22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 课题 二次函数与一元二次方程（1） 课型 新授课 教学内容 教材第43-46页的内容 教学目标 1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。 2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。 3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 教学重难点 教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。 教学难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。 教具学具 黑板，多媒体 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 · 课本第43页问题 【探究1】 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2。 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t－5t2. 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值. 解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0 因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m. （4）解方程 0＝20t－5t2. 得 t1＝0,t2＝4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面。 播放课件：函数的图象，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案. 从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切. 由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？ 例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值. 一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 【探究2】教材P44思考 二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0的图象如下图所示. （1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ 先画出以上二次函数的图象，由图象学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题. 可播放课件：函数的图象，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图象，观察图象，说出函数对应方程的解. 可以看出： （1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1. （2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3. （3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根. 总结：一般地，如果二次函数y=的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根. 2.探索新知，归纳知识 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知， （1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根. 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。 【教材例题】利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）. 解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7. 播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异. 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数与一元二次方程 【例1】下列函数的图象与x只有一个交点的是(　　) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D. 答案:D 考点2 利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解 【例2】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D. 答案:D 考点3 二次函数与一元二次不等式 【例3】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1. 答案：C 4.随堂训练，巩固新知 1.小明画了二次函数y＝2x2+bx+c的图象（如图所示），则关于x的方程2x2+bx+c＝0的解为（　　） A． x1＝﹣3，x2＝1 B．x＝1 C．x＝﹣6 D．x＝﹣8 2.抛物线y＝2x2+4x+7与x轴的公共点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 x 0 0.5 1 1.5 2 y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7 3.根据以下表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2 4.若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点（3，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（　　） A．1＜x＜3 B．x＞3或x＜1 C．﹣1＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣1 参考答案 1.A 2.A 3.B 4.D 5.课堂小结，自我完善 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，渗透数形结合思想。 6.布置作业 课本P47习题22.2第1-6题。 本节探讨二次函数与一元二次方程的联系，应能了解一元二次方程的根的几何意义。 抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况。 几个问题均可以用一元二次方程解决，从函数图象看，就是求直线h=m（m≥0）与抛物线h=20t－5t2的公共点的横坐标。 由于学习过一次函数与一元一次方程的关系，本节课老师可以大致引导，让学生有研究方向，自主参与研究。 可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，当然，由于作图或观察可能存在误区，所以由图象求得的根，一般是近似的。 教师总结，学生体会。 还可以通过不断缩小根的范围来估计一元二次方程的根。 本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解。 抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数与一元二次方程 类比一次函数与一次方程（不等式）的联系，研究二次函数与一元二次方程（不等式）的关系。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系。 学科网（北京）股份有限公司 $$