1.4.2 充要条件 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件 【基础巩固】 1．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，得，所以充分性成立； 由，得，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 2．“”成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 所以是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知，D符合. 故选：D 3．设，则“”的充要条件为（ ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【解析】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 4．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 5．（多选）下列选项中正确的是（ ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【答案】AD 【解析】由“点到圆心的距离大于圆的半径”可得“点在外”，由“点在外” 可得“点到圆心的距离大于圆的半径”，故点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件，故A正确； 由“两个三角形的面积相等”推不出“两个三角形全等”，由“两个三角形全等”可得“两个三角形的面积相等”，所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件，故B错误； 由“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故C错误； 由“或为有理数”推不出“为有理数”，如，，不是有理数；由“为有理数”推不出“或为有理数”，如，此时为有理数，但“或为有理数”不成立.故“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：AD 6．设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有___________ (填序号) 【答案】③ 【解析】由、、，均等价于， 由，等价于， 所以的充要条件的有③. 故答案为：③ 7．已知，，若是的充要条件，则实数___________． 【答案】5 【解析】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 8．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)， 若，则集合， 所以， 则=； (2)∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【能力拓展】 9．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 10．（多选）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（ ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【解析】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 11．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有__________.（填序号） 【答案】①② 【解析】①若，则集合与无重复元素，则， 即是的充分条件， 若，则集合与无重复元素，， 即是的必要条件， 综上所述的充要条件是，①正确； ②若，即集合中所有元素均属于集合，此时， 即，所以是的充分条件， 即是的必要条件， 若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是的充分条件， 综上所述，的必要不充分条件是，②正确； ③若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是⫋的充分条件，③错误； ④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误； 故答案为：①②. 【素养提升】 12．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 【答案】见解析 【解析】(1)设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． (2)“偶数属于”的一个充要条件是为偶数． 充分性：因为为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于． 必要性：因为偶数属于，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 充要条件 【基础巩固】 1．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 3．设，则“”的充要条件为（ ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 4．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）下列选项中正确的是（ ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 6．设全集为，给出下列条件：①；②；③；④.其中是的充要条件的有___________ (填序号) 7．已知，，若是的充要条件，则实数___________． 8．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【能力拓展】 9．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（ ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 11．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有__________.（填序号） 【素养提升】 12．设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于”的一个充要条件并证明． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$