22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 课题 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第35例3-37页练习的内容 教学目标 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 教学重难点 教学重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。 教学难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.提出问题，引入课题 · 课本第35页 【探究1】提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? (函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3) 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 师生活动： 你能填写下表吗? y=2x2　　 向右平移 的图象　　1个单位 y=2(x－1)2 向上平移 1个单位 y=2(x－1)2＋1的图象 开口方向 向上 对称轴 y轴 顶 点 (0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识； 函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。 你能说出抛物线y=a（x-h）2+k的特点吗？ 2.探索新知，归纳知识 一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状相同，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定。 抛物线y=a（x-h）2+k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是x=h； （3）顶点是（h，k）。 【探究2】教材P36例4 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的图象和性质 【例1】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确． 答案：B 【例2】求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值． 分析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴． 解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝-2. 知识点二 二次函数与的关系 【例3】将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1 解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1，故选A. 答案：A 【例4】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强． (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低． (2)当x＝10时，y＝－(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59. (3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强． 4.随堂训练，巩固新知 1.抛物线y=2（x+9）2-3的顶点坐标是（　　） A．（9，-3） B．（-9，-3） C．（9，3） D．（-9，3） 2.在二次函数y=（x-1）2+5中，当x＞2时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）. 3.把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象． （1）试确定a，h，k的值； （2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4.已知二次函数y=2（x-m）2-2（m是常数）的图象经过点P（a,b）． （1）若a=3，b=6，求m的值； （2）若点P到对称轴的距离为1，求b的值． 参考答案 1.B 2.增大 3.解：（1）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5）， 所以原二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣5， 所以a＝，h＝1，k＝﹣5. （2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）． 4.解：（1）把点P（3，6）代入解析式，得2（3-m）2-2=6， 解得m=5或1， ∴m的值为5或1. （2）∵二次函数y=2（x-m）2-2的图象的对称轴为x=m,点P到对称轴的距离为1， ∴a=m+1或m-1， 当a=m+1时，b=2（m+1-m）2-2=0， 当a=m-1时，b=2（m-1-m）2-2=0， ∴b的值为0． 5.课堂小结，自我完善 1.理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．探究并掌握函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质。 6.布置作业 课本P37练习，P41习题22.1第5（3）题。 先复习上两个课时内容，更顺畅、容易探究本课时内容。 学生填表、交流，教师指导。 由于前2个课时的探究，很容易发现抛物线y=2(x－1)2＋1与抛物线y=2(x－1)2、y=2x2的关系。 归纳得出抛物线y＝a(x－h)2+k的特点。 学生交流，老师适当引导和总结。 引导学生建立直角坐标系求解。 抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0。 把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法。 利用二次函数平移规律确定平移后抛物线解析式。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数+k的图象和性质 类比前2课时，研究函数y=a（x-h）2+k的图象和性质，探究函数y=ax2与函数y=a（x-h）2+k的联系 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$