2.3 用公式法求解一元二次方程 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 1 学习目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程. 会用公式法解一元二次方程.（重点） 会用根的判别式b2- 4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．（难点） 2 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 目录 CONTENTS 问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？ 01 基本步骤如下： 将二次项系数化为1. 将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项. 两边都加上一次项系数一半的平方. 直接用开平方法求出它的解. 02 3 做一做：你能用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 吗? 一元二次方程求根公式的推导过程 一 解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 . 配方，得 x2 + x +（ ）2 -（ ）2 - = 0, 移项，得 （x + ）2 = 问题1：接下来能用直接开平方解吗？ 4 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ （x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 . 当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根). 当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得 x + = x = 5 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时， 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解. 归纳 6 用公式法解一元二次方程 二 例1：解方程 （1）x2 - 7x –18 = 0. 解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18. ∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0, ∴ 即 x1 = 9 x2 = -2. 典例精析 7 （2）4x2 + 1 = 4x 解：将原方程化为一般形式,得 4x2 -4x + 1 = 0 . 这里a = 4 , b = -4, c = 1. ∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 , ∴ 即 x1 = x2 = 8 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 例2 解方程：4x2-3x+2=0 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根. 解： 9 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 要点归纳 公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 10 问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？ 用判别式判断一元二次方程的根 三 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示. 11 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 不解方程判别下列方程的根的情况. (1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0; (3)9x2 + 12x + 4 = 0. 解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 , ∴有两个不相等的实数根. (2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 , ∴无的实数根. (3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0, ∴有两个相等的实数根. 练一练 12 3、判别根的情况，得出结论. 1、化为一般式，确定a,b,c的值. 要点归纳 根的判别式使用方法 2、计算 的值，确定 的符号. 13 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 例3 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，所以有 ∴ k＜5且k≠1 故选B. B 14 1.解方程：x2 +7x – 18 = 0. 解：这里 a=1, b= 7, c= -18. ∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0, 即 x1 = -9, x2 = 2 . 15 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. ∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0, ∴原方程没有实数根. 16 3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . ∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 , ∴ 即 x1= x2= 17 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 4.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况. 解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0. 所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0. 所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根. 这里a=5,b=-8,c=1， 18 能力提升： 在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13. 19 考试中经常考查学生对函数奇偶性的掌握程度，特别是优化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解递推数列有助于学生更好地总结。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。分式加减与分式加减之间存在密切联系，都需要优化的技能。 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 20 $$