22.3 第2课时 商品利润最大问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

实际问题与二次函数（2）

课型

新授课

教学内容

教材第50页的探究2

教学目标

1．让学生能够用二次函数知识解决商品最大利润问题。

2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型。

教学重难点

教学重点：用二次函数知识解决商品最大利润问题。

教学难点：建立二次函数模型。

教具学具

黑板，多媒体

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份．

(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？

解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)；

y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)；

(2)由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1200.

∴当印刷1200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数量大于1200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于500小于1200份时，乙印刷厂费用少．

【探究】

      课本第50页探究2

提出问题：

正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛。

(1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？

(2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？

(3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？

(4)由此可知应如何定价才能使利润最大？

学生完成并交流展示．

2.探索新知，归纳知识

1．商品单件利润＝售价－进价．

2．总利润＝单件利润×销售总数量．

3.学以致用，应用新知

【例1】　春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？

解：设油价定为x元/L时获利y元，则y＝(x－4.1)＝－200(x－4.6)2＋50.∵4.1≤x≤4.5，∴当x＝4.5时，y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48，即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元．

【例2】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．

(1)求y2的解析式；

(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

引导学生独立完成并交流，教师适时指点。

某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况。

教师总结，学生体会。

教师引导，学生自主解答。

本例中价格只有上涨一种情况。利用解析式求最大利润。

本例借助函数图象求中最大利润。