小题限时卷01（专项训练，ABC三组提分卷）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

小题限时卷01（A组+B组+C组） （模式：12+4 满分：72分 限时：40分钟） 一、填空题 1．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】集合，，则. 故答案为：. 2．复数的虚部是 ． 【答案】 【详解】， 故复数的虚部是. 故答案为： 3． 的解集为 ，则 的解集为 ． 【答案】 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 4．在的二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有 个． 【答案】 【详解】的展开式通项为， 令，解得，因为，故， 所以的幂指数是正数的项一共有个. 故答案为：. 5．已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是 . 【答案】 【详解】设事件A表示：在所取的球中至少有一个是红球，事件B表示：两个球都是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故答案为：. 6．已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为 . 【答案】 【详解】过作于，则， 因为平面，所以平面， 在中，， 可得， 从而棱台的高， 所以四棱台的体积为： 故答案为：. 7．已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 【答案】 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. 8．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】1 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 9．已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 【答案】 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，则时，， 所以， 作出函数图像如下图所示： 由图像可知：函数值域为. 故答案为： 10．在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为 【答案】 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时， 故答案为：. 11．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 【答案】 【详解】由对称性可知，直线与轴的夹角相等， 又，所以直线的倾斜角为，故斜率为， 由点斜式得方程为，即. 故答案为： 12．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为点在直线上，所以，所以， 所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以， 当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足， 所以满足条件的和，因为， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 二、单选题 13．“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 14．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【详解】对于正三棱柱，且，， 则在上运动， 所以到平面、平面、平面的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C不符合条件， 由，平面，平面，则//平面， 所以P到平面的距离为定值，且底面的面积是定值， 所以三棱锥的体积为定值，D符合， 故选：D 15．研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 【答案】C 【详解】设变量x，y的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 则， ， ， 则相关系数. 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故A，B错误； 对于C，因为，所以不变， 且线性回归方程过样本中心点，即，均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变，所以拟合误差Q不变，故D错误. 故选：C. 16．已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 一、填空题 1．已知集合，，则 . 【答案】 【详解】由题意得，因为，，所以， 故答案为. 2．不等式的解集为 ． 【答案】或. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 3．已知为虚数单位，则 . 【答案】 【详解】，故. 故答案为：. 4．在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为 【答案】 【详解】由题意可知，解得， 由的二项展开式的通项为， 则含有项的系数为. 故答案为：. 5．若成等比数列，则实数 . 【答案】 【详解】由等比数列的性质可知，， ， 得. 故答案为： 6．已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为 . 【答案】 【详解】由，斜边为,则, 由此可以得到底面的半径为， 故侧面积. 故答案为：. 7．甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为 . 【答案】 【详解】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件， 则，所以. 故答案为：. 8．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 【答案】 【详解】． 故答案为: . 9．已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】设所求方程为，由题意，， ，所以， 故所求双曲线的方程为，则的渐近线方程为. 故答案为：. 10．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 【答案】 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，直线l的普通方程为：，设点， 于是得点P到直线l的距离，当且仅当时取等号， 所以当时，点P到直线l的距离的最小值为. 故答案为： 12．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有 项. 【答案】89 【详解】由题意得数列要想项数最少，需要各项最大； 又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1， 所以需要数列前面递增，后面对称递减， 又各项之和是2021，中间可能存在相等的项， 设除去相等项后的各项为， 令各项和 ，得， 当为44时，项数为项，， 将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项， 故这个数列至少有项， 故答案为：89 二、单选题 13．已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与的夹角为，由，则， 由，则. 故选：B. 14．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①②，由题意可得，，则新的样本中为，故①错误，②正确； 对于③，将代入回归直线，可得，解得，故③正确； 对于④，根据样本估计总体及最小乘法原理，利用组数据所得经验回归程是与样本点“距离”平方和最小的直线方程，故④错误. 故选：C. 15．设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 16．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（   ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 【答案】C 【详解】由题意得，因为，所以， 由正弦定理可得，，所以， 所以. 因为，所以， 设，则， 由得， 所以在上递减，在上递增， 又，所以， 所以无解，A错误； 若，则，与锐角相矛盾，B错误；由得C正确，D错误. 故选：C. 一、填空题 1．已知集合，则 . 【答案】 【详解】因为集合， 所以， 故答案为： 2．复数，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 3．不等式的解集是 . 【答案】 【详解】，即，，等价转化为，解得. 故答案为： 4．已知x、y都是正数，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：令，那么 当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 5．设，若函数为奇函数，则 . 【答案】 【详解】由可得，又因为为奇函数， 由定义域关于原点对称，可知， 即当时，无意义，即，解得， 又，可得，所以， 故经检验满足题意，所以. 故答案为：. 6．已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得， 由，则，代入上式可得， 去分母可得，易知， 可得，分解因式可得， 易知，解得或， 当时，，则，单调递减，不合题意. 故答案为：. 7．假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 【答案】0.4772 【详解】小明的数学成绩 服从正态分布 ，即均值 ，标准差 . 需要求成绩在 120 分至 130 分之间的概率 . 由于正态分布的性质，将 标准化为标准正态分布变量 ： 当 时，,当 时，, 因此，，其中 服从标准正态分布. 给定标准正态分布的累积分布函数值：，，,需要计算 . 由于标准正态分布关于均值对称，,代入已知值： 结果精确到 0.0001，因此概率为 0.4772, 故答案为：0.4772. 8．设的三边a，b，c满足，且，则此三角形最长的边长为 ． 【答案】 【详解】由，得边最长， 不妨设， 则， 又，所以， 则，解得， 所以三角形最长的边长为. 故答案为：. 9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的内切球与外接球体积之比为 【答案】 【详解】点、、、恰为棱长为的正方体的四个点， 该四点构成了一个棱长为的正四面体（如图所示）.    设该正四面体的内切球和外接球半径分别为、，体积分别为、， 则该正四面体的外接球也是正方体的外接球， 则，即. 由图可得该四面体的体积为： ， 又， 所以，解得， 则，. 故答案为：. 10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】. 【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支， 由，得，即恒成立， ∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°， ∴其中一条渐近线的斜率， ∴a≥1， 所以实数a的取值范围为． 故答案为：[1，+∞）． 11．已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【详解】依题意， 即， 整理得，所以， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， ， ，由得， 由于，所以，， 所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 12．设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】以A为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，，与的夹角为， ， 由于，故， 所以， 因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上， 设， 则，， 得， 所以当，即时，最大，最大值为， 此时，则． 故答案为：． 二、单选题 13．已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 14．平面直角坐标系中有两点和.以为圆心，正整数为半径的圆记为.以为圆心，正整数为半径的圆记为.对于正整数，，点是圆与圆的交点，且都位于第二象限，则这5个点都位于（   ）上. A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【详解】 因为圆以为圆心，正整数为半径，圆以为圆心，正整数为半径， 且点是圆与圆的交点， 所以，， 所以. 由，可得.     因为为定值，，且都位于第二象限， 所以根据双曲线的定义可知，点、、、、都位于双曲线的左支上. 故选：C. 15．如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【答案】B 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 16．已知，，，实数满足，设，，现有如下两个结论： ①对于任意的实数，存在实数，使得； ②存在实数，对于任意的，都有； 则（    ） A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【详解】对①，的几何意义为与两点间的斜率，同理的几何意义为与两点间的斜率. 数形结合可得，当时，存在；当时，存在，使得，即成立. 即对于任意的实数，存在实数，使得，故①正确； 对②，若存在实数，对于任意的，都有，即，即，即.即存在实数，对于任意的，恒成立.设，则，即为减函数.故原题意可转化为：存在实数，使得在上为减函数.因为当时，，因为对称轴为，故当时一定为增函数，故不存在实数，使得在上为减函数.故②错误 故选：C 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 小题限时卷01（A组+B组+C组） （模式：12+4 满分：72分 限时：40分钟） 一、填空题 1．已知集合，，则 ． 2．复数的虚部是 ． 3． 的解集为 ，则 的解集为 ． 4．在的二项展开式中，的幂指数是正数的项一共有 个． 5．已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是 . 6．已知四棱台的侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，，则四棱台的体积为 . 7．已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 8．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 9．已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 10．在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为 11．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 12．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 二、单选题 13．“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是（   ） A．四棱锥 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 15．研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 16．已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 一、填空题 1．已知集合，，则 . 2．不等式的解集为 ． 3．已知为虚数单位，则 . 4．在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为 5．若成等比数列，则实数 . 6．已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为 . 7．甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为 . 8．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 9．已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为 ． 10．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 . 11．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为 ． 12．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有 项. 二、单选题 13．已知，，且、不共线，则的面积为（    ） A． B． C． D． 14．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（    ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A．0 B．1 C．2 D．3 15．设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 16．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（   ） A．存在满足 B．存在锐角满足 C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值 一、填空题 1．已知集合，则 . 2．复数，，则 ． 3．不等式的解集是 . 4．已知x、y都是正数，则的最小值为 ． 5．设，若函数为奇函数，则 . 6．已知等比数列为严格增数列，其前项和为若，，则该数列的公比为 ． 7．假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是 ．（精确到0.0001） 8．设的三边a，b，c满足，且，则此三角形最长的边长为 ． 9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的内切球与外接球体积之比为 10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 ． 11．已知，数列满足.若对任意正实数λ，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为 . 12．设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ． 二、单选题 13．已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．平面直角坐标系中有两点和.以为圆心，正整数为半径的圆记为.以为圆心，正整数为半径的圆记为.对于正整数，，点是圆与圆的交点，且都位于第二象限，则这5个点都位于（   ）上. A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 15．如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 16．已知，，，实数满足，设，，现有如下两个结论： ①对于任意的实数，存在实数，使得； ②存在实数，对于任意的，都有； 则（    ） A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 4 学科网（北京）股份有限公司 $