2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课后练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

九年级数学课后练习卷 第二章 一元二次方程 4.用因式分解法求解一元二次方程 考试时间:60分钟 满分100分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．一元二次方程x（x﹣3）＝0的解为（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝x2＝3 D．x1＝0，x2＝3 2．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程x2﹣12x+32＝0的根，则该三角形的形状为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 3．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 4．方程x（x+2）＝3（x+2）的根是（Δ）（　　） A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝2 5．已知一元二次方程（x+3）（x+k）＝0有一个根是2，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 6．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4，max{﹣2，﹣4）＝﹣2等等；按照这个规定，若max{﹣1，5}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或﹣2 C．5或3 D．3或0 7．若Rt△ABC的两边长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则Rt△ABC的斜边长为（　　） A．6 B．或 C．6或 D．6或 8．用因式分解法解一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0，将它转化为两个一元一次方程是（　　） A．x+3＝1，x﹣1＝0 B．x+3＝0，x﹣1＝1 C．x+3＝0，x﹣1＝0 D．x﹣3＝0，x+1＝0 9．已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣m）＝0与（x﹣2m）2＝c的解完全相同，则常数c的值为（　　） A． B． C．1 D．4 10．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程（x﹣6）（x﹣10）＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24或 B．24 C． D．或24 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．方程x2＝x的解是 　 　 ． 12．一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣17x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是　 　 ． 13．若代数式x2+4的值与﹣5x的值相等，则x＝　 　 ． 14．如果一元二次方程x（x﹣8）＝4（x﹣8）的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为　 　 ． 15．若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．解方程： （1）（2x﹣3）2＝49； （2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 17．解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）2x2﹣5x+2＝0； （3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 18．小李与小王两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如下框： 小李： 解：两边同除以（x﹣2），得 2＝x﹣2， 则x＝4． 小王： 解：移项，得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 提取公因式，得（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0． 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0， 解得x1＝2，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 19．材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），例如： ①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）； ②x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）； 材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2， 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣x﹣2分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）+4； ②分解因式：（m+n）（m+n﹣6）+5． 20．下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：x（x+4）＝6． 小颖同学的解法：将原方程变形，得（x+0）（x+4）＝6， 再变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6， 所以，（x+2）2﹣22＝6， 所以，（x+2）2＝6+22， 所以，（x+2）2＝10， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）（x+2）（x+6）＝5； （2）（x﹣3）（x+1）＝12． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于x的方程（x+a）（x+b）＝c（a，b，c是常数）时，可将其变形为[（x+m）﹣n][（x+m）+n]＝c（m，n也是常数），则m＝　 　 ，n＝　 　 ．（用含a，b的式子表示m，n） 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C B B C C B D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x1＝0，x2＝1.. 12．20或27． 13．﹣1，﹣4． 14．20． 15．或10． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．解：（1）∵（2x﹣3）2＝49， ∴2x﹣3＝±7， 解得x1＝5，x2＝﹣2； （2）∵（x﹣1）2＝2（x﹣1）， ∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝3． 17．解：（1）（x+1）2﹣4＝0， （x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （2）2x2﹣5x+2＝0， （2x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1，x2＝2； （3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+2x）＝0， ∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0， ∴x1＝3，x2＝1． 18．解：两个都错：×；× 2（x﹣2）＝（x﹣2）2， 2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， （x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0， （x﹣2）（4﹣x）＝0， x1＝2，x2＝4． 19．解：（1）x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）； （2）①（x﹣y）2+5（x﹣y）+4 ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣1）； ②（m+n）（m+n﹣6）+5 ＝（m+n）2﹣6（m+n）+5 ＝（m+n﹣1）（m+n﹣5）． 20．解：（1）将原方程变形，得[（x+4）﹣2][（x+4）+2]＝5， ∴（x+4）2﹣22＝5， ∴（x+4）2＝5+22， ∴（x+4）2＝9， 直接开平方并整理，得x1＝﹣1，x2＝﹣7， ∴原方程的解为x1＝﹣1，x2＝﹣7； （2）将原方程变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝12， ∴（x﹣1）2﹣22＝12， ∴（x﹣1）2＝12+22， ∴（x﹣1）2＝16， 直接开平方并整理，得x1＝5，x2＝﹣3， ∴原方程的解为x1＝5，x2＝﹣3； （3）∵（x+a）（x+b）＝c可将其变形为[（x+m）﹣n][（x+m）+n]＝c， ∴， ∴， 故答案为：，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$