学易金卷：高二数学上学期第一次月考（沪教版2020）（选择性必修第一册第一～二章）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷【答案】 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（或60°） 2．x－y＋4＝0 3．2x－y＝0. ； 4． (2，0)； 5．3x＋4y＋5＝0； 6．(x－2)2＋y2＝10 7．x2＋y2＝a2 8．y＝1或4x－3y－5＝0 9．20； 10． 11．4； 12．且 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 D B C A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）方法1：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；【1分】 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；【2分】 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，【3分】 l1∥l2⇔解得a＝－1，【5分】综上可知，当a＝－1时，l1∥l2；【7分】 方法2：显然a≠0，l1∥l2，则＝≠⇔⇒【5分】 可得a＝－1，【6分】故当a＝－1时，l1∥l2. 【7分】 （2）方法1：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；【1分】 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；【2分】 当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，【4分】 由·＝－1，得a＝；【7分】 方法2：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，【6分】可得a＝；【7分】 18．由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2；【2分】 （1）因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．【3分】 又kPC＝＝－1，【4分】 所以过点P的切线的斜率为－＝1，【5分】 所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0【7分】（2）因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外．【9分】 当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆的切线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0， 由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝; 所以切线方程为y－1＝(x－3)，【12分】 即3x－4y－5＝0. 综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. 因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为＝＝1； 【14分】 19．【答案】（1）＋＝1；（2）＋＝1；（3）＋＝1或＋＝1； 【解析】（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上， 故设其方程为＋＝1(a>b>0)， 显然c＝1，b＝，则a2＝b2＋c2＝4， 故椭圆C的标准方程为＋＝1; 【4分】 （2）设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则有解得 则所求椭圆的标准方程为＋＝1; 【8分】 （3）椭圆＋＝1的离心率是e＝， 当焦点在x轴上时， 设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)， 所以解得 所以所求椭圆方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 所以所以 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1；【14分】 20．【解析】（1）[证明]　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 所以无论k取何值，直线总经过定点(－2，1) 【4分】 （2）[解]　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞)；【10分】 （3）[解]　由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0，1＋2k). 依题意得解得k>0. 因为S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k| ＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， 等号成立的条件是k>0，且4k＝，即k＝， 所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0；【18分】 【说明】1、求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程； 2、求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次函数)求解最值； 3、求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解； 21．【提示】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程. （3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）依题意，双曲线焦点在轴上，半焦距， 实半轴长，则虚半轴长， 所以双曲线C的标准方程为；【4分】 （2）显然直线不垂直于轴，否则弦中点纵坐标为0， 设直线的方程为，即，设， 由消去得：， 依题意，，由M为的中点，得，解得， 此时方程为，，符合题意， 所以直线的方程为；【10分】 （3）由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内， 又点在双曲线右支上，即， 因此， 当且仅当是线段与双曲线右支的交点时取等号， 所以的最小值为；【18分】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3 ． ____________________ 4 ． ____________________ 5 ． ____________________ 6 ． ____________________ 7 ． ____________________ 8 ． ____________________ 9 ． ____________________ 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题 ( 本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项 ) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题 ( 本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20 、 21 题每题 18 分 .) 17 ． （ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ． （ 1 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 9 ．（ 1 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 1 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ．（ 1 8 分） ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 19．（14 分） 20．（16 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章。 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知点A(2，0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为 2．过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为________． 3．直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为_______________ 4．已知圆方程x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是 5．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________________ 6．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是________________． 7．长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________. 8．过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为________________． 9．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆C于A，B两点， 则△ABF2的周长为 10．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是 11．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为 12．若曲线与直线没有公共点，则实数、分别应满足的条件是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A为直角顶点的直角三角形 D．以B为直角顶点的直角三角形 14． “2＜m＜6”是“方程＋＝1表示的曲线为椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学 性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的 入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长 为（ ） A． B． C． D． 16．已知点P(m，n)是函数y＝2－图象上的动点，则|3m＋5n＋15|的最小值是（ ） A．22－ B．22＋ C．－1 D．＋1 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. （1）试判断a为何值时，l1与l2平行； （2）当l1⊥l2时，求a的值； 18．已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. （1）求过点P的圆C的切线方程； （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 19．（1）已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，)，求：椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，求：此椭圆的标准方程； （3）已知椭圆与椭圆＋＝1有相同的离心率，且经过点(2，－)，求：此椭圆的标 准方程； 20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）； （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标 原点)，求：S的最小值，并求此时直线l的方程； 21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，， 双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. （1）双曲线C的标准方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点， 求直线的方程； （3）已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值； 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知点A(2，0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为 2．过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为________． 3．直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为_______________ 4．已知圆方程x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是 5．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________________ 6．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是________________． 7．长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________. 8．过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为________________． 9．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆C于A，B两点， 则△ABF2的周长为 10．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是 11．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为 12．若曲线与直线没有公共点，则实数、分别应满足的条件是 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A为直角顶点的直角三角形 D．以B为直角顶点的直角三角形 14． “2＜m＜6”是“方程＋＝1表示的曲线为椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 16．已知点P(m，n)是函数y＝2－图象上的动点，则|3m＋5n＋15|的最小值是（ ） A．22－ B．22＋ C．－1 D．＋1 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. （1）试判断a为何值时，l1与l2平行； （2）当l1⊥l2时，求a的值； 18．已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. （1）求过点P的圆C的切线方程； （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 19．（1）已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，)，求：椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，求：此椭圆的标准方程； （3）已知椭圆与椭圆＋＝1有相同的离心率，且经过点(2，－)，求：此椭圆的标准方程； 20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）； （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)， 求：S的最小值，并求此时直线l的方程； 21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. （1）双曲线C的标准方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； （3）已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章 5．难度系数：0.65。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知点A(2，0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为 【答案】（或60°） 【解析】由题意得直线AB的斜率k＝＝， 设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝；因为0°≤α<180°，所以α＝60°； 2．过点P(－1，)且倾斜角为30°的直线方程为________． 【答案】x－y＋4＝0 【解析】由点斜式可得y－＝tan 30°(x＋1)，即y－＝(x＋1)，化简得x－y＋4＝0. 3．直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为_______________ 【答案】2x－y＝0. ； 【解析】方法1：联立解得所以两直线的交点为(－1，－2)， 所以直线l的斜率为＝2，则直线l的方程为2x－y＝0； 方法2：设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R). 因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8；所以直线l的方程为2x－y＝0； 4．已知圆方程x2＋y2－4x－1＝0，则该圆心坐标是 【答案】 (2，0)； 【解析】依题意，圆x2＋y2－4x－1＝0转化为标准方程得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)； 5．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________________ 【答案】3x＋4y＋5＝0； 【解析】设所求对称直线的点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0； 6．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是________________． 【答案】(x－2)2＋y2＝10 【解析】圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2， 即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝， 故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10. 7．长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________. 【答案】x2＋y2＝a2 【解析】如图，设线段AB的中点为M(x，y)，点M运动时，它到原点O的距离为定长，即Rt△AOB的斜边上的中线长为定长． 因为|AB|＝2a，即点M∈{M||OM|＝a}，点M的轨迹方程为x2＋y2＝a2. 8．过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为________________． 【答案】y＝1或4x－3y－5＝0 【解析】设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，所以＝1，解得k＝0或， 因此所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0； 9．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线交椭圆C于A，B两点， 则△ABF2的周长为 【答案】20； 【解析】由题意，椭圆的长轴长为2a＝2＝10，由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10， |BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF2的周长是20. 10．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是 【答案】 【解析】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上． 设该双曲线的方程为， 则解得，， 故该双曲线的标准方程是． 11．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为(3，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为 【答案】4； 【解析】由抛物线y2＝4x知p＝2，则F(1，0)，准线l方程为x＝－1.如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点P′，过点A作AH⊥l于点H.由抛物线的定义得|PF|＝|PP′|， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AH|， 当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点(即A，P，H三点共线)时取等号． 故|PA|＋|PF|的最小值为|AH|＝3＋＝4； 12．若曲线与直线没有公共点，则实数、分别应满足的条件是 【提示】由条件作出曲线的图象，根据图象分析出当直线与轴垂直且夹在直线之间. 【答案】且 【解析】方法1：曲线,作出其图像，如图所示，      曲线的图象关于轴对称 若，当时，一次函数的增加的速度比函数 快. 所以当时，若，则的图象与曲线的图象一定有交点. 所以当时，若时，根据的图象与曲线的图象变化情况 可得的图象与曲线的图象一定有交点， 所以当时，不满足条件. 所以，根据图象可得． 故答案为：且 方法2：当k＝0时，⇒b2＝｜x｜＋1≥1，所以，只需｜b｜＜1， 方程b2＝｜x｜＋1无解，即k＝0，｜b｜＜1即可； 当k≠0时，因为，y＝kx＋b与y＝kx平行， 若y＝kx与y2＝｜x｜＋1有公共点，则y＝kx＋b与y2＝｜x｜＋1也有公共点， ⇒k2｜x｜2－｜x｜－1＝0，Δ＝1＋4k2＞0，所以有公共点则，k＝0且｜b｜＜1； 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A为直角顶点的直角三角形 D．以B为直角顶点的直角三角形 【答案】D； 【解析】直线AB的斜率kAB＝＝－，直线BC的斜率kBC＝＝2，由kAB·kBC＝－1， 所以AB⊥BC，故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形；答案：D； 14． “2＜m＜6”是“方程＋＝1表示的曲线为椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B； 【解析】若方程＋＝1表示的曲线为椭圆，则解得2＜m＜6，且m≠4， 故“2＜m＜6”是“方程＋＝1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件；答案：B 15．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为，则焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点，， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或，所以反射光线与抛物线的交点为， 由两点间距离公式可得， 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为； 故选：C； 16．已知点P(m，n)是函数y＝2－图象上的动点，则|3m＋5n＋15|的最小值是（ ） A．22－ B．22＋ C．－1 D．＋1 【答案】A； 【解析】式子y＝2－变形为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，又y≤2， 因此函数y＝2－图象是圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1在y＝2下方的半圆， 如图，作出直线3x＋5y＋15＝0，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切， 表示点P(m，n)到直线3x＋5y＋15＝0的距离． 圆心为C(－1，2)，半径为1，d＝＝， 因此P到直线3x＋5y＋15＝0的距离的最小值是－1， 所以|3m＋5n＋15|的最小值是×＝22－；答案：A； 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. （1）试判断a为何值时，l1与l2平行； （2）当l1⊥l2时，求a的值； 【解析】（1）方法1：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；【1分】 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；【2分】 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，【3分】 l1∥l2⇔解得a＝－1，【5分】综上可知，当a＝－1时，l1∥l2；【7分】 方法2：显然a≠0，l1∥l2，则＝≠⇔⇒【5分】 可得a＝－1，【6分】故当a＝－1时，l1∥l2. 【7分】 （2）方法1：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；【1分】 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；【2分】 当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，【4分】 由·＝－1，得a＝；【7分】 方法2：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，【6分】可得a＝；【7分】 18．已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. （1）求过点P的圆C的切线方程； （2）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长． 【解析】由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2；【2分】 （1）因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．【3分】 又kPC＝＝－1，【4分】 所以过点P的切线的斜率为－＝1，【5分】 所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0【7分】（2）因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外．【9分】 当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆的切线； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0， 由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝; 所以切线方程为y－1＝(x－3)，【12分】 即3x－4y－5＝0. 综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. 因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为＝＝1； 【14分】 19．（1）已知椭圆C的一个焦点为(1，0)，且过点(0，)，求：椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，求：此椭圆的标准方程； （3）已知椭圆与椭圆＋＝1有相同的离心率，且经过点(2，－)，求：此椭圆的标准方程； 【答案】（1）＋＝1；（2）＋＝1；（3）＋＝1或＋＝1； 【解析】（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上， 故设其方程为＋＝1(a>b>0)， 显然c＝1，b＝，则a2＝b2＋c2＝4， 故椭圆C的标准方程为＋＝1; 【4分】 （2）设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则有解得 则所求椭圆的标准方程为＋＝1; 【8分】 （3）椭圆＋＝1的离心率是e＝， 当焦点在x轴上时， 设所求椭圆的方程是＋＝1(a＞b＞0)， 所以解得 所以所求椭圆方程为＋＝1. 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 所以所以 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1；【14分】 20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）； （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)， 求：S的最小值，并求此时直线l的方程； 【解析】（1）[证明]　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 所以无论k取何值，直线总经过定点(－2，1) 【4分】 （2）[解]　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞)；【10分】 （3）[解]　由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0，1＋2k). 依题意得解得k>0. 因为S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k| ＝·＝≥×(2×2＋4)＝4， 等号成立的条件是k>0，且4k＝，即k＝， 所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0；【18分】 【说明】1、求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程； 2、求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式(或二次函数)求解最值； 3、求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解； 21．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. （1）双曲线C的标准方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； （3）已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值； 【提示】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程. （3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）依题意，双曲线焦点在轴上，半焦距， 实半轴长，则虚半轴长， 所以双曲线C的标准方程为；【4分】 （2）显然直线不垂直于轴，否则弦中点纵坐标为0， 设直线的方程为，即，设， 由消去得：， 依题意，，由M为的中点，得，解得， 此时方程为，，符合题意， 所以直线的方程为；【10分】 （3）由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内， 又点在双曲线右支上，即， 因此， 当且仅当是线段与双曲线右支的交点时取等号， 所以的最小值为；【18分】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$