学易金卷：高一数学上学期第一次月考（湘教版2019）（必修第一册第1～2章）

1 / 11 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考试题 答案解析 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：湘教版必修第一册 第 1 章 集合与逻辑 和 第 2 章 一元二次函数、方程和不等式. 5．综合难度系数：0.65. 第 Ⅰ 卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设全集� = R，� = � −5 ≤ � < 4 ，� = � � ≥− 2 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． � � ≥ 4 B． � � ≤ 4 C． � � ≤− 2 D． � � >− 2 【答案】A 【分析】首先判断阴影部分表示 ∁�� ∩ �，然后求解∁��，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为 ∁�� ∩ �， 因为� = � −5 ≤ � < 4 ， 所以∁�� = � � <− 5 或� ≥ 4 ， 所以 ∁�� ∩ � = � � ≥ 4 ， 所以图中阴影部分表示的集合为 � � ≥ 4 . 故选：A. 2．命题“∃� ≥ 3，�2 − 2� + 3 < 0”的否定是（ ） 2 / 11 A．∀� ≥ 3，�2 − 2� + 3 > 0 B．∀� ≥ 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 C．∃� < 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 D．∀� < 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 【答案】B 【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】解：因为命题“∃� ≥ 3，�2 − 2� + 3 < 0”为存在量词命题， 所以其否定为：∀� ≥ 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0. 故选：B 3．若关于�的不等式��2 − �� + 2 ≥ 0对一切实数�都成立，则实数�的取值范围是（ ） A．� < 0或� > 8 B．0 < � < 8 C．0 ≤ � ≤ 8 D．� ≤ 0或� > 8 【答案】C 【分析】分类讨论�的值，由一元二次不等式的解法得出实数�的取值范围. 【详解】当� = 0 时，不等式��2 − �� + 2 = 2 ≥ 0对一切实数�都成立. 当� ≠ 0时，要使得不等式��2 − �� + 2 ≥ 0对一切实数�都成立，则 � > 0Δ = �2 − 8� ≤ 0，解得 0 < � ≤ 8. 综上，0 ≤ � ≤ 8. 故选：C 4．命题α:" � ≠ 2或� ≠ 3."是命题β:" � + � ≠ 5."的（ ） 条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据题意，得出等价命题为“若� + � = 5，则� = 2 且� = 3”，结合充分条件、必要条件的判定方 法，即可求解. 【详解】由命题“若� ≠ 2或� ≠ 3，则� + � ≠ 5”的等价命题为“若� + � = 5，则� = 2 且� = 3”， 当� + � = 5 时，� = 2 且� = 3 不一定成立，所以充分性不成立； 反正：当� = 2 且� = 3 时，则� + � = 5 一定成立，即必要性成立， 即� + � = 5 是� = 2 且� = 3 成立的必要不充分条件， 所以命题“� ≠ 2或� ≠ 3”，是命题“� + � ≠ 5”成立的必要不充分条件. 故选：B. 5．当� > 0，� > 0，且满足2 � + 1 � = 3 时，有 2� + � > �2 + � − 3恒成立，则 k的取值范围为（ ） A．−4 < � < 3 B．−4 ≤ � ≤ 3 C．−3 < � < 2 D．−3 ≤ � ≤ 2 3 / 11 【答案】C 【分析】由基本不等式求得 2� + �的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】由已知 2� + � = 1 3 ( 2 � + 1 � )(2� + �) = 1 3 (5 + 2� � + 2� � ) ≥ 1 3 (5 + 2 2� � ⋅ 2� � ) = 3，当且仅当� = � = 1 时 等号成立，即 2� + �的最小值是 3， ∴�2 + � − 3 < 3，解得−3 < � < 2， 故选：C． 6．若∃� ∈ �,��2 + 2 � − 3 � + 4 ≤ 0，则实数�的取值范围为（ ） A． 1,9 B． −∞,0 C． −∞,1 ∪ 9, + ∞ D． −∞,1 ∪ 9, + ∞ 【答案】D 【分析】分� = 0，� < 0和� > 0 三种情况分类讨论，其中当� > 0 时，利用判别式列不等式求解即可， 最后求并集. 【详解】当� = 0 时，不等式为−3� + 2 ≤ 0，即� ≥ 2 3 ，显然−3� + 2 ≤ 0在� ∈ �有解，符合题意； � ≠ 0，命题“∃� ∈ �,��2 + 2 � − 3 � + 4 ≤ 0”为真命题， 当� < 0时，对于抛物线� = ��2 + 2 � − 3 � + 4，开口向下， 显然��2 + 2 � − 3 � + 4 ≤ 0在� ∈ �有解，符合题意； 当� > 0时，对于抛物线� = ��2 + 2 � − 3 � + 4，开口向上， 只需Δ = 2 �− 3 2 − 4 × 4 × � ≥ 0，解得� ≤ 1或� ≥ 9， 又� > 0，所以 0 < � ≤ 1或� ≥ 9， 综上，实数�的取值范围是� ≤ 1或� ≥ 9，即� ∈ −∞,1 ∪ 9, + ∞ . 故选：D 7．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将 10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在 天平的右盘，使天平平衡；第二次将 10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天 平平衡，则两次称得重物的总重量（ ） A．等于 20g B．小于 20g C．大于 20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】设天平左臂长为 a，右臂长为 b，第一次称得的重物为 xg，第二次称得的重物为 yg，由题意得� = 10� � ， � = 10� � ，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为 a，右臂长为 b，则� ≠ �． 4 / 11 设第一次称得的重物为 xg，第二次称得的重物为 yg，则�� = 10�，�� = 10�， 故� = 10� � ，� = 10� � ，所以� + � = 10 � � + � � ≥ 10 × 2 × � � ⋅ � � = 20， 当且仅当 � � = � � ，即� = �时，等号成立， 但� ≠ �，等号不成立，所以� + � > 20，故两次称得重物的总重量大于 20g． 故选：C. 8．设集合� = �0, �1, �2, �3, �4 ，在�上定义运算“·”为：�� ⋅ �� = ��，其中� = � − � ，�, � ∈ 0,1,2,3,4 .那么 满足条件 �� ⋅ �� ⋅ �2 = �1 ��, �� ∈ � 的有序数对 �, � 共有（ ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【分析】结合集合新定义得 � − � − 2 = 1，去绝对值结合�, �的取值范围分类讨论即可求解. 【详解】由已知得 �� ⋅ �� ⋅ �2 = �1， 故 � − � − 2 = 1，化简得� − � = 1, − 1,3, − 3. 当� − � = 1 时， �, � = 1,0 ， 2,1 ， 3,2 ， 4,3 ； 当� − � =− 1时， �, � = 0,1 ， 1,2 ， 2,3 ， 3,4 ； 当� − � = 3 时， �, � = 3,0 ， 4,1 ； 当� − � =− 3时， �, � = 0,3 ， 1,4 . 综上，满足条件的有序数对 �, � 共有 12对. 故选：A. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列关系式正确的是（ ） A．0 ∉ ∅ B．∅ ⊆ ∅ C．∅ ∈ 0 D．∅ ∈ ∅ 【答案】ABD 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可． 【详解】对于 A，空集中不含有任何元素，故 A正确； 对于 B，空集是非空集合的子集，可知∅ ⊆ ∅ ，故 B正确； 对于 C，应该用 “⊆”符号，即∅ ⊆ 0 ，故 C错误； 对于 D，∅是集合 ∅ 中的元素，即∅ ∈ ∅ ，故 D正确. 5 / 11 故选：ABD. 10．下列命题是真命题的是（ ） A．若�� < 0，� > �，则1 � < 1 � B．若� > � > 0，� ∈ R，则��2 > ��2 C．若 � > �，则�2 > �� D．若� > � > 0，� > � > 0，则�� > �� 【答案】CD 【分析】结合不等式的性质对选项一一分析判断即可得． 【详解】对于 A，1 � − 1 � = �−� �� ，因为�� < 0，� > �，所以� − � > 0， 所以 1 � − 1 � = �−� �� > 0，1 � > 1 � ，即知 A不正确. 对于 B，由� = 0时知 B不正确. 对于 C，因为 � > �，可得� > � ≥ 0，即� − � > 0， 所以�2 − �� = � � − � > 0，即�2 > ��，即知 C正确. 对于 D，因为� > � > 0，� > � > 0，所以�� > ��，故 D正确． 故选：CD 11．若实数 a， b满足 �² + �² − ��� = 9, � ∈ � 则下列说法正确的为（ ） A．当� = 1 时，�² + �²最大值为 18 B．当� = 1时， � + �最小值为−6 C．当� = 3 时， ��有最大值 D．当� = 3 时，�² + �²最小值 18 5 【答案】ABD 【分析】对于 A，B，D利用重要不等式判断即可；对于 C，运用“万能 k法”判断方程是否有解即可. 【详解】对于 A，当� = 1时，�2 + �2 − �� = 9, �2 + �2 = 9 + �� ≤ 9 + � 2+�2 2 ，解得�2 + �2 ≤ 18， 当且仅当� = �时等号成立，�2 + �2有最大值，最大值为 18，选项 A正确； 对于 B，当� = 1时，�2 + �2 − �� = 9，则(� + �)2 = 9 + 3�� ≤ 9 + 3 4 (� + �)2， 所以(� + �)2 ≤ 36，即−6 ≤ � + � ≤ 6， 当且仅当� = � = 3时� + � = 6, � = � =− 3时� + � =− 6, � + �有最小值，最小值为−6，选项 B正确； 对于 C，当� = 3时，�2 + �2 − 3�� = 9， 设�� = �(� > 0)，则�2 + �2 − 3�� = 9 化为�2 + � 2 �2 − 3� = 9， 6 / 11 即�4 − 9+ 3� �2 + �2 = 0， 因为关于�2的方程�4 − 9 + 3� �2 + �2 = 0 有解， 所以Δ = (9 + 3�)2 − 4�2 = 81 + 54� + 5�2 > 0，解得� > 0， 所以��没有最大值，选项 C错误； 对于 D，当� = 3时，�2 + �2 − 3�� = 9, �2 + �2 = 9 + 3�� ≥ 9 + 3 − � 2+�2 2 ， 则�2 + �2 ≥ 18 5 ，当且仅当� =− �时等号成立， �2 + �2有最小值，最小值为18 5 ，选项 D正确． 故选：ABD． 第 Ⅱ 卷 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知不等式�2 − 3� + � < 0 的解集为{�∣� < � < �}，若1 � + 1 � =− 1 4 ，则� = . 【答案】−12 【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式的解集求出� + �，即可计算作答. 【详解】因不等式�2 − 3� + � < 0 的解集为{�∣� < � < �}，则�, �是方程�2 − 3� + � = 0 的两根， 即有� + � = 3, �� = �，于是得1 � + 1 � = �+� �� = 3 � =− 1 4 ，解得� =− 12， 所以� =− 12. 故答案为：−12 13．已知�: �2 − 2� − 8 ≤ 0，�: � < � < 2� + 9，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 . 【答案】 − 5 2 , − 2 【分析】因为�是�的充分不必要条件，所以�对应的集合是�对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等 式即可. 【详解】解不等式�2 − 2� − 8 ≤ 0得−2 ≤ � ≤ 4 记� = {�| − 2 ≤ � ≤ 4}, � = {�|� < � < 2� + 9} 因为�是�的充分不必要条件，所以 A是 B的真子集， 所以 � <− 2 4 < 2� + 9，解得− 5 2 < � <− 2. 7 / 11 所以�的取值范围为 − 5 2 , − 2 . 14．已知关于�的不等式 3�2 + 10 − 2� � − 6� + 3 < 0的解集中恰有 5个整数解，则实数�的范围是 . 【答案】−13 ≤ � <− 23 2 或 7 2 < � ≤ 5. 【分析】利用分解因式解不等式 3�2 + 10 − 2� � − 6� + 3 < 0，然后分类讨论2�−1 3 与−3大小，结合解集中 恰有 5个整数解，可得答案. 【详解】因为 3�2 + 10 − 2� � − 6� + 3 < 0， 所以 3� − 2� + 1 � + 3 < 0 ⇔ 3 � − 2�−1 3 � + 3 < 0. ①当 2�−1 3 <− 3，即� <− 4时，不等式解集为 � 2�−1 3 < � <− 3 ，因解集中恰有 5个整数，得−9 ≤ 2�−1 3 <− 8， 解得−13 ≤ � <− 23 2 ； ②当 2�−1 3 >− 3，即� >− 4时，不等式解集为 � −3 < � < 2�−1 3 ，因解集中恰有 5个整数，得 2 < 2�−1 3 ≤ 3， 解得 7 2 < � ≤ 5； ③ 2�−1 3 =− 3，即� =− 4时，不等式解集为空集，不合题意. 综上：当不等式 3�2 + 10 − 2� � − 6� + 3 < 0的解集中恰有 5个整数解时，�的范围是−13 ≤ � <− 23 2 或 7 2 < � ≤ 5. 故答案为：−13 ≤ � <− 23 2 或 7 2 < � ≤ 5. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题 13分） 设集合� = {�∣ − 2 < � < 1}, � = {�∣1 − � < � < 2� − 2}. （1）若� = 2，求� ∪ �, ∁� � ∩ � ； （2）若� ∩ � = �，求实数�的取值范围. 【详解】（1）若� = 2，则� = {�∣ − 1 < � < 2}， 所以� ∪ � = {�∣ − 2 < � < 2}， ………………………(2分) � ∩ � = {�∣ − 1 < � < 1}， ………………………(4分) 故∁� � ∩ � = {�∣� ≤− 1或� ≥ 1}. ………………………(6分) （2）因为� ∩ � = �，所以� ⊆ �. ………………………(8分) 8 / 11 ①当� = ∅时，1 − � ≥ 2� − 2，解得� ≤ 1，满足题意； ………………………(10分) ②当� ≠ ∅时， 1 − � < 2� − 2 −2 ≤ 1 − � 2� − 2 ≤ 1 ，解得 1 < � ≤ 3 2 . 综上，实数�的取值范围是 � � ≤ 3 2 . ………………………(13分) 16．（本小题 15分） （1）已知� > 0，求� = 2 − � − 4 � 的最大值 （2）已知 0 < � < 1 2 ，求� = 1 2 � 1 − 2� 的最大值 【详解】（1）因为� > 0，所以� + 4 � ≥ 2 � ⋅ 4 � = 4， ………………………(2分) 当且仅当� = 4 � ，� > 0，即� = 2 时等号成立. ………………………(3分) 所以� = 2 − � − 4 � = 2 − � + 4 � ≤ 2 − 4 =− 2， ………………………(6分) 所以，函数� = 2 − � − 4 � 的最大值为−2. ………………………(7分) （2）因为 0 < � < 1 2 ，所以 1 − 2� > 0， ………………………(8分) 所以� = 1 2 � 1 − 2� = 1 4 × 2� 1 − 2� ≤ 1 4 × 2�+1−2� 2 2 = 1 16 ， ………………………(12分) 当且仅当 2� = 1 − 2�，即� = 1 4 时，等号成立. ………………………(14分) 所以，� = 1 2 � 1 − 2� 的最大值为 1 16 . ………………………(15分) 17．（本小题 15分） 某厂家拟 2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）�万件与 年促销费用�万元 � ≥ 0 满足� = 4 − � �+1 (�为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 2万 件.已知生产该产品的固定投入为 8万元，每生产一万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售 价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（此处每件产品年平均成本按8+16� � 元来计算）. （1）求�的值； （2）将 2025年该产品的利润�万元表示为年促销费用�万元的函数； （3）该厂家 2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【详解】（1）由题意知，当� = 0 时，� = 2（万件），则 2 = 4 − �，解得� = 2； ………………(3分) 9 / 11 （2）由（1）可得� = 4 − 2 �+1 .所以每件产品的销售价格为 1.5 × 8+16� � （元）， ∴2025 年的利润� = 1.5� × 8+16� � − 8 − 16� − � = 36 − 16 �+1 −� � ≥ 0 . ………………(7分) （3）∵当� ≥ 0时，�+ 1 > 0， ………………(8分) ∴ 16 �+1 + (� + 1) ≥ 2 16 = 8，当且仅当� = 3 时等号成立. ………………(11分) ∴ � ≤− 8 + 37 = 29， ………………(13分) 当且仅当 16 �+1 = �+ 1，即� = 3万元时，�max = 29（万元）. ………………(14分) 故该厂家 2025 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 29 万元. ………………(15分) 18．（本小题 17分） 设函数�(�) = ��2 + (1 − �)� + � − 2(� ∈ R). （1）若� =− 2，求� � < 0 的解集； （2）若不等式�(�) ≥ 2� − 3对一切实数� > 1 恒成立，求 a的取值范围； （3）解关于�的不等式：�(�) < � − 1. 【详解】（1）由函数�(�) = ��2 + (1 − �)� + � − 2(� ∈ R)， 若� =− 2，可得�(�) =− 2�2 + 3� − 4， ………………(1分) 又由� � < 0，即不等式−2�2 + 3� − 4 < 0，即 2�2 − 3� + 4 > 0， 因为Δ = 9 − 4 × 2 × 4 < 0，且函数对应的抛物线开口向上， ………………(2分) 所以不等式 2�2 − 3� + 4 > 0 的解集为 R，即� � < 0的解集为 R. ………………(3分) （2）由�(�) ≥ 2� − 3对一切实数� > 1 恒成立， 即（�2 − � + 1)� ≥ � − 1对� ∈ (1, + ∞)恒成立， ∵ �2 − � + 1 > 0，∴ � ≥ ( �−1 �2−�+1 )max， ………………(5分) ∵ � > 1， ∴ �−1 �2−�+1 = �−1 (�−1)2+(�−1)+1 = 1 �−1+ 1�−1+1 ≤ 1 3 ， ………………(8分) 当且仅当� − 1 = 1 �−1 时，即� = 2 时等号成立， ∴ � ≥ 1 3 所以�的取值范围是[ 1 3 , + ∞). ………………(9分) （3）依题意，�(�) < � − 1等价于��2 + (1 − �)� − 1 < 0， 当� = 0 时，不等式可化为� < 1，所以不等式的解集为{�|� < 1}. ………………(10分) 10 / 11 当� > 0 时，不等式可化为(�� + 1)(� − 1) < 0，此时− 1 � < 1， 所以不等式的解集为{�| − 1 � < � < 1}. ………………(11分) 当� < 0 时，不等式化为(�� + 1)(� − 1) < 0， ①当� =− 1时，− 1 � = 1，不等式的解集为{�|� ≠ 1}； ………………(12分) ②当−1 < � < 0 时，− 1 � > 1，不等式的解集为{�|� >− 1 � 或� < 1}； ………………(13分) ③当� <− 1时，− 1 � < 1，不等式的解集为{�|� > 1 或� <− 1 � }； ………………(15分) 综上，当� <− 1时，原不等式的解集为{�|� > 1 或� <− 1 � }； 当� =− 1时，原不等式的解集为{�|� ≠ 1}； 当−1 < � < 0 时，原不等式的解集为 �|� >− 1 � 或� < 1 ； 当� = 0 时，原不等式的解集为{�|� < 1}； 当� > 0 时，原不等式的解集为{�| − 1 � < � < 1}. ………………(17分) 19．（本小题 17分） 对于给定的非空数集� = �1, �2, �3, ⋯, �� � ∈ N+ ，定义集合�+ = {�|� = �� + ��, ��, �� ∈ �, 1 ≤ � ≤ � ≤ �}， �− = � � = �� − ��|, ��, �� ∈ �, 1 ≤ � ≤ � ≤ �}，当�+ ∩ �− = ∅时，称 A具有孪生性质. （1）若集合� = {1,6}，求集合�+，�−； （2）若集合� = {�1, �2, �3}，�1 < �2 < �3，且�− = �，求证：�3 = 2�2； （3）若集合� ⊆ {�|�2 − 2025� + 2024 ≤ 0, � ∈ N+}，且集合 C具有孪生性质，记|�|为集合 C中元素 的个数，求|�|的最大值. 【详解】（1）因为集合� = {1,6}， 所以由 1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得�+ = {2,7,12}， ………………(2分) |1 − 1| = 0，|6 − 6| = 0，|6 − 1| = 5，可得�− = {0,5}. ………………(4分) （2）由于集合� = {�1, �2, �3}，�1 < �2 < �3， 则�−集合的元素在 0，�2 − �1，�3 − �1，�3 − �2中产生， 且 0 < �2 − �1 < �3 − �1，�3 − �2 < �3 − �1， ………………(4分) 而� = �−，故 B中最大元素�3属于�−，而�3 − �1为 4 个元素中的最大者， 11 / 11 故�3 = �3 − �1，即�1 = 0， ………………(7分) 故� = {0, �2, �3}，故�−中的 4 个元素为 0，�2，�3，且�3 − �2与 0，或�2或�3重复， 而 0 < �2 < �3，故�3 − �2 = �2即�3 = 2�2， ………………(9分) （3） 因为集合� ⊆ {�|�2 − 2025� + 2024 ≤ 0, � ∈ N+}，所以集合� ⊆ {�|1 ≤ � ≤ 2024, � ∈ N+}， 设� = {�1, �2, ⋯��}满足题意，设�1 < �2 < ⋯ < ��， 则 2�1 < �1 + �2 < �1 + �3 < ⋯ < �1 + �� < �2 + �� < �3 + �� < ⋯ < ��−1 + �� < 2��， ………………(10分) ∴|�+| ≥ 2� − 1，又�1 − �1 < �2 − �1 < �3 − �1 < ⋯ < �� − �1，∴|�−| ≥ �， ∵�+ ∩ �− = ∅，∴�� − �1 < 2�1，即�� < 3�1， ∴|�+ ∪ �−| = |�+| + |�−| ≥ 3� − 1， ………………(12分) �+ ∪ �−中最小的元素为 0，最大的元素为 2��，|�+ ∪ �−| ≤ 2�� + 1， ∴3� − 1 ≤ 2�� + 1 ≤ 4049(� ≥ 1, � ∈ �+)，即 3� − 1 ≤ 4049， ∴� ≤ 1350. ………………(14分) 实际上当� = {675,676,677, ⋯, 2024}时满足题意， 证明如下：设� = {�,� + 1,� + 2,⋯, 2024}，� ∈ N+， 则�+ = {2�, 2� + 1,2� + 2,⋯, 4048}，�− = {0,1,2, ⋯, 2024 − �}， 依题意有 2024 − � < 2�，即� > 674 2 3 ，故 m的最小值为 675， 于是当� = 675时，C中元素最多， ………………(16分) 即� = {675,676,677,⋯, 2024}时满足题意， 综上所述，集合 C中元素的个数的最大值是 1350. ………………(17分) 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：湘教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 和 第2章 一元二次函数、方程和不等式. 5．综合难度系数：0.65. 第 Ⅰ 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 4．命题α:" 或."是命题β:" ."的（     ） 条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 5．当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（ ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 8．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．下列命题是真命题的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 11．若实数a， b满足 则下列说法正确的为（ ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 第 Ⅱ 卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知不等式的解集为，若，则 . 13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 14．已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16．（本小题15分） （1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最大值 17．（本小题15分） 某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2025年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．（本小题17分） 设函数. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：. 19．（本小题17分） 对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：湘教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 和 第2章 一元二次函数、方程和不等式. 5．综合难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 4．命题α:" 或."是命题β:" ."的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 5．当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（ ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 8．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．下列命题是真命题的是（       ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 11．若实数a， b满足 则下列说法正确的为（ ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知不等式的解集为，若，则 . 13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 14．已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题13分） 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16．（本小题15分） （1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最大值 17．（本小题15分） 某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2025年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．（本小题17分） 设函数. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：. 19．（本小题17分） 对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考试题 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C B C D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD CD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．. 13． 14．或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 【详解】（1）若，则， 所以， ………………………(2分) ， ………………………(4分) 故或. ………………………(6分) （2）因为，所以. ………………………(8分) ①当时，，解得，满足题意； ………………………(10分) ②当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. ………………………(13分) 16．（本小题15分） 【详解】（1）因为，所以， ………………………(2分) 当且仅当，，即时等号成立. ………………………(3分) 所以， ………………………(6分) 所以，函数的最大值为. ………………………(7分) （2）因为，所以， ………………………(8分) 所以， ………………………(12分) 当且仅当，即时，等号成立. ………………………(14分) 所以，的最大值为. ………………………(15分) 17．（本小题15分） 【详解】（1）由题意知，当时，（万件），则，解得； ………………(3分) （2）由（1）可得.所以每件产品的销售价格为（元）， 2025年的利润. ………………(7分) （3）当时，， ………………(8分) ，当且仅当时等号成立. ………………(11分) ， ………………(13分) 当且仅当，即万元时，（万元）. ………………(14分) 故该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. ………………(15分) 18．（本小题17分） 【详解】（1）由函数， 若，可得， ………………(1分) 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， ………………(2分) 所以不等式的解集为，即的解集为. ………………(3分) （2）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， ，， ………………(5分) ， ， ………………(8分) 当且仅当时，即时等号成立， 所以的取值范围是. ………………(9分) （3）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. ………………(10分) 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. ………………(11分) 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ………………(12分) ②当时，，不等式的解集为或； ………………(13分) ③当时，，不等式的解集为或； ………………(15分) 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. ………………(17分) 19．（本小题17分） 【详解】（1）因为集合， 所以由1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得， ………………(2分) ，，，可得. ………………(4分) （2）由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， ………………(4分) 而，故B中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， ………………(7分) 故，故中的4个元素为0，，，且与0，或或重复， 而，故即， ………………(9分) （3）因为集合，所以集合， 设满足题意，设， 则， ………………(10分) ∴，又，∴， ∵，∴，即， ∴， ………………(12分) 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即， ∴. ………………(14分) 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， ………………(16分) 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. ………………(17分) / 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 答 题 卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 答 题 卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 17．（15分） 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1页（共 4页） 试题 第 2页（共 4页） 学科网（北京）股份有限公司 … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：湘教版必修第一册 第 1 章 集合与逻辑 和 第 2 章 一元二次函数、方程和不等式. 5．综合难度系数：0.65. 第一部分（选择题 共 58 分） 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设全集� = R，� = � −5 ≤ � < 4 ，� = � � ≥− 2 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． � � ≥ 4 B． � � ≤ 4 C． � � ≤− 2 D． � � >− 2 2．命题“∃� ≥ 3，�2 − 2� + 3 < 0”的否定是（ ） A．∀� ≥ 3，�2 − 2� + 3 > 0 B．∀� ≥ 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 C．∃� < 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 D．∀� < 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 3．若关于�的不等式��2 − �� + 2 ≥ 0对一切实数�都成立，则实数�的取值范围是（ ） A．� < 0或� > 8 B．0 < � < 8 C．0 ≤ � ≤ 8 D．� ≤ 0或� > 8 4．命题α:" � ≠ 2或� ≠ 3."是命题β:" � + � ≠ 5."的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 5．当� > 0，� > 0，且满足2 � + 1 � = 3时，有 2� + � > �2 + � − 3恒成立，则 k 的取值范围为（ ） A．−4 < � < 3 B．−4 ≤ � ≤ 3 C．−3 < � < 2 D．−3 ≤ � ≤ 2 6．若∃� ∈ �,��2 + 2 � − 3 � + 4 ≤ 0，则实数�的取值范围为（ ） A． 1,9 B． −∞,0 C． −∞,1 ∪ 9, + ∞ D． −∞,1 ∪ 9, + ∞ 7．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将 10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在 天平的右盘，使天平平衡；第二次将 10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天 平平衡，则两次称得重物的总重量（ ） A．等于 20g B．小于 20g C．大于 20g D．与左右臂的长度有关 8．设集合� = �0, �1, �2, �3, �4 ，在�上定义运算“·”为：�� ⋅ �� = ��，其中� = � − � ，�, � ∈ 0,1,2,3,4 .那 么满足条件 �� ⋅ �� ⋅ �2 = �1 ��, �� ∈ � 的有序数对 �, � 共有（ ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列关系式正确的是（ ） A．0 ∉ ∅ B．∅ ⊆ ∅ C．∅ ∈ 0 D．∅ ∈ ∅ 10．下列命题是真命题的是（ ） A．若�� < 0，� > �，则1 � < 1 � B．若� > � > 0，� ∈ R，则��2 > ��2 C．若 � > �，则�2 > �� D．若� > � > 0，� > � > 0，则�� > �� 11．若实数 a， b 满足 �² + �² − ��� = 9, � ∈ � 则下列说法正确的为（ ） A．当� = 1时，�² + �²最大值为 18 B．当� = 1时， � + �最小值为−6 C．当� = 3时， ��有最大值 D．当� = 3时，�² + �²最小值 18 5 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知不等式�2 − 3� + � < 0的解集为{�∣� < � < �}，若1 � + 1 � =− 1 4 ，则� = . 13．已知�: �2 − 2� − 8 ≤ 0，�: � < � < 2� + 9，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 . 14．已知关于�的不等式 3�2 + 10 − 2� � − 6� + 3 < 0的解集中恰有 5个整数解，则实数�的范围是 . 试题 第 3页（共 4页） 试题 第 4页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题 13分） 设集合� = {�∣ − 2 < � < 1}, � = {�∣1 − � < � < 2� − 2}. （1）若� = 2，求� ∪ �, ∁� � ∩ � ； （2）若� ∩ � = �，求实数�的取值范围. 16．（本小题 15分） （1）已知� > 0，求� = 2 − � − 4 � 的最大值 （2）已知 0 < � < 1 2 ，求� = 1 2 � 1 − 2� 的最大值 17．（本小题 15分） 某厂家拟 2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）�万件与 年促销费用�万元 � ≥ 0 满足� = 4 − � �+1 (�为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 2 万件.已知生产该产品的固定投入为 8万元，每生产一万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的 销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（此处每件产品年平均成本按8+16� � 元来计算）. （1）求�的值； （2）将 2025年该产品的利润�万元表示为年促销费用�万元的函数； （3）该厂家 2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．（本小题 17分） 设函数�(�) = ��2 + (1 − �)� + � − 2(� ∈ R). （1）若� =− 2，求� � < 0的解集； （2）若不等式�(�) ≥ 2� − 3对一切实数� > 1恒成立，求 a 的取值范围； （3）解关于�的不等式：�(�) < � − 1. 19．（本小题 17分） 对于给定的非空数集� = �1, �2, �3, ⋯, �� � ∈ N+ ，定义集合�+ = {�|� = �� + ��, ��, �� ∈ �, 1 ≤ � ≤ � ≤ �}， �− = � � = �� − ��|, ��, �� ∈ �, 1 ≤ � ≤ � ≤ �}，当�+ ∩ �− = ∅时，称 A 具有孪生性质. （1）若集合� = {1,6}，求集合�+，�−； （2）若集合� = {�1, �2, �3}，�1 < �2 < �3，且�− = �，求证：�3 = 2�2； （3）若集合� ⊆ {�|�2 − 2025� + 2024 ≤ 0, � ∈ N+}，且集合 C 具有孪生性质，记|�|为集合 C 中元素 的个数，求|�|的最大值. 1 / 4 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：湘教版必修第一册 第 1 章 集合与逻辑 和 第 2 章 一元二次函数、方程和不等式. 5．综合难度系数：0.65. 第 Ⅰ 卷 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．设全集� = R，� = � −5 ≤ � < 4 ，� = � � ≥− 2 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． � � ≥ 4 B． � � ≤ 4 C． � � ≤− 2 D． � � >− 2 2．命题“∃� ≥ 3，�2 − 2� + 3 < 0”的否定是（ ） A．∀� ≥ 3，�2 − 2� + 3 > 0 B．∀� ≥ 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 C．∃� < 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 D．∀� < 3，�2 − 2� + 3 ≥ 0 3．若关于�的不等式��2 − �� + 2 ≥ 0对一切实数�都成立，则实数�的取值范围是（ ） A．� < 0或� > 8 B．0 < � < 8 C．0 ≤ � ≤ 8 D．� ≤ 0或� > 8 4．命题α:" � ≠ 2或� ≠ 3."是命题β:" � + � ≠ 5."的（ ） 条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 5．当� > 0，� > 0，且满足2 � + 1 � = 3时，有 2� + � > �2 + � − 3恒成立，则 k 的取值范围为（ ） 2 / 4 A．−4 < � < 3 B．−4 ≤ � ≤ 3 C．−3 < � < 2 D．−3 ≤ � ≤ 2 6．若∃� ∈ �,��2 + 2 � − 3 � + 4 ≤ 0，则实数�的取值范围为（ ） A． 1,9 B． −∞,0 C． −∞,1 ∪ 9, + ∞ D． −∞,1 ∪ 9, + ∞ 7．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将 10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在 天平的右盘，使天平平衡；第二次将 10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使 天平平衡，则两次称得重物的总重量（ ） A．等于 20g B．小于 20g C．大于 20g D．与左右臂的长度有关 8．设集合� = �0, �1, �2, �3, �4 ，在�上定义运算“·”为：�� ⋅ �� = ��，其中� = � − � ，�, � ∈ 0,1,2,3,4 .那么 满足条件 �� ⋅ �� ⋅ �2 = �1 ��, �� ∈ � 的有序数对 �, � 共有（ ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列关系式正确的是（ ） A．0 ∉ ∅ B．∅ ⊆ ∅ C．∅ ∈ 0 D．∅ ∈ ∅ 10．下列命题是真命题的是（ ） A．若�� < 0，� > �，则1 � < 1 � B．若� > � > 0，� ∈ R，则��2 > ��2 C．若 � > �，则�2 > �� D．若� > � > 0，� > � > 0，则�� > �� 11．若实数 a， b 满足 �² + �² − ��� = 9, � ∈ � 则下列说法正确的为（ ） A．当� = 1时，�² + �²最大值为 18 B．当� = 1时， � + �最小值为−6 C．当� = 3时， ��有最大值 D．当� = 3时，�² + �²最小值 18 5 第 Ⅱ 卷 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知不等式�2 − 3� + � < 0的解集为{�∣� < � < �}，若1 � + 1 � =− 1 4 ，则� = . 3 / 4 13．已知�: �2 − 2� − 8 ≤ 0，�: � < � < 2� + 9，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 . 14．已知关于�的不等式 3�2 + 10 − 2� � − 6� + 3 < 0的解集中恰有 5个整数解，则实数�的范围是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题 13分） 设集合� = {�∣ − 2 < � < 1}, � = {�∣1 − � < � < 2� − 2}. （1）若� = 2，求� ∪ �, ∁� � ∩ � ； （2）若� ∩ � = �，求实数�的取值范围. 16．（本小题 15分） （1）已知� > 0，求� = 2 − � − 4 � 的最大值 （2）已知 0 < � < 1 2 ，求� = 1 2 � 1 − 2� 的最大值 17．（本小题 15分） 某厂家拟 2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）�万件与 年促销费用�万元 � ≥ 0 满足� = 4 − � �+1 (�为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 2万 件.已知生产该产品的固定投入为 8万元，每生产一万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售 价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（此处每件产品年平均成本按8+16� � 元来计算）. （1）求�的值； （2）将 2025年该产品的利润�万元表示为年促销费用�万元的函数； （3）该厂家 2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 4 / 4 18．（本小题 17分） 设函数�(�) = ��2 + (1 − �)� + � − 2(� ∈ R). （1）若� =− 2，求� � < 0的解集； （2）若不等式�(�) ≥ 2� − 3对一切实数� > 1恒成立，求 a 的取值范围； （3）解关于�的不等式：�(�) < � − 1. 19．（本小题 17分） 对于给定的非空数集� = �1, �2, �3, ⋯, �� � ∈ N+ ，定义集合�+ = {�|� = �� + ��, ��, �� ∈ �, 1 ≤ � ≤ � ≤ �}， �− = � � = �� − ��|, ��, �� ∈ �, 1 ≤ � ≤ � ≤ �}，当�+ ∩ �− = ∅时，称 A 具有孪生性质. （1）若集合� = {1,6}，求集合�+，�−； （2）若集合� = {�1, �2, �3}，�1 < �2 < �3，且�− = �，求证：�3 = 2�2； （3）若集合� ⊆ {�|�2 − 2025� + 2024 ≤ 0, � ∈ N+}，且集合 C 具有孪生性质，记|�|为集合 C 中元素 的个数，求|�|的最大值. 2025-2026学年高一数学上学期第一次月考试题 答案解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：湘教版必修第一册 第1章 集合与逻辑 和 第2章 一元二次函数、方程和不等式. 5．综合难度系数：0.65. 第 Ⅰ 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题， 所以其否定为：，. 故选：B 3．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】分类讨论的值，由一元二次不等式的解法得出实数的取值范围. 【详解】当时，不等式对一切实数都成立. 当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得. 综上，. 故选：C 4．命题α:" 或."是命题β:" ."的（     ） 条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据题意，得出等价命题为“若，则且”，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由命题“若或，则”的等价命题为“若，则且”， 当时，且不一定成立，所以充分性不成立； 反正：当且时，则一定成立，即必要性成立， 即是且成立的必要不充分条件， 所以命题“或”，是命题“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 5．当，，且满足时，有恒成立，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】由已知，当且仅当时等号成立，即的最小值是3， ∴，解得， 故选：C． 6．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 7．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得，，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 8．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【分析】结合集合新定义得，去绝对值结合的取值范围分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合的关系判断即可． 【详解】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确； 对于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正确； 对于C，应该用 “”符号，即，故C错误； 对于D，是集合中的元素，即，故D正确. 故选：ABD. 10．下列命题是真命题的是（       ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】CD 【分析】结合不等式的性质对选项一一分析判断即可得． 【详解】对于A，，因为，，所以， 所以，，即知A不正确. 对于B，由时知B不正确. 对于C，因为，可得，即， 所以，即，即知C正确. 对于D，因为，，所以，故D正确． 故选：CD 11．若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 【答案】ABD 【分析】对于A，B，D利用重要不等式判断即可；对于C，运用“万能k法”判断方程是否有解即可. 【详解】对于A，当时，，解得， 当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确； 对于B，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确； 对于C，当时，， 设，则化为， 即， 因为关于的方程有解， 所以，解得， 所以没有最大值，选项C错误； 对于D，当时，， 则，当且仅当时等号成立， 有最小值，最小值为，选项D正确． 故选：ABD． 第 Ⅱ 卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知不等式的解集为，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式的解集求出，即可计算作答. 【详解】因不等式的解集为，则是方程的两根， 即有，于是得，解得， 所以. 故答案为： 13．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为是的充分不必要条件，所以对应的集合是对应的集合的真子集，根据集合的关系列不等式即可. 【详解】解不等式得 记 因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以，解得. 所以的取值范围为. 14．已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是 . 【答案】或. 【分析】利用分解因式解不等式，然后分类讨论与大小，结合解集中恰有5个整数解，可得答案. 【详解】因为， 所以. ①当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得； ②当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得； ③，即时，不等式解集为空集，不合题意. 综上：当不等式的解集中恰有5个整数解时，的范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， ………………………(2分) ， ………………………(4分) 故或. ………………………(6分) （2）因为，所以. ………………………(8分) ①当时，，解得，满足题意； ………………………(10分) ②当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. ………………………(13分) 16．（本小题15分） （1）已知，求的最大值 （2）已知，求的最大值 【详解】（1）因为，所以， ………………………(2分) 当且仅当，，即时等号成立. ………………………(3分) 所以， ………………………(6分) 所以，函数的最大值为. ………………………(7分) （2）因为，所以， ………………………(8分) 所以， ………………………(12分) 当且仅当，即时，等号成立. ………………………(14分) 所以，的最大值为. ………………………(15分) 17．（本小题15分） 某厂家拟2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2025年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【详解】（1）由题意知，当时，（万件），则，解得； ………………(3分) （2）由（1）可得.所以每件产品的销售价格为（元）， 2025年的利润. ………………(7分) （3）当时，， ………………(8分) ，当且仅当时等号成立. ………………(11分) ， ………………(13分) 当且仅当，即万元时，（万元）. ………………(14分) 故该厂家2025年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. ………………(15分) 18．（本小题17分） 设函数. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【详解】（1）由函数， 若，可得， ………………(1分) 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， ………………(2分) 所以不等式的解集为，即的解集为. ………………(3分) （2）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， ，， ………………(5分) ， ， ………………(8分) 当且仅当时，即时等号成立， 所以的取值范围是. ………………(9分) （3）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. ………………(10分) 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. ………………(11分) 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ………………(12分) ②当时，，不等式的解集为或； ………………(13分) ③当时，，不等式的解集为或； ………………(15分) 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. ………………(17分) 19．（本小题17分） 对于给定的非空数集，定义集合， ，当时，称A具有孪生性质. （1）若集合，求集合，； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合C具有孪生性质，记为集合C中元素的个数，求的最大值. 【详解】（1）因为集合， 所以由1+1=2，1+6=7，6+6=12，可得， ………………(2分) ，，，可得. ………………(4分) （2）由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， ………………(4分) 而，故B中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， ………………(7分) 故，故中的4个元素为0，，，且与0，或或重复， 而，故即， ………………(9分) （3） 因为集合，所以集合， 设满足题意，设， 则， ………………(10分) ∴，又，∴， ∵，∴，即， ∴， ………………(12分) 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即， ∴. ………………(14分) 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故m的最小值为675， 于是当时，C中元素最多， ………………(16分) 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. ………………(17分) / 学科网（北京）股份有限公司 $$