24.2.1 点和圆的位置关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 课题 点和圆的位置关系 课型 新授课 教学内容 教材第92-95页的内容（点和圆的位置关系） 教学目标 1.掌握点与圆的三种位置关系，使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系。 2.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，进一步体会解决数学问题的策略． 3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 教学重难点 教学重点：（1）经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． （2）掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． （3）了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。 教学难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆。 教具学具 多媒体课件，教具（三角板等） 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，导入新课 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国获得荣誉。如图是射击靶的示意图，你知道靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 这需要研究点和圆的位置关系。 2.探究互动，获得新知 【探究1】研究点和圆的位置关系，教师不是让学生被动地接受教师讲，而是让学生在练习本上画一个圆．然后提问学生回答这个圆把平面分成几个部分？有的同学说两部分，有的同学说三部分，到底是几个部分呢？教师引导学生相互议论，最后通过学生的充分感知，得到正确的结论．在进一步揭示圆内部分、圆外部分也可以看成是一个集合，让学生通过观察、比较，归纳出： 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合． 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合． 若设圆O的半径为r，点O到圆心的距离为d，当点与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．这时板书下列关系式： 点在圆内d＜r 点在圆上d＝r 点在圆外d＞r 这时教师讲清“”符号的作用. 教师这样做的目的是把点和圆看成是运动变化得到的三种情况，这样便于学生理解． 【探究2】 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索。 1．回忆及思考 （1）线段垂直平分线的性质及作法． （2）作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等． [师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？ [生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定． 2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ [师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答． [生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． [师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 作法 图示 1．连接AB、BC 2．分别作AB、BC的垂直 平分线DE和FG，DE和 FG相交于点O 3．以O为圆心，OA为半径作圆 ⊙O就是所要求作的圆 他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连接AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连接BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件． [师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． 3.学以致用，应用新知 考点1 点和圆的位置关系 【例1】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm. (1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A内；∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上；∵AC＝＝5cm＞4cm，∴点C在⊙A外． (2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外．∴3cm＜r＜5cm. 【例2】如图，点O处有一灯塔，警示⊙O内部为危险区，一渔船误入危险区点P处，该渔船应该按什么方向航行才能尽快离开危险区？试说明理由． 解：渔船应沿着灯塔O过点P的射线OP方向航行才能尽快离开危险区．理由如下：设射线OP交⊙O与点A，过点P任意作一条弦CD，连接OD，在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD＝OA，∴OA－OP＜PD，∴PA＜PD，即渔船沿射线OP方向航行才能尽快离开危险区． 考点2 确定圆的条件 【例3】已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，B，C. 解：(1)连接AB、BC； (2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O就是所求作的⊙O的圆心； (3)以点O为圆心，OC长为半径作圆．则⊙O就是所求作的圆． 考点3 三角形的外接圆与外心 【例4】如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． 解析：由OA＝OB，知∠OAB＝∠OBA＝20°，所以∠AOB＝140°，根据圆周角定理，得∠C＝∠AOB＝70°. 答案：70° 4.随堂训练，巩固新知 1.若⊙O的半径为3 cm，点A到圆心O的距离为2 cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 2.如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连接BO，CO，则若∠BOC的度数是 （　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 3.平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　 　确定一个圆（填“能”或“不能”）． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4．则△ABC外接圆半径R＝　 　． 5．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°； ③假设在△ABC中，∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 　 　．（填序号） 参考答案： 1.B 2.C 3.不能 4． 5.③④①② 5.课堂小结，自我完善 1、掌握点和圆的位置关系，并能进行运用。 2、经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 3、学习了利用点到圆的距离和圆的半径的数量关系判定点和圆的位置关系，会利用圆的定义证明四个点在同一个圆上；学习反证法． 6.布置作业 课本P95练习第1-3题，P101习题24.2第1，7-9题。 从奥运会上射击比赛的射击靶出发，引入点和圆的位置关系。 一个圆把平面上的点分成三类，即圆上的点、圆内的点和圆外的点。 由位置关系可以确定数量关系，同样由数量关系可以确定位置关系。 作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题。 经过三点作圆，关键在于能否找到圆心，使它与这三个点的距离相等。 要提醒学生注意，过三点是否存在一个圆，要看这三点的位置关系。 本节中证明“经过通一条直线上的三个点不能作圆”是通过反证法实现的。 对于反证法，只要让学生结合具体例子了解即可，没有关于反证法的练习、习题的要求。 运用圆内接四边形的对角互补进行计算。 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可圆内接四边形对角互补。 在圆中求圆周角的度数，可以根据圆周角定理找相等的角实现互换，也可以寻找同弧所对的圆周角与圆心角的关系。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 点和圆的位置关系 借助圆的有关概念研究点和圆的位置关系，经过不在同一条直线上的三点作圆，引入圆的内接三角形的概念。 教后反思 教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相离，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$