22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 课题 用待定系数法求二次函数的解析式 课型 新授课 教学内容 教材第39-40页练习的内容 教学目标 1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法． 2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用． 教学重难点 教学重点：用待定系数法求二次函数的解析式。 教学难点：理解待定系数法，并能用来求二次函数的解析式。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.以例代讲，总结方法 · 课本P39探究 提出问题，回顾旧知 在我们学习二次函数之前，我们学习过哪些函数？（学生回答）这些函数的解析式是？（学生回答）我们在前面刚刚学习了二次函数，二次函数的表达式有哪些？（一般式、顶点式、交点式）还记得我们是怎样求一次函数和正比例函数的解析式吗？（用待定系数法求解）如：一直线经过（2,3）和（-4,5）两点，求这个函数的解析式？ （学生做，教师检查） 通过例题讲解让学生熟悉二次函数解析式的求法。 例1、已知一个二次函数的图象过点三点，求这个函数的解析式？ 师板书：根据题意 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 去解这个三元一次方程组得：a=2，b=-3，c=5； 所求二次函数 例2、 已知抛物线的顶点为，与轴交点为求抛物线的解析式？ 师分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x-h)2＋k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是-1，-3)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x+1)2-3 由于二次函数的图象过点(0，-5)，代入所设函数关系式，即可求出a的值。 例3.已知抛物线与轴交于并经过点，求抛物线的解析式？ 师：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为所以应设二次函数y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）再把 代入求a的值。 2.学以致用，应用新知 考点1 设一般式求二次函数的解析式 【例1】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式． 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得：解这个方程组得：∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4. 考点2 设顶点式求二次函数的解析式 【例2】已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，图象顶点是(－2，3)，∴h＝－2，k＝3，依题意得：5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11. 考点3 依据对称轴求二次函数的解析式 【例3】已知二次函数y＝2x2－12x＋5，求该函数图象关于x轴对称的图象的解析式． 分析：关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数． 解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13. 考点4 用待定系数法求二次函数解析式的实际应用 【例4】科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度t/℃ －4 －2 0 1 4 植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃. 解析：设l与t之间的函数关系式为l＝at2＋bt＋c，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：解得∴l＝－t2－2t＋49，即l＝－(t＋1)2＋50，∴当t＝－1时，l的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长． 答案：－1 3.随堂训练，巩固新知 1.已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（　　） A．y＝x²﹣4x+3 B．y＝x²+4x+3 C.y＝x²﹣3x+4 D.y＝x²+3x+4 2.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y=x2-2x+4 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2+2x+1 D．y=x2-2x+1 3.已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的解析式为 　 　． 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=-x2+bx+ c的图象经过点（-3，0）,（3，3），与y轴交于点C． （1）求抛物线C1的解析式； （2）将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为D，求△ODC的面积． 参考答案 1.A 2.A 3.y＝2x2+4x﹣1 4.解：（1）∵y=-x2+bx+c的图象经过点（-3，0），（3，3），∴解得 ∴抛物线C1的解析式为y=-x2+x+. （2）∵y=--x2+x+=-（x-1）2+4， ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4），y轴交于点C（0，）. ∵将抛物线C1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C2， ∴抛物线C2的顶点D的坐标为（-2，2）， ∴△ODC的面积为×2×=． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答：想一想,你的收获是什么？困惑有哪些? 说出来,与同学们分享。 1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法． 2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用． 6.布置作业 课本P40练习，P41习题22.1第10-12题。 类比待定系数法求一次函数解析式，使本节课学习思路更顺畅。 教师出示问题，引导让学生先以小组为单位自学、讨论。 老师提示思路，可以让学生具体操作，锻炼学生会根据题目中不同条件设不同的解析式的能力。 由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.顶点坐标为(h，k)，对称轴方程为x＝h，极值为当x＝h时，y极值＝k来求出相应的数。 y＝a(x－h)2＋k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式为y＝－a(x－h)2－k. 求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解． 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 用待定系数法求二次函数解析式 回顾一次函数的求法，总结待定系数法求二次函数解析式的方法 教后反思 教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$