22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质

课型

新授课

教学内容

教材第35例3-37页练习的内容

教学目标

1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。

教学重难点

教学重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。

教学难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.提出问题，引入课题

      课本第35页

【探究1】提出问题

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

 (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)

2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?

 (函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)

3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

师生活动：

你能填写下表吗?

先复习上两个课时内容，更顺畅、容易探究本课时内容。

 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?

 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

你能说出抛物线y=a（x-h）2+k的特点吗？

2.探索新知，归纳知识

一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。

抛物线y=a（x-h）2+k有如下特点：

（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；

（2）对称轴是x=h；

（3）顶点是（h，k）。

【探究2】教材P36例4

3.学以致用，应用新知

考点1  二次函数的图象和性质

【例1】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　)

学生填表、交流，教师指导。

由于前2个课时的探究，很容易发现抛物线y=2(x－1)2＋1与抛物线y=2(x－1)2、y=2x2的关系。

归纳得出抛物线y＝a(x－h)2+k的特点。

学生交流，老师适当引导和总结。

引导学生建立直角坐标系求解。

抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、

A．①②③  B．①③④

C．①②④  D．②③④

解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．

答案：B

【例2】求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．

分析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．

解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝-2.

知识点二  二次函数与的关系

【例3】将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　)

A．y＝(x－2)2－1    B．y＝(x－2)2＋1

C．y＝(x＋2)2＋1    D．y＝(x＋2)2－1

解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2－1；由“左

c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0。

把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法。

利用二次函数平移规律确定平移后抛物线解析式。