24.2.2 第3课时 切线长定理及内切圆-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(人教版)河北专版

第 二十四章 圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 第3课时 切线长定理 学习目标 1.了解圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. 2.理解三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. 3.运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 学习重难点 掌握切线长的定义及切线长定理. 运用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 难点 重点 导入新知 复习引入 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 知识点1 切线长定理 ① 如图，过圆外一点P有两条直线PA，PB分别与⊙O相切. 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长， 叫做这点到圆的切线长. 思考 O. P A B 4 如图， PA，PB为⊙O的两条切线，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 发现：PA=PB，∠APO=∠BPO 探究 . O P. A B 5 证明： ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点. ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°. ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL). ∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB. 探究 . O P. A B 6 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理 可用来证明线段相等、角相等 几何语言 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB 7 例1 已知：如图，四边形ABCD 的边AB、BC、CD、DA与⊙O 分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC. 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H， ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. · A B C D 8 归纳 1.切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. 2.经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等. 9 归纳 3.如图 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论： (1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP；(3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD； (6)弧AC =弧 BC. 10 知识点2 三角形的内切圆 ② 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切? 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到 三角形的三条边的距离都等于半径.如何找到这个 圆心呢？ 思考 11 (1) 如果半径为r的☉I与△ABC 的三边都相切，那么圆心I 应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I 呢？ （1）圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. （2）圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 探究 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 12 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 探究 N D M 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆. 13 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内切圆 B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 14 三角形的内心 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 15 例2 如图，△ABC 中，∠B =43°，∠C =61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC 的度数. 解：连接IB，IC. ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线， 在△IBC中， A B C I 16 1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形. 2.三角形的内心在三角形的内部. 3.三角形的内切圆的半径是内心到三角形任意一边的垂直距离. 解读 17 随堂演练 1.如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度数是( ) A.70° B.85° C.80° D.100° C 18 2.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm C 19 3.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( ) A.172° B.130° C.133° D.100° C 20 4.如图，AB，BC，CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G， 若∠ BOC=90°，求证：AB ∥ CD． 证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°. 又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线． ∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG. ∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°. ∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°， 即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD. 21 5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID． 22 课堂小结 切线长定理 切线长 定义 定理 内心 定义 三角形的内切圆 画法 23 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 24 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$