19.2 平行四边形 暑假巩固 2024--2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 19.2 平行四边形 暑假巩固 一、由平行四边形的性质求角 1.在中，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 2.已知在中，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 3.已知中，对角线和相交于点，，，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 4.如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 　 　． 5.在▱ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠A＝　  　°． 6.如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，M为DC的中点，求∠AMB的度数． 7.▱ABCD中，∠A的平分线交DC于E．若∠DEA＝20°，求∠B和∠C的度数． 二、坐标系中的平行四边形 1.如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　） A.（3，1） B.（﹣4，1） C.（1，﹣1） D.（﹣3，1） 2.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A.（3，﹣1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，1） D.（﹣2，﹣1） 4.如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，﹣3），C（2，0），要使四边形ABCD成为平行四边形，则点D的坐标为 　      　． 5.如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　                     　． 6.四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒 （1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？ （2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？ 7.已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标． 三、动点问题中判断平行四边形 1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A. B.3 C.3或 D.或 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　） A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒 3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝　           ． 5.如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为      ． 6.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时分别从A，C两点出发，分别沿AB，CB匀速运动，其中点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当点Q到达点B时，P，Q两点都停止运动，作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动时间为t（s），当t为何值时，四边形PRQB是平行四边形？ 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒． （1）求AB与CE之间的距离； （2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？ 四、根据三角形中位线定理求边长 1.如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A. B. C. D.无法确定 2.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　） A.8 B.10 C.12 D.14 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，若CD=5则EF的长为（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 4.如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15．MN＝3，那么△ABC的周长是　  　． 5.在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则           . 6.如图所示，在中，于点，若分别为的中点，求的长． 7.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？ 五、根据三角形中位线定理求角的度数 1.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（　　） A.15° B.25° C.30° D.35° 2.在△ABC中，若点D、E分别为AB、AC的中点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠AED的度数为（　　） A.50° B.70° C.60° D.80° 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则∠DEC的度数为（　　） A.54° B.48° C.40° D.36° 4.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝40°，则∠ADE的度数为 　  　． 5.在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 　         　． 6.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点． （1）求证：DE∥BC； （2）求证：DE（BC﹣AB）； （3）若∠ABC＝72°，求∠ADE的度数． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数． 六、由平行四边形的性质求边 1.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（　　） A.4 B.3 C.2 D.不确定 2.如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 3.如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为（    ）    A. B. C. D. 4.如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，F为AB中点，连接EF，若DE＝5，EF，EC：BE＝2：3，则线段EC的长为 　　． 5.中，，，，则的长是         ． 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长． 7.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△FBE； （2）若EC＝3，求AD的长． 七、根据给出的条件判断是否为平行四边形 1.已知四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，则下列选项中不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AB＝CD B.AB＝CD，BC＝AD C.AB∥CD，AC＝BD D.OA＝OC，OB＝OD 2.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A.， B.， C.， D.， 3.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 4.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　                                  　． 5.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 6.已知如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？ 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 八、两平行线之间的距离 1.如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（      ）    A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先减小后增大 D.不变 2.如图，把剪成三部分，边放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　） A.70° B.75° C.80° D.85° 3.如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（　　） A.5 B.10 C. D.26 4.在平面直角坐标系中，直线平行于y轴．若点A的坐标为，则点B的坐标可以是        ．（写出一个即可） 5.如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，D，C，且相互平行，若，的距离为6，，的距离为8，则正方形的对角线长为             ． 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，如果AD与BC间的距离为3cm，那么AB与CD间的距离是多少？ 7.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离． 九、根据三角形中位线定理求面积 1.如图，△ABC的面积为4，取AB，AC的中点D，E，连接DE，则图中阴影部分面积是（　　） A. B. C.3 D. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是△ABC中边AB的中线，MH⊥BC，垂足为点H，连接AH，若△AHB的面积为3，AC＝3，则AB的长为（　　） A.4 B.6 C.5 D.8 3.如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A.32 B.48 C.64 D.72 4.如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 　　． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为    　． 6.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 7.在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO． (1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明； (2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积． 十、平行四边形的判定和性质的综合运用 1.如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　） A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2 2.如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　） A.4 B.2 C.2 D.2 3.如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．    （1）在，，中，点P的等积点是         ． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为         ． 5.如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有　  　个平行四边形． 6.已知：如图，点E和点F分别是平行四边形ABCD的边AB和CD的中点，G、H分别为AD和BC边上的一点，且AG＝CH．求证：EF与GH互相平分． 7.在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 沪科版八年级下册 19.2 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、由平行四边形的性质求角 1.在中，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由四边形是平行四边形可得：， 故选B 2.已知在中，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：B． 3.已知中，对角线和相交于点，，，则的度数为（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，作于点，连接，   ， 则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 4.如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 　 　． 【答案】50°． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠C＝∠ABF． 又∵∠C＝40°， ∴∠ABF＝40°． ∵EF⊥BF， ∴∠F＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 5.在▱ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠A＝　  　°． 【答案】60． 【解析】在▱ABCD中，∠A＝∠C， 若∠A+∠C＝120°， 则∠A＝120°÷2＝60°， 故答案为：60． 6.如图，在▱ABCD中，AB＝2BC，M为DC的中点，求∠AMB的度数． 【答案】解：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2BC，M为DC的中点， ∴DA＝DM，CM＝CB， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠6， 又∵CD∥AB， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠5， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴∠3+∠5＝90°， ∴∠AMB＝90°． 7.▱ABCD中，∠A的平分线交DC于E．若∠DEA＝20°，求∠B和∠C的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠DEA＝∠BAE＝20°， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝2∠BAE＝40°， ∵DC∥AB， ∴∠D＝180°﹣∠DAB＝140°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝140°，∠C＝∠DAB＝40°． 二、坐标系中的平行四边形 1.如图，在平面直角坐标系中，以A（﹣1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　） A.（3，1） B.（﹣4，1） C.（1，﹣1） D.（﹣3，1） 【答案】B 【解析】如图所示： ①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（﹣3，1）； ②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，﹣1）； ③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1）； 故选：B． 2.在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M是x轴上的点，点N是y轴上的点，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】如图所示： 当AB平行且等于N1M1时，四边形ABM1N1是平行四边形； 当AB平行且等于N2M2时，四边形ABN2M2是平行四边形； 当AB为对角线时，四边形AN3BM3是平行四边形． 故符合题意的有3个点． 故选：C． 3.如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A.（3，﹣1） B.（﹣1，﹣1） C.（1，1） D.（﹣2，﹣1） 【答案】D 【解析】A、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（3，﹣1）时， ∴BO＝AC1＝2， ∵A，C1，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC1， ∴四边形OAC1B是平行四边形；故此选项正确； B、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（﹣1，﹣1）时， ∴BO＝AC2＝2， ∵A，C2，两点纵坐标相等， ∴BO∥AC2， ∴四边形OC2AB是平行四边形；故此选项正确； C、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（1，1）时， ∴BO＝AC1＝2， ∵A，C1，两点纵坐标相等， ∴C3O＝BC3， 同理可得出AO＝AB， 进而得出C3O＝＝AB，BC3＝AO， ∴四边形OABC3是平行四边形；故此选项正确； D、∵以O（0，0）、A（1，﹣1）、B（2，0）为顶点，构造平行四边形， 当第四个点为（﹣1，﹣1）时，四边形OC2AB是平行四边形； ∴当第四个点为（﹣2，﹣1）时，四边形OC2AB不可能是平行四边形； 故此选项错误． 故选：D． 4.如图所示，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，﹣3），C（2，0），要使四边形ABCD成为平行四边形，则点D的坐标为 　      　． 【答案】（0，3）． 【解析】∵A（﹣2，0），B（0，﹣3），C（2，0）， ∴OA＝2，OB＝3，OC＝2， ∴OA＝OC， 当OD＝OB＝3时，四边形ABCD成为平行四边形， ∴点D的坐标为（0，3）， 故答案为：（0，3）． 5.如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　                     　． 【答案】（5，3）或（1，﹣3）． 【解析】①当四边形OACB是平行四边形时，OC交AB于E．则AE＝EB，OE＝EC． ∵点A（2，3），B（3，0）， ∴E（，）， ∴C（5，3）， ②当四边形OABC′是平行四边形时，OB交AC′于F，则OF＝FB，FA＝FC′， ∵B（3，0）， ∴F（，0）， ∴，0， ∴m＝1，n＝﹣3， ∴C（1，﹣3）， 故答案为（5，3）或（1，﹣3）． 6.四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒 （1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？ （2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？ 【答案】解：（1）如图1：由题意得：CP＝2t，AQ＝3t，则PB＝6﹣2t， 当PB＝AQ时，四边形ABPQ为平行四边形， 故6﹣2t＝3t， 解得：t， 答：t为四边形ABPQ为平行四边形； （2）过P作PD⊥AO，过Q作QF⊥BC， ∵△AQP是以AQ为底边的等腰三角形， ∴DQ＝ADQA， ∵AQ＝3t， ∴DQ＝1.5t，QO＝8﹣3t， ∵CP＝2t， ∴FP＝2t﹣（8﹣3t）＝5t﹣8， ∴5t﹣8＝1.5t， 解得：t． 7.已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面内求一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D的坐标． 【答案】解：如图由图象可知，以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，点D坐标为（﹣1，0）或（﹣3，4）或（7，﹣2）． 三、动点问题中判断平行四边形 1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（　　） A. B.3 C.3或 D.或 【答案】D 【解析】①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝9+3t﹣12，解得t， ②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝12﹣9﹣3t，解得t， 综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故选：D． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　） A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒 【答案】B 【解析】设点P、Q运动的时间为t秒，依题意得， CQ＝t，BQ＝6﹣t，AP＝2t， PD＝9﹣2t， ①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形， 即6﹣t＝2t， 解得t＝2． ②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即t＝9﹣2t， 解得，t＝3， 所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 故选：B． 3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB，如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°， 此时四边形ABCD是平行四边形， ∵直线l1∥l2，它们间的距离为2， ∴O到l1l2的距离均为1， ∵点A到l1的距离为1 ∴ON＝2， 由图可知AO≥ON， ∴AOmin＝ON＝2， ∴ACmin＝2AO＝4， 故选：B． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝　           ． 【答案】或2或4． 【解析】设t秒后四边形ABQP是平行四边形， 由题意得，AP＝t cm，CQ＝2t cm， 则BQ＝（10﹣2t）cm， ∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， ∴t＝10﹣2t， 解得， 即秒时四边形ABQP是平行四边形； 当四边形DCQP是平行四边形， 则PD＝（6﹣t）cm， ∵AD∥BC， ∴当PD＝CQ时，四边形DCQP是平行四边形， ∴2t＝6﹣t， 解得t＝2， 当PD＝BQ时，10﹣2t＝6﹣t， 解得t＝4， ∴或2或4秒时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形， 故答案为：或2或4． 5.如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为      ． 【答案】2秒或3.5秒 【解析】解：如图： ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝9， ∵ADBC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则得：9−3t＝5−t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则得：3t−9＝5−t， 解得：t＝3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或3.5秒． 6.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时分别从A，C两点出发，分别沿AB，CB匀速运动，其中点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当点Q到达点B时，P，Q两点都停止运动，作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动时间为t（s），当t为何值时，四边形PRQB是平行四边形？ 【答案】解：∵点P的运动速度是每秒1cm，点Q的运动速度是每秒2cm， ∴PB＝（6﹣t）cm，CQ＝2t cm， ∵△ABC是等边三角形，RQ∥BA， ∴△RQC是等边三角形， ∴QR＝CQ＝2t cm， ∵只要使PB＝RQ时，四边形PRQB是平行四边形， 即6﹣t＝2t， 得t＝2， ∴当t为2时，四边形PRQB是平行四边形． [点评]本题考查了平行四边形的判定与性 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒． （1）求AB与CE之间的距离； （2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？ 【答案】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H， ∵BC＝3，AC＝4， ∴根据勾股定理得：AB5， ∴AB•CHAC•BC，即5×CH4×3， ∴CH， 则AB与CE间的距离为； （2）∵D是AC中点， ∴当P为AB中点时，PD∥BC， 又∵CE∥BA， ∴四边形PBCF为平行四边形， 此时PBAB，即t． 四、根据三角形中位线定理求边长 1.如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A. B. C. D.无法确定 【答案】B 【解析】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 2.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　） A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】C 【解析】∵点D、E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是三角形BC的中位线，AB＝2BD，BC＝2BE， ∴DE∥BC且DEAC， 又∵AB＝2BD，BC＝2BE， ∴AB+BC+AC＝2（BD+BE+DE）， 即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍， ∵△DBE的周长是6， ∴△ABC的周长是：6×2＝12． 故选：C． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，若CD=5则EF的长为（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】B 【解析】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴CDAB， 又∵EF是△ABC的中位线， ∴AB=2CD=2×5=10cm， ∴EF10=5cm． 故选：B． 4.如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB＝10，BC＝15．MN＝3，那么△ABC的周长是　  　． 【答案】41． 【解析】延长BN交AC于D， 在△ANB和△AND中， ， ∴△ANB≌△AND（ASA）， ∴AD＝AB＝10，BN＝ND， ∵BM＝MC， ∴DC＝2MN＝6， ∴AC＝AD+DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+15+16＝41， 故答案为：41． 5.在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则           . 【答案】6 【解析】解：在中，点E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵E，D分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：6． 6.如图所示，在中，于点，若分别为的中点，求的长． 【答案】解： 是等腰直角三角形， ． 又 ． 设，则． ． 又分别为的中点． ． 7.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=8cm，则立柱BC，DE要多长？ 【答案】∵BC⊥AF,∠A=30°， ∴BC=AB=4m， ∵BC、DE垂直于横梁AC， ∴DE∥BC，又D是AB的中点， ∴DE=BC=2m， 答：立柱BC要4m，DE要2m. 五、根据三角形中位线定理求角的度数 1.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（　　） A.15° B.25° C.30° D.35° 【答案】B 【解析】∵P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点， ∴PF是△ABD的中位线， ∴PFAB，PF∥AB， ∴∠DPF＝∠ABD＝30°， 同理，PECD，PE∥CD， ∴∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°， ∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝130°， ∵AB＝CD， ∴PE＝PF， ∴∠EFP＝∠FEP（180°﹣∠EPF）（180°﹣130°）＝25°， 故选：B． 2.在△ABC中，若点D、E分别为AB、AC的中点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠AED的度数为（　　） A.50° B.70° C.60° D.80° 【答案】C 【解析】∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠B＝∠AED＝70°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝60°， 故选：C． 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则∠DEC的度数为（　　） A.54° B.48° C.40° D.36° 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，∠A＝54°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝36°， ∵D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠DEC＝∠B＝36°， 故选：D． 4.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若∠B＝40°，则∠ADE的度数为 　  　． 【答案】40° 【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE＝40°， 故答案为：40°． 5.在等腰三角形ABC中，AC为腰，O为BC的中点，D为AB的中点，∠C＝30°，则∠ADO的度数是 　         　． 【答案】60°或105°． 【解析】当AB＝AC，∠C＝30°时，∠B＝∠C＝30°， 则∠A＝180°﹣30°×2＝120°， 当BC＝AC，∠C＝30°时，∠A＝∠B＝75°， ∵O为BC的中点，D为AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∴∠ADO+∠A＝180°， ∴∠ADO为60°或105°， 故答案为：60°或105°． 6.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点． （1）求证：DE∥BC； （2）求证：DE（BC﹣AB）； （3）若∠ABC＝72°，求∠ADE的度数． 【答案】（1）证明：如图，延长AD交BC于F， ∵BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴AB＝BF，AD＝DF， 又∵E为AC的中点， ∴DE是△ACF的中位线， ∴DE∥BC； （2）证明：∵AB＝BF， ∴FC＝BC﹣AB， ∵DE是△ACF的中位线， ∴DE（BC﹣AB）； （3）解：∵∠ABC＝72°， ∴∠AFB（180°﹣72°）＝54°， ∴∠AFC＝126°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AFC＝126°． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，使∠DAC＝∠BAC，E为BD的中点，∠ABC＝60°，求∠ACE的度数． 【答案】解：延长AD、BC交于F． ∵在△ABC与△AFC中， ， ∴△ABC≌△AFC（ASA）， ∴BC＝FC，∠F＝∠ABC＝60°， ∴∠CAF＝30°， ∵E为BD的中点， ∴EC∥AF， ∴∠ACE＝∠CAF＝30°． 六、由平行四边形的性质求边 1.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（　　） A.4 B.3 C.2 D.不确定 【答案】B 【解析】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6． ∵M，N分别为BE，CE的中点， ∴MN是△EBC的中位线， ∴MNBC＝3． 故选：B． 2.如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3.如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵在中，O是对角线的交点，且，， 是对角线的中垂线，， ， 的周长为． 故选C 4.如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，F为AB中点，连接EF，若DE＝5，EF，EC：BE＝2：3，则线段EC的长为 　　． 【答案】3． 【解析】如图，延长DA，EF交于点H， ∵F是AB的中点， ∴AF＝BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠H＝∠BEF，∠HAF＝∠B， ∴△AFH≌△BFE（AAS）， ∴EF＝FH，AH＝BE， ∴EH＝13， ∴DH12， ∵EC：BE＝2：3， ∴设EC＝2x，BE＝3x＝AH， 则AD＝BC＝5x， ∴DH＝8x， ∴8x＝12， ∴x， ∴EC＝2x＝3， 故答案为：3． 5.中，，，，则的长是         ． 【答案】 【解析】如图所示，连接，过点A作 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5， ∴CD＝AB＝5，CD∥AB， ∴∠ABE＝∠CEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠CEB＝∠CBE， ∴BC＝CE， 又∵DE＝2， ∴BC＝CE＝CD﹣DE＝5﹣2＝3． 7.已知：如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB，连接FD，交BC于点E． （1）求证：△DCE≌△FBE； （2）若EC＝3，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠F＝∠CDE， ∵BF＝AB， ∴BF＝CD， 在△DCE和△FBE中， ， ∴△DCE≌△FBE（AAS）． （2）解：∵△DCE≌△FBE（AAS），EC＝3， ∴BE＝EC＝3 ∴BC＝2BE＝6， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6． 七、根据给出的条件判断是否为平行四边形 1.已知四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，则下列选项中不能证明四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A.AB∥CD，AB＝CD B.AB＝CD，BC＝AD C.AB∥CD，AC＝BD D.OA＝OC，OB＝OD 【答案】C 【解析】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB＝CD，BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、由AB∥CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】解：，，但与不一定平行， ∴由，不能判断四边形是平行四边形，故A选项符合题意； ∵， ， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴由，能判断四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； ，， ∴四边形是平行四边形， ∴由，能判断四边形是平行四边形， 故C选项不符合题意； ，，且， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴由，能判断四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意， 故选：A． 3.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】A 【解析】解：A、若AB＝CD，∠A＝∠B，不可以判定四边形ABCD是平行四边形； B、∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠A＋∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故B可以判定四边形ABCD是平行四边形； C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知C可以判定四边形ABCD是平行四边形； D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知D可以判定四边形ABCD是平行四边形； 故选A． 4.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　                                  　． 【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【解析】∵将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置， ∴A1B1＝AB，A1B1∥AB， ∴四边形ABB1A1是平行四边形， ∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 5.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 【答案】③． 【解析】①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意； ④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 6.已知如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，四边形ABCD是不是平行四边形？为什么？ 【答案】解：是平行四边形． 理由： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥DC， 又∵∠3＝∠4， ∴AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AB＝CD， 又AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 八、两平行线之间的距离 1.如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（      ）    A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先减小后增大 D.不变 【答案】D 【解析】解：连接，   点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 点是第一象限内直线上的一个动点， 两直线平行， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 2.如图，把剪成三部分，边放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（　　） A.70° B.75° C.80° D.85° 【答案】C 【解析】解：过点分别作于，于，于，如图所示： ∵直线， ∴， ∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ∴， ∴， 故选：C． 3.如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（　　） A.5 B.10 C. D.26 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝13， 在Rt△ADO中，由勾股定理得， DO5， ∴BD＝2OD＝10， ∴AD与BC间的距离为10， 故选：B． 4.在平面直角坐标系中，直线平行于y轴．若点A的坐标为，则点B的坐标可以是        ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：∵直线与y轴平行， ∴点A和点B的横坐标相等，纵坐标不相等， 故答案为：（答案不唯一）． 5.如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，D，C，且相互平行，若，的距离为6，，的距离为8，则正方形的对角线长为             ． 【答案】 【解析】解：过D点作于F点，交于点E，如图， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的距离为6，，的距离为8， ∴， 根据勾股定理得，， ∴正方形的对角线长为． 故答案为：． 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，如果AD与BC间的距离为3cm，那么AB与CD间的距离是多少？ 【答案】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F． 由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF， ∴6×3＝4×AF， ∴AF，即AB与CD间的距离为． 7.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离． 【答案】解：设AD和BC之间的距离为x， 则平行四边形ABCD的面积等于AD•x， ∵S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝2AC•BE＝AC•BE， ∴AD•x＝AC•BE， 即：7x＝21×5， x＝15（cm）， 答：AD和BC之间的距离为15cm． 九、根据三角形中位线定理求面积 1.如图，△ABC的面积为4，取AB，AC的中点D，E，连接DE，则图中阴影部分面积是（　　） A. B. C.3 D. 【答案】C 【解析】如图所示，连接CD， ∵点D是AB的中点， ∴CD是△ABC的中线， ∴， ∵点E是AC的中点， ∴DE是△ACD的中位线， ∴， ∴S四边形BCED＝S△ECD+S△CDB＝2+1＝3． 故选：C． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是△ABC中边AB的中线，MH⊥BC，垂足为点H，连接AH，若△AHB的面积为3，AC＝3，则AB的长为（　　） A.4 B.6 C.5 D.8 【答案】C 【解析】∵MH⊥BC，垂足为点H，∠ACB＝90°， ∴MH∥AC， ∵CM是△ABC中边AB的中线， ∴CH＝HB， ∵△AHB的面积为3， ∴△AHC的面积为3， ∴△ACB的面积为6， ∵AC＝3， ∴BC＝4， ∴由勾股定理得：AB＝5， 故选：C． 3.如图，在△ABC中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连接GE，若△FGE的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A.32 B.48 C.64 D.72 【答案】C 【解析】∵G，E分别是BF，CF的中点， ∴GE是△BFC的中位线， ∴GEBC， ∵△FGE的面积为8， ∴△BFC的面积为32， ∵点F是AD的中点， ∴S△ABF＝S△BDF，S△FDC＝S△AFC， ∴△ABC的面积＝2△BFC的面积＝64， 故选：C． 4.如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE＝2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 　　． 【答案】3． 【解析】∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EFBC， ∵OE＝2OF， ∴OEEFBCBC， 设点A到BC的距离为h， 则S△ABCBC•h，S△AOCOE•hBC•hBC•h， ∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1＝3． 故答案为：3． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为    　． 【答案】8 【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点， 即DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB， ∴AB＝2DE，DF∥AB， 又∵BF∥AC， ∴BF∥AD， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∵AB⊥BE， ∴S平行四边形ABFD＝AB•BE， ∵DE＝2， ∴AB＝2×2＝4， 在Rt△ABC中， ∵∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝2×4＝8， ∴BC4， ∴BEBC＝2， ∴S平行四边形ABFD＝4×28， 故答案为8． 6.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 【答案】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DHDC， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝22． 7.在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO． (1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明； (2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积． 【答案】（1）解：∵四边形AMCN是平行四边形，理由如下： ∵点O为AC的中点 ∴OA=OC， ∵MO=NO， ∴四边形AMCN是平行四边形． （2）解：当点M为CE中点时，AC和MN之间的位置关系为AC⊥MN，证明如下： ∵M为CE的中点，点O为AC的中点 ∴OM为△ACE的中位线 ∴OMAB ∵AB⊥AC ∴OM⊥AC，即AC⊥MN． （3）解：∵AB⊥AC ∴∠BAC=90° ∵∠B=60° ∴∠ACB=90°-60°=30° ∵AB=4 ∴BC=2AB=8 ∴ ∵点E为AB中点 ∴AE=AB=2 ∵OM为△ACE的中位线 ∴OM=AE=1 ∵OM⊥AC ∴ ∴ ∴四边形AMCN的面积为． 十、平行四边形的判定和性质的综合运用 1.如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2，AB∥CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是（　　） A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2 【答案】C 【解析】∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ADC＝S△ABC8＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△AECS△ABC4＝2cm2， 故选：C． 2.如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　） A.4 B.2 C.2 D.2 【答案】C 【解析】过点D作DE∥AB，且DE＝AB，连接CE、BE，如图所示： 则四边形ABED是平行四边形，∠A+∠ADE＝180°， ∴DE＝AB＝3，AD＝BE，∠ABE＝∠ADE＝180°﹣75°＝105°，∠BED＝∠A＝75°， ∵∠ADC＝15°， ∴∠CDE＝90°， ∵AB＝CD， ∴DE＝CD， ∴CECD＝3， ∵∠ABC＝45°， ∴∠CBE＝60°， ∴∠BCD＝135°， ∴∠BCE＝90°， ∴BE2， ∴AD＝BE＝2； 故选：C． 3.如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵是正方形， ∴ ∵分别是正方形各边的中点 ∴ ∴，故A正确； ∵且 ∴四边形是平行四边形 ∴，故B正确； ∵ ∴ ∴ 即： 同理得 ∵ ∴ ∴ ∴，故C正确； 由以上推理过程可同理得： 由C得： ∵为的中点， ∴ ∴ 同理得： ∴ ∴，故D错误； 故选：D． 4.如图，在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．    （1）在，，中，点P的等积点是         ． （2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为         ． 【答案】 【解析】（1）解：根据题意得， 因为，所以不是点P的等积点， 因为，所以是点P的等积点， 因为，所以不是点P的等积点， 故答案为：； （2）解：如图1所示：    设，则，即， 可知点Q在直线上，且， 作轴于点D，轴于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 若点Q在x轴上方，则，即， 所以； 当点Q在x轴上方时，则，即， 所以； 因为点C在x正半轴上， 所以点C的坐标为， 故答案为：． 5.如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有　  　个平行四边形． 【答案】6 【解析】∵M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点， ∴AM＝BM＝DN＝CN，AB∥CD，AD∥BC，MN∥BC， ∴四边形AMND、四边形BCNM、四边形AMCN、四边形BNDM、四边形MQNP是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴图中有6个平行四边形； 故答案为：6． 6.已知：如图，点E和点F分别是平行四边形ABCD的边AB和CD的中点，G、H分别为AD和BC边上的一点，且AG＝CH．求证：EF与GH互相平分． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵点E和点F分别是平行四边形ABCD的边AB和CD的中点， ∴AE＝BE＝CF＝DF，∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∵AG＝CH， ∴DG＝BH， 在△AEG与△CFH中， ， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴EG＝HF， 同理，EH＝FG， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∴EF与GH互相平分． 7.在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD． 又∵△ADE和△CBF都是等边三角形， ∴DE＝BF，AE＝CF． ∠DAE＝∠BCF＝60°． ∵∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF， ∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE， ∴∠DCF＝∠BAE． ∴△DCF≌△BAE（SAS）． ∴DF＝BE． ∴四边形BEDF是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$