22.3 第3课时 抛物线形问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

实际问题与二次函数（3）

课型

新授课

教学内容

教材第51页的探究3

教学目标

1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．

2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．

3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．

教学重难点

教学重点：建坐标系解决拱桥问题。

教学难点：建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题。

教具学具

黑板，多媒体

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？

【探究】

      课本第51页探究3

提出问题：

二次函数在拱桥等抛物线型问题中的应用也十分广泛。

(1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？

(2)水面下降1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？

(3)你还有其他的解决方法吗？

学生完成并交流展示．

2.探索新知，归纳知识

1．将线段长度转化为点的坐标问题．

2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．

3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．

3.学以致用，应用新知

【例1】　如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．

解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2.

答案：2

【例2】如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？

引导学生独立完成并交流，教师适时指点。

教师总结，学生体会。

在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．