学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（常州专用，苏科版九上第1、2章）

11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题（每小题2分，共16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共20分） 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 13.____________________ 14.____________________ 15.____________________ 16.____________________ 17.____________________ 18.____________________ 三、解答题（共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（8分） 23. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8分） 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（8分） 27.（本题10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2012九上第一、二章。 第一部分（选择题 共16分） 1. 选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． 1. B． C． D． 3．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） 1. B． C． D． 6．如图，在四边形中，点在上，点在外，与交圆于两点，请判断的度数是（   ） 1. 小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 7．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 8．如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（    ） 1. B． C． D． 第二部分（非选择题 共104分） 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 9．方程的解为 ． 10．如图所示，电路中有两个定值电阻、，且、的阻值（单位：）满足方程，现已知该电路中电流为，则其电源电压应是 V． 11．近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是 ． 12．某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，底面半径为，则母线长为 ． 13．如图，是的直径，点，分别是弦，弧的中点，，，则的长是 ． 14．如图，已知，若将、向内折叠使得点A，B落在圆弧上的同一点C处，折痕为、，则 °． 15．如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为 ． 16．对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 17．如图，的圆心为，半径为，沿x轴向右平移2个单位长度后，恰好与直线相切，则的半径r ． 18．已知是的直径，，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接，则线段长度的最小值为 ．    三、解答题：本大题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）解方程 (1);(2)． 20．（本题8分）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 21．（本题8分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M、的半径为10，求的长． 22．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 23．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)画的外接圆，并写出圆心M的坐标． (3)连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 24．（本题8分）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 25．（本题8分）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 26．（本题8分）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 27．（本题10分）阅读理解： 若代数式（其中为常数）能分解因式：，则一元二次方程即必有两根．反过来，若一元二次方程的两根为，则代数式也一定能分解为． 例如：解一元二次方程，得其两根为：， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： (1)已知关于的一元二次方程的两根为，则代数式分解因式后等于__________； (2)用求根法将代数式分解因式； (3)若代数式．是一个完全平方式，则的值为_________． 28．（本题10分）如图，已知中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2012第一、二章。 第一部分（选择题 共16分） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程整理后得到，是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、方程是一元三次方程，故本选项不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、为的切线，、为切点， ，，， ， 在和中， ， ， ． 故选：A． 3．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设旅游业的收入比上年增长的百分数为x， 根据题意得，． 故选：D． 4．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 5．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 6．如图，在四边形中，点在上，点在外，与交圆于两点，请判断的度数是（   ） A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：连接，则四边形为的内接四边形，是的一个外角， ∴， ∴； 故选A． 7．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 【答案】B 【详解】解：与为同族二次方程， ， ， ∴， 解得：， ， 当时，取最小值为2013． 故选：B． 8．如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 第二部分（非选择题 共104分） 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 9．方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：，， 故答案为：，． 10．如图所示，电路中有两个定值电阻、，且、的阻值（单位：）满足方程，现已知该电路中电流为，则其电源电压应是 V． 【答案】 【详解】解： ∵电路中有两个定值电阻、，且、的阻值（单位：）满足方程， ∴， 依题意，这是并联电路， 则， ∴， ∴电源电压， 故答案为：． 11．近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是 ． 【答案】 【详解】解：设这个相同的增长率， 依题意得：， 解得：， (不合题意，舍去)， 故答案为：． 12．某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，底面半径为，则母线长为 ． 【答案】60 【详解】解：∵圆锥的底面积为，且圆锥模型的侧面积是底面积的3倍， ∴圆锥的侧面积为， ∴圆锥的母线长， 故答案为：． 13．如图，是的直径，点，分别是弦，弧的中点，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵点，分别是弦，弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 14．如图，已知，若将、向内折叠使得点A，B落在圆弧上的同一点C处，折痕为、，则 °． 【答案】145 【详解】解：∵，、向内折叠使得点A，B落在圆弧上的同一点C处，折痕为、， ∴， ∴， ∴， 故答案为：145． 15．如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，设铜镜所在圆的圆心为O，点D是到弦的距离最大的点，连接，交于点E； 设圆的半径为， 由垂径定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 故答案为：． 16．对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【详解】解：解方程，得或． 当，时，， 当，时，， 故答案为：． 17．如图，的圆心为，半径为，沿x轴向右平移2个单位长度后，恰好与直线相切，则的半径r ． 【答案】 【详解】解：∵沿x轴向右平移2个单位长度，， ∴平移后圆心与重合， 过作于， ， ∵恰好与直线相切， ∴， 当时，，当时，，， ∴，， ∴， ∴ ，解得：， 故答案为：． 18．已知是的直径，，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接，则线段长度的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 点为的中点， ， 当点在同一条直线上时，线段的值最小， 在中，由勾股定理，得 ， ，    故答案为：． 三、解答题：本大题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 20．（本题8分）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 21．（本题8分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M、的半径为10，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵是的直径，且于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 23．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)画的外接圆，并写出圆心M的坐标． (3)连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，； (3)． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图；即为的外接圆， 圆心M的坐标； （3）解：连接，如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 24．（本题8分）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 25．（本题8分）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 26．（本题8分）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 解得：，， ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 27．（本题10分）阅读理解： 若代数式（其中为常数）能分解因式：，则一元二次方程即必有两根．反过来，若一元二次方程的两根为，则代数式也一定能分解为． 例如：解一元二次方程，得其两根为：， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： (1)已知关于的一元二次方程的两根为，则代数式分解因式后等于__________； (2)用求根法将代数式分解因式； (3)若代数式．是一个完全平方式，则的值为_________． 【答案】(1) (2) (3)2或6 【详解】（1）解：的一元二次方程的两根为，， 故答案为：； （2）解：令， ，，， ， 即，， ；、 （3）解：， 则， 可得，， ， 解得，， 或． 故答案为：2或6． 28．（本题10分）如图，已知中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)8 （2）连接，先导角证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，即为所求： 过点O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴点E在上， ∴为的切线； ②如图，点即为所求： ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，的半径为6， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 一、选择题（每小题 2分，共 16分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2分，共 20分） 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 13.____________________ 14.____________________ 15.____________________ 16.____________________ 17.____________________ 18.____________________ 三、解答题（共 84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（8分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 20．（8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 22.（8分） 23. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 24．（8分） 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 26．（8分） 27.（本题 10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 28.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2012九上第一、二章。 第一部分（选择题 共16分） 1. 选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知、为的切线，、为切点，若，，则的切线（　　）． 1. B． C． D． 3．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） 1. B． C． D． 6．如图，在四边形中，点在上，点在外，与交圆于两点，请判断的度数是（   ） 1. 小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 7．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2011 B．2013 C．2018 D．2023 8．如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（    ） 1. B． C． D． 第二部分（非选择题 共104分） 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 9．方程的解为 ． 10．如图所示，电路中有两个定值电阻、，且、的阻值（单位：）满足方程，现已知该电路中电流为，则其电源电压应是 V． 11．近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是 ． 12．某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，底面半径为，则母线长为 ． 13．如图，是的直径，点，分别是弦，弧的中点，，，则的长是 ． 14．如图，已知，若将、向内折叠使得点A，B落在圆弧上的同一点C处，折痕为、，则 °． 15．如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为 ． 16．对于实数a，b，定义运算“”：例如：，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 17．如图，的圆心为，半径为，沿x轴向右平移2个单位长度后，恰好与直线相切，则的半径r ． 18．已知是的直径，，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接，则线段长度的最小值为 ．    三、解答题：本大题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分）解方程 (1);(2)． 20．（本题8分）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 21．（本题8分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M、的半径为10，求的长． 22．（本题8分）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 23．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)画的外接圆，并写出圆心M的坐标． (3)连接，求劣弧与半径围成的扇形的面积为_____（结果保留）． 24．（本题8分）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若＝，＝，求的长． 25．（本题8分）如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 26．（本题8分）某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 27．（本题10分）阅读理解： 若代数式（其中为常数）能分解因式：，则一元二次方程即必有两根．反过来，若一元二次方程的两根为，则代数式也一定能分解为． 例如：解一元二次方程，得其两根为：， 则．这种因式分解的方法叫求根法． 问题解决： (1)已知关于的一元二次方程的两根为，则代数式分解因式后等于__________； (2)用求根法将代数式分解因式； (3)若代数式．是一个完全平方式，则的值为_________． 28．（本题10分）如图，已知中，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作，使圆心在边上，且使以为圆心，为半径的圆与相切于点； ②若交于点，在下方的圆弧上求作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若交的边于点，且，的半径为6，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B C A B D 第二部分（非选择题 共104分） 2、 填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 9、 ， 10．1.5 11． 12．60 13．2 14. 145 15. 16. 17. 18. 2 三、解答题：本大题共10小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（本题8分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 4分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 8分 20.（本题8分）【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． 4分 （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 8分 21．（本题8分）【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． 4分 （2）解：∵是的直径，且于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8分 22. （本题8分） 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 4分 （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 8分 23.（本题8分）【详解】（1）解：如图，即为所求； 2分 （2）解：如图；即为的外接圆， 圆心M的坐标； 4分 （3）解：连接，如图， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 8分 24、（本题8分）【详解】（1）证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点； 4分 （2）解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 8分 25．【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． 4分 （2）解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 8分 26、（本题8分）【详解】解：设每台学习机售价为x元， 依题意得：， 4分 解得：，， 6分 ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 8分 27.（本题10分）【详解】（1）解：的一元二次方程的两根为，， 故答案为：； 3分 （2）解：令， ，，， ， 即，， ；、 7分 （3）解：， 则， 可得，， ， 解得，， 或． 故答案为：2或6． 10分 28. （本题10分） 【详解】（1）解：①如图，即为所求： 过点O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴点E在上， ∴为的切线； 2分 ②如图，点即为所求： ∵， ∴， ∴； 5分 （2）解：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，的半径为6， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 10分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$