同理偶数项的和为，两式相减得.再计算前项的和，即，由此解得的值. 【详解】由，可得，由，可得，， 又，.故选A. 典例2．（多选）等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（    ） A．， B．等差数列的公差 C．使成立的n最小为10 D．当时，取得最小值 【答案】BC 【分析】对于A，由等差数列的前n项和为、可得即可判断；对于B，只需求出，然后由即可判断；对于C，直接解不等式即可判断；对于D，由n为正整数即可判断. 【详解】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且， 则，所以，A错误； 对于B选项，由A知，则，则， 则公差，B正确； 对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确； 对于D选项，因为n为正整数，所以D错误. 故选：BC. 跟踪训练1．设为等差数列的前n项和，且， ，则 A． B． C．2018 D．2016 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质：设为等差数列的前n项和，则数列为等差数列，可得数列的首项、公差．再由条件可求，进而可求得． 【详解】因为数列为等差数列，， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列．所以 ，所以．所以． 故选A． 跟踪训练2．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值. 【详解】中间项为.因为，，所以.故选C. 跟踪训练3．在等差数列中，已知，，求. 【答案】. 【分析】利用等差数列前n项和的性质，成等差数列，求出对应的首项和公差，即得解 【详解】将数列依照原有的顺序每10项分为一组，每组的和作为一项构造新数列： ，，，…，， 则这个数列是一个首项为，第10项为的等差数列， 设新数列的公差为，则该数列的前10项和等于. ∴， 解得. 于是前11项和. 故答案为： 考点六 等差数列求和的实际应用 典例1．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C 典例2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 【答案】 【分析】设从上到下各节的容积依次构成等差数列的公差为则,用首项和公差表示上两式，求出首项和公差，再利用通项公式即可求出. 【详解】设从上到下各节的容积依次构成等差数列，公差为， 则由题, 故, 解得:, 所以, 故答案为: . 跟踪训练1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 跟踪训练2．（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到米．要登上皂幕山的最高峰，一共需要走级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前分钟中，每分钟走级阶递，由于体力有限，小明每隔分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔分钟，其速度降低，直到登上最高峰，则（    ）（参考数据：，，，） A．小吉到达最高峰的时间比小明早 B．小明到达最高峰的时间比小吉早 C．小吉登上最高峰所需时间多于分钟 D．两人到达最高峰的时间差距超过分钟 【答案】AC 【分析】由题意可知小明和小吉每分钟走的级数分别形成一列等差数列和一列等比数列，根据题中数据分别求出两列数列的通项公式及其前n项和公式即可计算估计小明和小吉登上最高峰所需的时间，进而得解. 【详解】记第个分钟小明和小吉走的级数分别为、， 则由题意可知，，且，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 且是以为首项，为公比的等比数列， 所以且， 所以数列和前项和分别为： ， ， 所以，， 而，故第个分钟小明每分钟走的级数为， 所以小明登上最高峰所需时间为分； 因为， ， 而，故第个分钟小吉每分钟走的级数为， 所以小吉登上最高峰所需时间为分， 且分，， 所以小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过分钟，小吉登上最高峰所需时间多于分钟. 故选：AC. 1.已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 【答案】A 【分析】方法1：计算即可；方法2：根据前项和可知数列为等差数列，再根据等差数列求解第三项； 【详解】方法1：． 方法2：等差数列的前项和为， 因为，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． 于是． 故选：A． 2.已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】C 【分析】根据分别求解的奇数项和偶数项的通项，即可分组求和得解，或者根据为等差数列，由求和公式求解. 【详解】方法一：，当时，， 两式相减，得当时，， 的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为 当为奇数时，； 当为偶数时，. . 方法二： ， ， 故数列是以5为首项，4为公差的等差数列， . 故选：C 3.已知数列的前n项和为，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有，结合已知通项公式，即可得. 【详解】由可知数列为等差数列， 由，知， 即，即. 故选：C 4.已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 【答案】D 【分析】根据等差数列求和公式可以得到首项和公差之间的关系，进一步列出等差数列和的表达式，再结合集合的互异性排除相同大小的集合元素即可得到答案. 【详解】由，可得，且，所以， 根据二次函数的对称性：，所以集合中元素的个数为， 故选：D． 5.已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：A 6.等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 7．（多选）某植物基因型为Aa的亲本个体自交，第1代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA和aa出现的概率分别为，之后每一代个体都自交，记第n代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA出现的概率为，则（    ） A．数列是等比数列 B．第5代中杂合子Aa出现的概率为 C．数列是等差数列 D．第5代中纯合子AA出现的概率为 【答案】AD 【分析】根据递推关系可得，，即可结合选项求解ABC,利用累加法即可求解D. 【详解】由题意可得，第2代中杂合子Aa出现的概率为，第3代中杂合子Aa出现的概率为，…，故第n代中杂合子Aa出现的概率，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，A正确；，B错误； 由题意可得，第1代中杂合子Aa自交后在第2代中出现纯合子AA的概率为，所以第2代中出现纯合子AA的概率为，第2代中杂合子Aa自交后在第3代中出现纯合子AA的概率为，所以第3代中出现纯合子AA的概率为，…，故第n代中纯合子AA出现的概率，，不是等差数列，C错误； ，D正确． 故选：AD 8．（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D．的最小值是4 【答案】ACD 【分析】利用基本量法求出公差后可求通项，再利用等差数列的性质判断A，利用通项公式求出判断B，利用前项和公式判断C，利用单调性求出的最小值后判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 又，，，， . A选项，，正确； B选项，，错误； C选项，，，正确； D选项，， 易知在上为单调递增， 所以当时有最小值为4，正确. 故选：ACD. 9．已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第13项为 ． 【答案】16 【分析】先计算出原等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，得到新数列的第项. 【详解】在相邻两项之间插入一个数，形成新的等差数列， 则新的等差数列的公差为原等差数列公差的． 设已知的等差数列为，公差为，易知，则， 则． 令，得． 故答案为： 10．（多选）如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都为定值，那么这个列叫作等差数列，这个差叫作等差列的公差.已知向量列是以为首项，为公差的等差向量列，若向量与非零向量垂直，则 . 【答案】 【分析】根据等差向量列定义得，结合向量与非零向量垂直，可得，进而计算即可. 【详解】由题意知， 因为向量与非零向量垂直， 所以，所以. 故答案为：. 11．（多选）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次得，，即可求解； （2）由等差数列求和公式、裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由可得， 由可得，，公差， 故. （2）由（1）得， 故 则. 1.已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析得，，应用等差数列的通项公式列不等式求范围. 【详解】由题知，当且仅当时，取得最大值， 又，故只需，即可， 若数列公差为，即，，解得， 则的取值范围为. 故选：A 2.已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】说明数列是首项为4，公差为4的等差数列即可求解. 【详解】因为，所以，即． 又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列， 故，即． 故选：C. 3.已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据，利用的关系求出通项公式，再求出，利用判断的单调性，从而得到答案． 【详解】①， 当时，1000，即； 当时，②． ①－②得，即． 故数列为首项是500，公比为的等比数列，则． ∴， ∵，因， 故当时，； 当时，， 即， ∴使取得最大值时的值为9． 故选：C． 4.已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】C 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 5.设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等差数列的公差，利用等差数列求和公式得，根据吉祥数列的定义可知为常数，不妨设，化简求得，进而利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差，则，故. 又因为数列为吉祥数列，所以为常数，不妨设， 则， 则，解得，所以. 故选：D 6.设等差数列满足，且其前项和有最大值，则当数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（   ） A．12 B．11 C．23 D．22 【答案】B 【分析】由数列前项和有最大值，可得该等差数列为递减数列，得到，即可根据邻项变号法判断. 【详解】因为数列的前项和有最大值，所以， 由，所以，， 故当时，前项和最大. 故选：B． 7.随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，如图，现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1次，由分步乘法原理可得所有记下数字的总情况数，再列举出等差数列的公差为0，1，2，3，4的所有情况，将公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为-1，-2，-3，-4的等差数列，可得出构成等差数列的可能情况数，根据古典概率公式计算可得选项. 【详解】甲、乙、丙各投1次，记下数字，各有10种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字组合有种， 0~9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况有： 公差为0的等差数列有0，0，0；1，1，1；2，2，2；…；9，9，9，共10种情况； 公差为1的等差数列有0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9，共8种情况； 公差为2的等差数列有0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9，共6种情况； 公差为3的等差数列有0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9，共4种情况； 公差为4的等差数列有0，4，8；1，5，9，共2种情况； 公差分别为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为的等差数列， 所以构成等差数列的可能情况有种， 所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为. 故选：B. 8.记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由等差数列定义数列为等差数列，求出，利用求出，则等价于，再利用配方法求出取得最大值可得答案． 【分析】由知， 所以数列为等差数列， 又，， 则等差数列的公差， 所以，，则， 故， 经检验，满足该通项公式.故， 则等价于， 故当时，取得最大值1，故的最小值为1． 故选：A. 9.（多选）在等差数列中，，，记数列的前项和为，下列选项正确的是（    ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的通项公式求出判断AD，利用等差数列的前项和公式判断BC. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，故A正确； 对于B，，， 则当时，取最小值，故B错误； 对于C，，所以数列是递增数列，故C正确； 对于D，数列的前10项和为，故D正确， 故选：ACD 10．（多选）已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求抛物线方程得，由，根据抛物线的定义得，进而得，即可求，进而判断A，根据等差数列的定义即可判断B，利用并项求和即可判断C，由得，令，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】由题意有：，所以抛物线方程为，又点在上，所以， 所以， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以，故A正确； 又，不是固定不变的常数， 所以数列不是等差数列，故B错误； 由，故C正确； 由，即，令， 所以，所以在单调递增，又， 所以当时，，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11.（多选）已知数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前6项依次为4，8，10，10，8，4，则下列结论中正确的是（    ） A．数列的公差为2 B． C．数列的前7项和最大 D． 【答案】BD 【分析】利用二阶等差数列定义可知数列的公差为，判断A；利用是首项为4、公差为的等差数列，求出，判断B；利用，再由累加法可得，利用数列的函数性质可得数列的前6项和最大，判断C；将代入计算判断D. 【详解】二阶等差数列，其前6项依次为4，8，10，10，8，4，从第二项开始， 每一项与前一项的差所组成的新数列的前5项依次为4，2，0，， 易知新数列的公差为，即数列的公差为，故A错误． 是首项为4、公差为的等差数列，所以，故B正确． ，所以，，…，， 累加可得 ， 则， 由二次函数的性质可知当时，数列递减，且前6项均为正数，易知，所以当时，， 当时，，因此数列的前6项和最大，故C错误． 由可得，故D正确． 故选：BD． 12.把数列与的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列，则数列的前202项和为 . 【答案】49609 【分析】与的公共项为，两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序可发现每两个被去掉的相邻的公共项之间有5项，其和构成等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】与的第一个公共项为是公差为3的等差数列，是公差为4的等差数列，则两数列的公共项构成首项为8，公差为12的等差数列，即数列， 两数列去掉公共项后，剩余的项从小到大排序为，且每两个被去掉的相邻的公共项之间有5项， 分别求和得，,， 可以看到每相邻5项的和依次构成首项为70，公差为60的等差数列. 因为，所以的前202项和为. 故答案为：. 13.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上，“物不知其数”问题的解法被称为“中国剩余定理”．现有一个剩余问题：在［1，2025］的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则的项数为 ，的前项和为 ． 【答案】 102 103122 【分析】先根据题意将表示出来，然后列出关于的不等式并求解其范围，然后求前项和即可. 【详解】依题意得，既是4的倍数也是5的倍数，也就是20的倍数， 所以，即，令，则， 又，所以，共102项，即． 因为，所以的前102项和为． 故答案为：①102；②103122. 1．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 5．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 5．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 6．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$