第06讲 用公式法求解一元二次方程 （知识清单+3大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第06讲 用公式法求解一元二次方程 （知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 题型三 公式法解一元二次方程 知识清单 知识点1．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 题型方法 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故该一元二次方程有实数根，不符合题意； B、，故该一元二次方程有实数根，不符合题意； C、，故该一元二次方程有实数根，不符合题意； D、，故该一元二次方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）对于实数m、n定义运算“☆”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算法则列出方程，再由根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则 ；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为 ． 【答案】 或3 【知识点】整式四则混合运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据概率公式计算概率 【分析】第一空：根据题意建立关于的式子，消去，得到关于的一元二次方程求解即可； 第二空：同上思路，得到关于和的式子，进而可以看成关于的一元二次方程有两个正根问题，再将代入验证即可． 【详解】解：第一空：∵， ∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∵， ∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，或； 第二空：同理（1）思路可得 矩形的周长为，矩形的面积为， ∵， ∴矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴，， ∴可以把和看成一元二次方程的两个正根， ∴， 整理得， ∵（均为正整数）， ∴，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴共有组，符合题意的有组， 矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为， 故答案为：或；． 【点睛】本题主要考查新定义，整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，概率的计算，理解新定义的计算，整式的混合运算法则，根的判别式的计算，概率的计算方法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 【题型二】根据一元二次方程根的情况求参数 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，解得，，再利用方程有两个相等的正实数解，所以，则．利用新定义得到，然后整理后利用因式分解得到，从而得到的值． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得，， 当时方程有两个相等的负实数解， ∴， ∵， ∴， 整理得， ， 而， ∴， 即． 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据题意正确找出等量关系列式计算是解决本题的关键． 根据“百位数字使得一元二次方程有实数根”，得到列出关于的不等式，解之得到的取值范围，根据“各位数字之和大于小于得出各位数字之和为或，集合“勤劳数”的定义，分情况讨论可能的数，从而得到对应的“勤劳数”． 【详解】解：根据题意得：， 解得： ∵各位数字之和大于小于， 或， 又∵， (舍去)或， 若则，该数为， 若则，该数为， 答： 这个“勤劳数” 432或630， 满足条件的所有“勤劳数”的和是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)23 (2)且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元二次方程根的判别式和定义，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的四则混合运算即可得； （2）先根据新运算的定义可得一个关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式和定义求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵关于的方程有两个实数根，即关于的方程有两个实数根， ∴这个方程根的判别式，且， 解得且． 【题型三】公式法解一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可以分别为：， ∴该一元二次方程是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理即可得到直角三角形斜边的长． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得或， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 3．（九年级上·辽宁锦州·期中）按要求解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解方程，是解题的关键： （1）移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方求解即可； （2）利用公式法进行求解即可。 【详解】（1）解： ， ∴， ∴； （2） ∴， ∴， ∴， ∴. 好题必刷 一、单选题 1．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0 【答案】A 【分析】先求出△的值，再比较出其与0的大小即可求解． 【详解】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意； B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意； C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意； D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键． 2．一元二次方程（x+1）（x-2）=-3x-3的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案． 【详解】解：化为一般形式为， 其中，， ， ， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键． 3．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣8＝0 B．2x2﹣4x+3＝0 C．9x2﹣6x+1＝0 D．5x+2＝3x2 【答案】C 【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的根的判别式，进而作出判断． 【详解】A、x2﹣8＝0，△＝32＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误； B、2x2﹣4x+3＝0，△＝42﹣4×2×3＝﹣8＜0，方程没有实数根，此选项错误； C、9x2﹣6x+1＝0，△＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项正确； D、5x+2＝3x2＝，△（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0，方程有两个不相等的实数根，此选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 4．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根， ∴a≠0，且∆=（-2）2-4a×1≥0， 解得：a≤1且a≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当∆≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 5．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 6．关于x的方程mx2﹣4x+4=0有解，则m的取值为（ ） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0 【答案】B 【详解】试题分析：m=0时是一元一次方程，一定有实根； m≠0时，方程有两个实数根，则根的判别式△≥0，建立关于m的不等式，求得m的取值范围． 解：①当m=0时，方程为一元一次方程，一定有解； ②当m≠0时，方程为一元二次方程， ∵a=m，b=﹣4，c=4且方程有实数根， ∴△=b2﹣4ac=16﹣16m≥0， ∴m≤1， ∴m≤1且m≠0． 综上所述，关于x的方程mx2﹣4x+4=0有解，则m的取值为m≤1． 故选B． 考点：根的判别式；一元一次方程的解． 7．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）． ∵a，b，c分别是三角形的三边， ∴a+b＞c． ∴c+a+b＞0，c-a-b＜0， ∴△＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解． 8．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（  ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】C 【分析】求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：-3x2+5x-1=0， b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13， x= 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键． 9．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为（    ）． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 【答案】D 【分析】讨论：当m=5，原方程变形为-14x+5=0，一元一次方程有一个实数根；当m＞4且m≠5时，计算△得到△=4（m+2）2-4（m-5）•m=36m+16，得到△＞0，根据根的判别式得到方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：当m=5，原方程变形为-14x+5=0，解得x=； 当m＞4且m≠5时， △=4（m+2）2-4（m-5）•m=36m+16， ∵m＞4， ∴△＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴当m=5时，原方程有一个实数根；当m＞4且m≠5时，方程有两个不相等的实数根． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 10．要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的情况得到且解得：且，再把分式方程化简求值得：，因为解为非负数，且即且，所以且，即可得出满足题意的整数解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根 则 且 关于x的分式方程 去分母得： 解得： 分式方程的解为非负数 且即且 且 满足题意的整数的值为 故答案为：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点． 二、填空题 11．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 ． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的求根公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴x为一元二次方程的一个根， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式为． 12．若关于x的方程(x﹣1)2+m＝0有解，则m的取值范围 ． 【答案】m≤ 0 【分析】由已知方程的得出（x-1）2=-m，由方程有实数根得出（x-1）2=-m≥0，从而得出答案． 【详解】解：∵（x-1）2+m=0， ∴（x-1）2=-m， ∵关于x的方程（x-1）2+m=0有解， ∴（x-1）2=-m≥0， 则m≤0， 故答案为：m≤0． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 13．请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a， ∵要使原方程有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴满足题意的常数可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 14．已知关于的方程（为实数）有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且，计算即可． 【详解】∵一元二次方程有两个实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 15．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求写出两不等式的公共部分即可． 【详解】∵，，， 根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．注意二次项系数不为0的隐含条件． 16．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于 ． 【答案】 【详解】分析：先根据根的判别式得到a-1=，把原式变形为，然后代入即可得出结果. 详解：由题意得：△= ，∴ ，∴，即a(a-1)=1, ∴a-1=, 故答案为-3. 点睛：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²-4ac：当△>0, 方程有两个不相等的实数根；当△<0, 方程没有实数根；当△=0，方程有两个,相等的实数根，也考查了一元二次方程的定义. 17．若方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ，的值等于 ． 【答案】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，可得不等式：＞ 求解的范围，再化简（而）即可得到答案. 【详解】解： 方程有两个不相等的实数根， ＞ 解得： 故答案为：， 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，二次根式的化简，掌握利用根的判别式求解方程中未知系数的值的范围是解题的关键. 18．将方程化成一般形式为 ， ，用求根公式求得 ， ． 【答案】 121 1 【分析】方程整理后，化为一般形式，求出根的判别式的值，即可求出方程的根． 【详解】化简方程，得， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用根的判别式进行求解. 三、解答题 19．当取何值时，方程 是关于的一元二次方程？并求出此方程的解． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．因而m2+1=2且m+1≠0，即可求得m的值，求得方程，进而求出方程的解． 【详解】解：由题意得且， 解得， ∴原方程是， 解得. 故答案为. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 20．用公式法解下列方程： （1）；      （2）； （3）；      （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）没有实数根． 【分析】先把各方程整理成一般形式，然后计算，再用求根公式计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴ ， ∴ ， 即：； （2）解：， ∵， ∴ ， ∴ ， 即：； （3）解：， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴； （4）， ∵， ∴ ， ∴此方程没有实数根． 【点睛】本题考查求根公式法解一元二次方程，比较基础． 21．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 所以，原方程的解为， （2）解：，， ∴ ∴原方程的解为，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活选用方法和准确计算是本题的关键． 22．用合适的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用配方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ． ∴， ∴． ，． （2）， ，，． ． ． ，． 【点睛】题目主要考查利用配方法及公式法求解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键． 23．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围． 【答案】2≤b≤6 【分析】求出△，化简，根据对于任意a值，方程永远有实数解得关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，解不等式即可得出答案. 【详解】解：Δ=（a-8）2-4（12-2b）≥0， 即a2+4a（b-4）+16≥0． 因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0． 所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零， 即[4（b-4）]2-4×16≤0， 即有b2-8b+12≤0， 解之2≤b≤6． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 24．用适当的方法解下列方程： （1）x（2-x）=x2-2 （2）（x-1）（x-3）=8． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先将原方程整理为，然后再运用公式法求解即可； （2）先将原方程变形为：，再用配方法求解即可. 【详解】（1）， 整理得：， ， ∴， ∴，； （2）原方程变形为： ∴，． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解答此题的关键. 25．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值． 【答案】4 【分析】根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得出，再代入要求的式子，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， ， ． 【点睛】本题考查了解方程和根的判别式，用到的知识点是因式分解法、根的判别式、约分，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根． 26．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为整数且，a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）且；（2）2 【分析】（1）由一元二次方程的定义知，二次项系数不为0，即m2﹣m≠0；然后根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式确定m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0，得到关于a的一元二次方程，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得，m＞0，且m≠1； ∴m的取值范围是：m＞0，且m≠1； （2）∵m为整数，m＜3，由（1）知，m＞0，且m≠1； ∴m＝2， ∴关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0的就是：2x2﹣4x+1＝0； ∵a是方程的一个根， ∴2a2﹣4a+1＝0，即2a2＝4a﹣1； ∴＝， 即＝2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式．解答此题的关键根据（1）与（2）的m的取值范围来确定整数m的值，利用整体代入方法求值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 用公式法求解一元二次方程 （知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 题型三 公式法解一元二次方程 知识清单 知识点1．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点2．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 题型方法 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列一元二次方程中，无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）对于实数m、n定义运算“☆”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则 ；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为 ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【题型二】根据一元二次方程根的情况求参数 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义新运算：．若方程有两个相等正实数根，且（其中），则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 2．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）我们规定：对于任意实数、、、有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值． (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【题型三】公式法解一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）一个直角三角形的两条直角边的长，是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长为 ． 3．（九年级上·辽宁锦州·期中）按要求解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 好题必刷 一、单选题 1．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0 2．一元二次方程（x+1）（x-2）=-3x-3的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣8＝0 B．2x2﹣4x+3＝0 C．9x2﹣6x+1＝0 D．5x+2＝3x2 4．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．关于x的方程mx2﹣4x+4=0有解，则m的取值为（ ） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0 7．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 8．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（  ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 9．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为（    ）． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 10．要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 二、填空题 11．已知（b2－4c≥0），则 x2＋bx＋c的值为 ． 12．若关于x的方程(x﹣1)2+m＝0有解，则m的取值范围 ． 13．请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根． 14．已知关于的方程（为实数）有两个实数根，则的取值范围是 ． 15．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 16．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于 ． 17．若方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ，的值等于 ． 18．将方程化成一般形式为 ， ，用求根公式求得 ， ． 三、解答题 19．当取何值时，方程 是关于的一元二次方程？并求出此方程的解． 20．用公式法解下列方程： （1）；      （2）； （3）；      （4）． 21．解方程： (1)； (2)． 22．用合适的方法解下列方程． (1)； (2)． 23．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围． 24．用适当的方法解下列方程： （1）x（2-x）=x2-2 （2）（x-1）（x-3）=8． 25．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值． 26．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为整数且，a是方程的一个根，求代数式的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$