19.2 平行四边形 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 19.2 平行四边形 暑假巩固 一、根据三角形中位线定理求角的度数 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则∠DEC的度数为（　　） A.54° B.48° C.40° D.36° 2.如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　） A.45° B.60° C.75° D.80° 3.如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，，若，则： （1）的度数为           ； （2）的周长是           ．    5.如图，，均为等腰直角三角形，，，点A，E，D在同一直线上，与相交于点F，G为的中点，连接，．    （1）的度数为        °； （2）若F为的中点，则的长为        ． 6.如图，在△ABC中，DE是中位线 （1）∠ADE＝60°，求∠B的度数 （2）若BC＝8cm，求DE的长度． 7.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数． 二、由平行四边形的性质求角 1.如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.55° C.60° D.65° 2.如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 3.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，∠1＝45°，则∠2的度数是（　　） A.105° B.90° C.75° D.30° 4.如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 　 　． 5.如图，在▱ABCD中，BA＝BD，AE⊥BD，若∠C＝70°，则∠DAE的度数为 　 　． 6.如图，AE，AF分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的高，若∠BAE＝25°，那么∠D和∠C度数． 7.如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，求平行四边形各个内角的度数． 三、动点问题中判断平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　） A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　     　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 5.如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为      ． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P自点A向点D以3cm/s的速度运动，到点D即停止，点Q自点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截这个四边形为两个四边形，问：当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒． （1）求AB与CE之间的距离； （2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？ 四、由平行四边形的性质求边 1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF等于（　　）cm． A.3cm B.4cm C.3.5cm D.4.5cm 2.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　） A.1 B.2 C.4 D.都不对 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠ADB＝90°，BD＝6，AD＝4，则AC的长为（　　） A.8 B.9 C.10 D.12 4.如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为        ．    5.如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，F为AB中点，连接EF，若DE＝5，EF，EC：BE＝2：3，则线段EC的长为 　　． 6.如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若AB＝8，BC＝6，求EC的长． 7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长． 五、根据三角形中位线定理求边长 1.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，F是对角线AC的中点，如果EF＝6，那么AD的长是（       ） A.24 B.18 C.12 D.6 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，若CD=5则EF的长为（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 3.如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A. B. C. D.无法确定 4.在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则           . 5.如图，在中，E是边的中点，过点A作平分线的垂线，垂足为D，连接，若，，则     ． 6.如图所示，在中，于点，若分别为的中点，求的长． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是BC的中点，DE＝AD＝3，求AC的长． 六、根据给出的条件判断是否为平行四边形 1.如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A. B. C. D.， 2.□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（    ） A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF 3.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AO＝CO，BO＝DO D.AB＝DC，AD∥BC 4.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 5.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　                                  　． 6.如图，已知AB∥CD，AC＝4，CD＝3，AD＝BC＝5．求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 七、平行四边形的判定和性质的综合运用 1.如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　） A.4 B.2 C.2 D.2 2.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（　　）（提示：可以构造平行四边形） A.2＜AD＜14 B.1＜AD＜7 C.6＜AD＜8 D.12＜AD＜16 3.如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，AC是▱ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是　     　（只要填写一种情况）． 5.如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为        ． 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于E点，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，连接EF． （1）求证：DF＝AE； （2）求证：四边形BCFE是平行四边形． 7.如图，已知E、F分别为▱ABCD的对边AD、BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分． 八、两平行线之间的距离 1.如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（      ）    A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先减小后增大 D.不变 2.如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，则直线AB与CD的距离是（　　） A.CD的长 B.BC的长 C.CE的长 D.CF的长 3.如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为 　 　． 5.如图，在▱ABCD中，BC，∠A＝45°，AB与CD的距离为 　 　． 6.如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 7.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6， （1）求BD的长； （2）求两平行线AD与BC之间距离． 九、坐标系中的平行四边形 1.在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（　　） A.（﹣1，4） B.（﹣1，﹣4） C.（﹣2，0） D.（1，0） 2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，3），（﹣4，﹣1），（3，3），要在第四象限内找到一点C，使四边形ABCD是平行四边形，则点C的坐标是（　　） A.（2，﹣1） B.（1，﹣2） C.（1，﹣1） D.（2，﹣2） 3.在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　） A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1） 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标是　            　． 5.平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，1），若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 　                             　． 6.四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置，如图所示，已知A（﹣2，﹣3），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣1，0），求证：四边形ABCD是平行四边形． 7.四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒 （1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？ （2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？ 十、根据三角形中位线定理求面积 1.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B.16 C.32 D. 2.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（　　） A.20 B.25 C.30 D.35 3.如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　） A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1 4.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF＝1，BC＝6，则△ABC的面积是 　　． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为    　． 6.在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO． (1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明； (2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积． 7.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 沪科版八年级下册 19.2 平行四边形 暑假巩固（参考答案） 一、根据三角形中位线定理求角的度数 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则∠DEC的度数为（　　） A.54° B.48° C.40° D.36° 【答案】D 【解析】∵∠C＝90°，∠A＝54°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝36°， ∵D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠DEC＝∠B＝36°， 故选：D． 2.如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　） A.45° B.60° C.75° D.80° 【答案】C 【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣45°﹣60°＝75°． ∵D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴∠EDF＝∠C＝75°． 故选：C． 3.如图，在四边形中，E，F分别是边，的中点，若，，，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：连接，    ∵E、F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4.如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，，若，则： （1）的度数为           ； （2）的周长是           ．    【答案】/90度 【解析】解：（1）∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ （2）∵即是直角三角形，点D是的中点， ∴， 的周长是：． 故答案为：（1）（2） 5.如图，，均为等腰直角三角形，，，点A，E，D在同一直线上，与相交于点F，G为的中点，连接，．    （1）的度数为        °； （2）若F为的中点，则的长为        ． 【答案】90 【解析】解：（1），均为等腰直角三角形，，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）作于点H，则，，    ∴， ∵F为BC的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：． 6.如图，在△ABC中，DE是中位线 （1）∠ADE＝60°，求∠B的度数 （2）若BC＝8cm，求DE的长度． 【答案】解：（1）∵DE是中位线， ∴DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE＝60°； （2）∵DE是中位线， ∴DEBC＝4cm． 7.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，点D是AC的中点，DE∥BC．求∠EDB的度数． 【答案】解：∵AB＝BC，点D是AC的中点， ∴∠DBC∠ABC＝42°． 又∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC＝42°． 二、由平行四边形的性质求角 1.如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠BAE的度数为（　　） A.50° B.55° C.60° D.65° 【答案】D 【解析】在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°． ∵AB＝CD，BE＝CD， ∴AB＝BE． ∴∠BAE＝∠BEA65°． 故选：D． 2.如图，在中，过点C的直线，垂足为E，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵在平行四边形中，过点的直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：A． 3.如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，∠1＝45°，则∠2的度数是（　　） A.105° B.90° C.75° D.30° 【答案】C 【解析】在▱ABCD中，AC是对角线，∠D＝60°，则∠B＝∠D＝60°． 在△ABC中，∠B＝60°，∠1+∠2+∠B＝180°，∠1＝45°，则∠2＝75°． 故选：C． 4.如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 　 　． 【答案】50°． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠C＝∠ABF． 又∵∠C＝40°， ∴∠ABF＝40°． ∵EF⊥BF， ∴∠F＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 5.如图，在▱ABCD中，BA＝BD，AE⊥BD，若∠C＝70°，则∠DAE的度数为 　 　． 【答案】20°． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD∥BC， ∵BD＝AB， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DBC＝70°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°． 故答案为：20°． 6.如图，AE，AF分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的高，若∠BAE＝25°，那么∠D和∠C度数． 【答案】解：∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BAE＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝65°，AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣65°＝115°． 7.如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，求平行四边形各个内角的度数． 【答案】解：在四边形AECF中，因为AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°， 所以∠C＝120° 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，∠B+∠C＝180° ∴∠BAD＝120°；∠B＝60°；∠C＝120°；∠D＝60°． 三、动点问题中判断平行四边形 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　） A.2秒 B.2秒或3秒 C.2秒或4秒 D.4秒 【答案】B 【解析】设点P、Q运动的时间为t秒，依题意得， CQ＝t，BQ＝6﹣t，AP＝2t， PD＝9﹣2t， ①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形， 即6﹣t＝2t， 解得t＝2． ②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即t＝9﹣2t， 解得，t＝3， 所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 故选：B． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 【答案】C 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， 由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t， ∴3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t， ∴8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 3.如图，直线l1∥l2，它们间的距离为2，在直线l1下方有一定点A，到l2的距离为1，点B、D分别是l1、l2上的动点，平面内一点C与A、B、D三点构成▱ABCD，则对角线AC长度的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】如图，连接AB，AD，BD，取BD中点O，连接AO，延长AO作OC＝AO，连接CD，CB，如图做三角形OAN，使∠ANO＝90°， 此时四边形ABCD是平行四边形， ∵直线l1∥l2，它们间的距离为2， ∴O到l1l2的距离均为1， ∵点A到l1的距离为1 ∴ON＝2， 由图可知AO≥ON， ∴AOmin＝ON＝2， ∴ACmin＝2AO＝4， 故选：B． 4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发　     　秒后其中一个新四边形为平行四边形． 【答案】4或5 【解析】根据题意有AP＝t cm，CQ＝2t cm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm． ①∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形． ∴t＝15﹣2t， 解得t＝5． ∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形； ②AP＝t cm，CQ＝2t cm， ∵AD＝12cm，BC＝15cm， ∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm， ∵AD∥BC， ∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形． 即：12﹣t＝2t， 解得t＝4s， ∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形． 综上所述，当P，Q同时出发4或5秒后其中一个新四边形为平行四边形． 故答案为：4或5． 5.如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为      ． 【答案】2秒或3.5秒 【解析】解：如图： ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝9， ∵ADBC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则得：9−3t＝5−t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则得：3t−9＝5−t， 解得：t＝3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或3.5秒． 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，点P自点A向点D以3cm/s的速度运动，到点D即停止，点Q自点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截这个四边形为两个四边形，问：当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】解：设当P，Q同时出发，t秒后其中一个四边形为平行四边形， 则AP＝3tcm，DP＝（24﹣3t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（30﹣2t）cm， ①当ABQP是平行四边形时， AP＝BQ， 即3t＝30﹣2t， 解得：t＝6； ②当CDPQ是平行四边形时， DP＝CQ， 即24﹣3t＝2t， 解得：t＝4.8； 即当当P，Q同时出发，6秒或4.8秒后其中一个四边形为平行四边形． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC的中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P运动的时间为t秒． （1）求AB与CE之间的距离； （2）t为何值时，四边形PBCF是平行四边形？ 【答案】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H， ∵BC＝3，AC＝4， ∴根据勾股定理得：AB5， ∴AB•CHAC•BC，即5×CH4×3， ∴CH， 则AB与CE间的距离为； （2）∵D是AC中点， ∴当P为AB中点时，PD∥BC， 又∵CE∥BA， ∴四边形PBCF为平行四边形， 此时PBAB，即t． 四、由平行四边形的性质求边 1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF等于（　　）cm． A.3cm B.4cm C.3.5cm D.4.5cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD时平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝7cm，AB＝CD＝4cm， ∴∠ABE＝∠F， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠F＝∠CBE， ∴CF＝BC＝7cm， ∴DF＝CF﹣CD＝3cm， 故选：A． 2.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AD＝4，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　） A.1 B.2 C.4 D.都不对 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CMB， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴∠ABM＝∠CBM， ∴∠CBM＝∠CMB， ∴MC＝BC＝4， ∴DM＝CD﹣MC＝6﹣4＝2， 故选：B． 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若∠ADB＝90°，BD＝6，AD＝4，则AC的长为（　　） A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝6，AD＝4， ∴，， ∵∠ADB＝90°， ∴， ∴AC＝2OA＝10， 故选：C． 4.如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为        ．    【答案】 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 同理，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 5.如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，F为AB中点，连接EF，若DE＝5，EF，EC：BE＝2：3，则线段EC的长为 　　． 【答案】3． 【解析】如图，延长DA，EF交于点H， ∵F是AB的中点， ∴AF＝BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠H＝∠BEF，∠HAF＝∠B， ∴△AFH≌△BFE（AAS）， ∴EF＝FH，AH＝BE， ∴EH＝13， ∴DH12， ∵EC：BE＝2：3， ∴设EC＝2x，BE＝3x＝AH， 则AD＝BC＝5x， ∴DH＝8x， ∴8x＝12， ∴x， ∴EC＝2x＝3， 故答案为：3． 6.如图：在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若AB＝8，BC＝6，求EC的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BC＝6， ∴AB∥DC，AD＝BC＝6，DC＝AB＝8， ∴∠AED＝∠EAB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAD＝∠EAB， ∴∠AED＝∠EAD， ∴DE＝AD＝6， ∴EC＝DC﹣DE＝8﹣6＝2， ∴EC的长为2． 7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BE平分∠ABC交CD边于点E，且DE＝2，求BC的长． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5， ∴CD＝AB＝5，CD∥AB， ∴∠ABE＝∠CEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠CEB＝∠CBE， ∴BC＝CE， 又∵DE＝2， ∴BC＝CE＝CD﹣DE＝5﹣2＝3． 五、根据三角形中位线定理求边长 1.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，F是对角线AC的中点，如果EF＝6，那么AD的长是（       ） A.24 B.18 C.12 D.6 【答案】C 【解析】∵E是边AB的中点， ∴AE=BE， ∵点F是BD的中点， ∴BF=DF， ∴EF是△ABD的中位线， ∵EF=5， ∴AD=2EF=12． 故选C． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC中点，若CD=5则EF的长为（　　） A.4 B.5 C.6 D.10 【答案】B 【解析】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴CDAB， 又∵EF是△ABC的中位线， ∴AB=2CD=2×5=10cm， ∴EF10=5cm． 故选：B． 3.如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A. B. C. D.无法确定 【答案】B 【解析】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 4.在中，E，D分别是边上的中点，连接，F是上一点，连接，已知，，，则           . 【答案】6 【解析】解：在中，点E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵E，D分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：6． 5.如图，在中，E是边的中点，过点A作平分线的垂线，垂足为D，连接，若，，则     ． 【答案】4 【解析】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：4． 6.如图所示，在中，于点，若分别为的中点，求的长． 【答案】解： 是等腰直角三角形， ． 又 ． 设，则． ． 又分别为的中点． ． 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是BC的中点，DE＝AD＝3，求AC的长． 【答案】解：∵AB＝AC，点E是BC的中点， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵DE＝AD， ∴∠CAE＝∠DEA， ∴∠DEA＝∠BAE， ∴DE∥AB， ∵点E是BC的中点， ∴点D是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵DE＝3， ∴AB＝6， ∴AC＝6． 六、根据给出的条件判断是否为平行四边形 1.如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A. B. C. D.， 【答案】C 【解析】解：连接，，    ，， 四边形是平行四边形， 连接交于， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故B不符合题意； ，故无法判定四边形是平行四边形，故C符合题意； ，， ， 以下的证明与B相同，故D选项不符合题意； 故答案为：C． 2.□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（    ） A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF 【答案】B 【解析】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意； C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AF//CE， ∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE， ∴AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意， 故选B． 3.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AO＝CO，BO＝DO D.AB＝DC，AD∥BC 【答案】D 【解析】A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 4.下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 　　（填序号）． ①AB＝CD，AD＝BC；②AD＝BC，AD∥BC；③AB＝CD，∠B＝∠D；④OA＝OC，OB＝OD． 【答案】③． 【解析】①∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②∵AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ③AB＝CD，∠B＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意； ④∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 5.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是 　                                  　． 【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【解析】∵将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置， ∴A1B1＝AB，A1B1∥AB， ∴四边形ABB1A1是平行四边形， ∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 6.如图，已知AB∥CD，AC＝4，CD＝3，AD＝BC＝5．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AC＝4，CD＝3，AD＝BC＝5， ∴AC2+CD2＝42+32＝25，AD2＝52＝25， ∴AC2+CD2＝AD2， △ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°， ∴AB3， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD，且AB＝CD， ∴四边形ABCD平行四边形． 7.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠FAE∠BAD，∠FCE∠BCD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠FCE，∠FAE＝∠AEB， ∴∠FCE＝∠AEB， ∴AE∥CF， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形． 七、平行四边形的判定和性质的综合运用 1.如图，AB＝CD＝3，∠A＝75°，∠B＝45°，∠D＝15°，则线段AD的长为（　　） A.4 B.2 C.2 D.2 【答案】C 【解析】过点D作DE∥AB，且DE＝AB，连接CE、BE，如图所示： 则四边形ABED是平行四边形，∠A+∠ADE＝180°， ∴DE＝AB＝3，AD＝BE，∠ABE＝∠ADE＝180°﹣75°＝105°，∠BED＝∠A＝75°， ∵∠ADC＝15°， ∴∠CDE＝90°， ∵AB＝CD， ∴DE＝CD， ∴CECD＝3， ∵∠ABC＝45°， ∴∠CBE＝60°， ∴∠BCD＝135°， ∴∠BCE＝90°， ∴BE2， ∴AD＝BE＝2； 故选：C． 2.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（　　）（提示：可以构造平行四边形） A.2＜AD＜14 B.1＜AD＜7 C.6＜AD＜8 D.12＜AD＜16 【答案】B 【解析】延长AD至点E，使AD＝ED，连接BE、CE． ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∴CE＝AB（平行四边形的对边相等）， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜14， 1＜AD＜7． 故选：B． 3.如图，在正方形中，分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵是正方形， ∴ ∵分别是正方形各边的中点 ∴ ∴，故A正确； ∵且 ∴四边形是平行四边形 ∴，故B正确； ∵ ∴ ∴ 即： 同理得 ∵ ∴ ∴ ∴，故C正确； 由以上推理过程可同理得： 由C得： ∵为的中点， ∴ ∴ 同理得： ∴ ∴，故D错误； 故选：D． 4.如图，AC是▱ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是　     　（只要填写一种情况）． 【答案】AE=CF(答案不唯一) 【解析】需要增加的一个条件是AE＝CF（答案不唯一）；理由如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴GB＝GD，GA＝GC， 若AE＝CF，则AG﹣AE＝CG﹣CF， 即GE＝GF， ∴四边形BEDF为平行四边形， 故答案为：AE＝CF（答案不唯一）． 5.如图，四边形，，，，，点E为中点，则的长为        ． 【答案】13 【解析】解：取的中点F，连接， ∵分别是的中点， ∴． ∵，   ∴． 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴． 中，， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：13 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于E点，DF∥AC，∠DFC＝∠AEB，连接EF． （1）求证：DF＝AE； （2）求证：四边形BCFE是平行四边形． 【答案】证明：（1）∵DF∥AC， ∴∠DFC+∠FCE＝180°， ∵∠DFC＝∠DEC， ∴∠DEC+∠FCE＝180°， ∴CF∥DE， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴DF＝EC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE＝CE， ∴DF＝AE． （2）∵DF＝AE，DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AD＝EF，AD∥EF， ∵AD＝BC，AD∥BC， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 7.如图，已知E、F分别为▱ABCD的对边AD、BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分． 【答案】证明：连接EN、FM， ∵EM⊥AC，FN⊥AC， ∴∠AME＝∠EMN＝∠FNC＝∠FNM＝90°， ∴EM∥FN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAM＝∠FCN， ∵DE＝BF， ∴AE＝CF， 在△AEM和△CFN中 ∴△AEM≌△CFN（AAS）， ∴EM＝FN， ∵EM∥FN， ∴四边形EMFN是平行四边形， ∴EF与MN互相平分． 八、两平行线之间的距离 1.如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（      ）    A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.先减小后增大 D.不变 【答案】D 【解析】解：连接，   点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 点是第一象限内直线上的一个动点， 两直线平行， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 2.如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，则直线AB与CD的距离是（　　） A.CD的长 B.BC的长 C.CE的长 D.CF的长 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵CE⊥AB于点E， ∴直线AB与CD的距离是CE的长， 故选：C． 3.如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值， 此时，AD=CD，∠ABC=90°， ∴BD=AD=BD=AC=2， ∴BD的最小值为2． 故选：A． 4.如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为 　 　． 【答案】6cm 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 在△ABD和△BCD中 ∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm， ∴S△ABDBD•AE8×3＝12（cm2）， ∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2， 设AD与BC之间的距离为h， ∵BC＝4cm， ∴S四边形ABCD＝BC•h＝4h， ∴4h＝24， 解得h＝6cm， 故答案为：6cm． 5.如图，在▱ABCD中，BC，∠A＝45°，AB与CD的距离为 　 　． 【答案】1． 【解析】过点D作DF⊥AB于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵∠A＝45°，DF⊥AB， ∴DF＝AF1， 故答案为：1． 6.如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，求到的距离． 【答案】解：作，垂足为F， ∵， ∴， 在中，； 又∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； ∴， ∵ ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 即到的距离是． 7.如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6， （1）求BD的长； （2）求两平行线AD与BC之间距离． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝COAC＝3， ∵AB⊥AC，AB＝4， ∴BO5， ∴BD＝2BO＝10； （2）设两平行线AD与BC之间距离为h， ∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6， ∴BC2， ∵S△ABCAB•ACBC•h， ∴h， 故两平行线AD与BC之间距离为． 九、坐标系中的平行四边形 1.在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（　　） A.（﹣1，4） B.（﹣1，﹣4） C.（﹣2，0） D.（1，0） 【答案】C 【解析】若以AB为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4， ∴D（﹣1，4） 若以BC为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4， ∴D（﹣1，﹣4） 若以AC为对角线，B，D关于y轴对称， ∴D（1，0） 故选：C． 2.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，3），（﹣4，﹣1），（3，3），要在第四象限内找到一点C，使四边形ABCD是平行四边形，则点C的坐标是（　　） A.（2，﹣1） B.（1，﹣2） C.（1，﹣1） D.（2，﹣2） 【答案】C 【解析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得C（1，﹣1）， 故选：C． 3.在平面直角坐标系中，以A（1，1），B（3，0），C（﹣1，0）为顶点构造平行四边形，下列各点不能作为平行四边形顶点的是（　　） A.（5，1） B.（0，﹣2） C.（﹣3，1） D.（1，﹣1） 【答案】B 【解析】如图所示： ①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（﹣3，1）； ②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（5，1）； ③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（1，﹣1）； 故选：B． 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标是　            　． 【答案】（1，1）． 【解析】∵A（，0）， ∴OA， ∵四边形OADB是平行四边形， ∴BD＝OA，BD∥OA， ∵B（1，1）， ∴D（1，1）， 故答案为：（1，1）． 5.平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，1），若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 　                             　． 【答案】（0，2）或（4，0）或（﹣2，0）． 【解析】分三种情况： ①BC为对角线时，点D的坐标为（0，2）， ②AB为对角线时，点D的坐标为（4，0）， ③AC为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）， 综上所述，点D的坐标为（0，2）或（4，0）或（﹣2，0）， 故答案为：（0，2）或（4，0）或（﹣2，0）． 6.四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置，如图所示，已知A（﹣2，﹣3），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣1，0），求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：作AE⊥x轴于E，作CF⊥x轴，BF⊥CF交点为F；如图所示： ∵A（﹣2，﹣3），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣1，0）， ∴AE＝3，DE＝1，BF＝1，CF＝3， 根据勾股定理得：AD，BC， 同理可得：CD，AB， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 7.四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒 （1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？ （2）当t为何值时，△AQP是以AQ为底边的等腰三角形？ 【答案】解：（1）如图1：由题意得：CP＝2t，AQ＝3t，则PB＝6﹣2t， 当PB＝AQ时，四边形ABPQ为平行四边形， 故6﹣2t＝3t， 解得：t， 答：t为四边形ABPQ为平行四边形； （2）过P作PD⊥AO，过Q作QF⊥BC， ∵△AQP是以AQ为底边的等腰三角形， ∴DQ＝ADQA， ∵AQ＝3t， ∴DQ＝1.5t，QO＝8﹣3t， ∵CP＝2t， ∴FP＝2t﹣（8﹣3t）＝5t﹣8， ∴5t﹣8＝1.5t， 解得：t． 十、根据三角形中位线定理求面积 1.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝DB，且AC⊥BD，点E、F分别为边AD、BC中点，连接EF．若EF＝4，则四边形ABCD的面积为（　　） A. B.16 C.32 D. 【答案】B 【解析】作AB的中点G，连接EG，FG， ∵点E、F分别为边AD、BC中点， ∴，， ∵AC＝DB，且AC⊥BD， ∴EG＝FG，∠EGF＝90°， ∴△EGF是等腰直角三角形， ∵EF＝4， ∴EG2+FG2＝EF2， 解得：， ∴， ∵四边形ABCD的面积：． 故选：B． 2.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是（　　） A.20 B.25 C.30 D.35 【答案】C 【解析】∵点D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，AD＝DB， ∴BC＝2DE＝2×5＝10， 在△AFD和△BGD中， ， ∴△AFD≌△BGD（AAS）， ∴BG＝AF＝3， ∴长方形BCHG的面积为：3×10＝30， ∴△ABC的面积是30， 故选：C． 3.如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　） A.2：1 B.3：2 C.5：3 D.3：1 【答案】D 【解析】∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EFBC， ∵OE＝2OF， ∴OEBCBC， 设点A到BC的距离为h， 则S△ABCBC•h，S△AOCOE•hBC•hBC•h， ∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1． 故选：D． 4.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是△ABC的中位线，BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB，与DE交于点F，G（点G在点F的左侧），若GF＝1，BC＝6，则△ABC的面积是 　　． 【答案】7． 【解析】∵DE是△ABC的中位线，BC＝6， ∴DEBC＝3，DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠BCG， ∵BF，CG分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠BCG， ∴∠DFB＝∠DBF，∠EGC＝∠ECG， ∴BD＝DF，CE＝EG， ∵DE＝3，GF＝1， ∴BD+CE＝DF+EG＝4， ∵DE是△ABC的中位线， ∴AB+AC＝8， 在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2＝36， ∴2AB•AC＝（AB+AC）2﹣（AB2+AC2）＝64﹣36＝28， ∴S△ABCAB•AC＝7， 故答案为：7． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为    　． 【答案】8 【解析】∵D、E分别为AC、BC的中点， 即DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DEAB， ∴AB＝2DE，DF∥AB， 又∵BF∥AC， ∴BF∥AD， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∵AB⊥BE， ∴S平行四边形ABFD＝AB•BE， ∵DE＝2， ∴AB＝2×2＝4， 在Rt△ABC中， ∵∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝2×4＝8， ∴BC4， ∴BEBC＝2， ∴S平行四边形ABFD＝4×28， 故答案为8． 6.在▱ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO． (1)判断四边形AMCN的形状，并加以证明； (2)当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明； (3)在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积． 【答案】（1）解：∵四边形AMCN是平行四边形，理由如下： ∵点O为AC的中点 ∴OA=OC， ∵MO=NO， ∴四边形AMCN是平行四边形． （2）解：当点M为CE中点时，AC和MN之间的位置关系为AC⊥MN，证明如下： ∵M为CE的中点，点O为AC的中点 ∴OM为△ACE的中位线 ∴OMAB ∵AB⊥AC ∴OM⊥AC，即AC⊥MN． （3）解：∵AB⊥AC ∴∠BAC=90° ∵∠B=60° ∴∠ACB=90°-60°=30° ∵AB=4 ∴BC=2AB=8 ∴ ∵点E为AB中点 ∴AE=AB=2 ∵OM为△ACE的中位线 ∴OM=AE=1 ∵OM⊥AC ∴ ∴ ∴四边形AMCN的面积为． 7.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 【答案】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DHDC， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝22． 学科网（北京）股份有限公司 $$