22.1.4 第1课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

课型

新授课

教学内容

教材第37-39页练习的内容

教学目标

1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。

教学重难点

教学重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。

教学难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.提出问题，引入课题

      提出问题，回顾旧知

1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)

      课本第37页思考

先复习上一节第3课时的内容，使学生能更自然地考虑配方法解决本课时思考问题。

【探究1】探究新知

4．不画出图象，你能直接说出函数y＝x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

5．你能画出函数y＝x2-6x+21的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

可将y＝x2-6x+21配方，得到y=（x-6）2+3，进而得到函数的图象及性质。

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝x2-6x+21=（x-6）2+3的图象，进而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2-6x+21的图象。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝6，以6为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

    (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

【探究2】你能通上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？

2.探索新知，归纳知识

一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c可以通过配方化成y=a（x-h）2+k的形式，即y＝a(x＋)2＋。

对称轴是x＝，顶点坐标是(－，)。

如果a＞0，当x＜时，y随x的增大而减小，当x＞时，y

学生填表、交流，教师指导。

运用关于二次函数y=a（x-h）2+k图象的结论。

学生画图象、老师巡视指导，让一位同学板演，学生自纠，教师点评。

先将所给的函数通过配方写成y=a（x-h）2+k的形式，然后画出所给函数的图象，并由图象得出所给函数随x增大的变化情况。

学生尝试总结，老师适当补充和引导。

随x的增大而增大；

如果a＜0，当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小。

3.学以致用，应用新知

考点1  二次函数与的关系

【例1】二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　）

A．y＝（x﹣1）2+2   B．y＝（x﹣1）2+3 

C．y＝（x﹣2）2+2   D．y＝（x﹣2）2+4

答案：B

考点2    二次函数的图象和性质

【例2】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是(　　)

A．a＞1                B．－1＜a≤1

C．a＞0                D．－1＜a＜2

解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.

答案：B

【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是(　　)

解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞

抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降。

多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合