22.2 二次函数与一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(人教版)河北专版

第 二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 学习目标 学习重难点 能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. 难点 重点 （1）通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. （2）能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. （3）了解用图象法求一元二次方程的近似根. 导入新知 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 ① 问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2. 考虑以下问题： h=20t-5t2 (1)小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ (4)小球从飞出到落地要用多少时间？ 3 (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m. 解：高度为15 m，即在函数h=20t-5t2中，令h=15 得15=20t-5t2，即 t2-4t+3=0，解得 t1=1，t2=3. O h t 15 1 3 h=20t-5t2 4 (2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 20 2 当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m. 解：高度为20 m，即在函数h=20t-5t2中，令h=20 得20=20t-5t2，即 t2-4t+4=0，解得 t1=t2=2. 令h=20.5,得20.5=20t-5t2， t2-4t+4.1=0. 因为(-4)2-4 ×4.1<0， 所以方程无实数根. 即小球的飞行高度达 不到20.5 m. (3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ O h t 20.5 解： (4)小球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 令h=0,得0=20t-5t2, t2-4t=0, 解得t1=0，t2=4. 当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面. 解： 由以上我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次函数问题就转化了一元二次方程问题. y=ax2+bx+c(a≠0) m=ax2+bx+c(a≠0) 令y=m 二次函数 一元二次方程 转化思想 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? y=ax2+bx+c(a≠0) ax2+bx+c=0(a≠0) 令y=0 已知二次函数y=ax2+bx+c 的值为0，求自变量x的值 确定抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标 形 数 方程观点 函数观点 求一元二次方程的解 归纳 知识点2 利用二次函数深入讨论一元二次方程 ② 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 思考 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2, x2=1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b2-4ac < 0 知识点3 利用二次函数求一元二次方程的近似解 ③ 由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的． 例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1). x y O 　－2 2 2 4 6 4 －4 8 －2 －4 y = x2－2x－2 解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. 归纳 利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤： 1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象； 2.观察图象，确定抛物线与 x 轴的公共点的坐标； 3.公共点的横坐标就是对应的一元二次方程的解. 当函数图象与 x 轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解： ①观察函数图象与 x 轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围. ②由①可确定方程 ax2+bx+c=0 的一个根在整数 m 和 n (m<n)之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直到得出的根满足题目要求为止，具体过程如下：取 m 和 n 的平均数，计算出当时的函数值y2，将y2与自变量分别为 m 和 n 时的函数值ym，yn比较，若函数值y2，ym异号，说明所求根在m和之间，再取m和的平均数，计算函数值； 若函数值y2，yn异号，说明所求的根在和 n 之间，再取和 n 的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. ③按照①②的方法估计出方程的另一个根. 知识点4 用图象法求一元二次不等式的解集 ④ 如何利用函数图象解一元二次不等式呢？ 函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c=2 的根是 ______________; 不等式 ax2+bx+c>2 的解集是___________; 不等式 ax2+bx+c<2 的解集是________. (4,2) (-2,2) x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2<x<4 3 -1 O x y 归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 a＞0 a＜0 有两个公共点x1,x2 （x1＜x2） 有一个公共点x0 没有公共点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解 y＞0，所有实数； y＜0，无解 y＜0，所有实数； y＞0，无解 典型例题 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 典型例题 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 典型例题 例2:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. B 随堂演练 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1.根据下列表格的对应值: 22 2.若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 A 随堂演练 3．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ； -1 y O x 1 3 随堂演练 4.函数 y=x2+bx+c 与函数 y=x 的图象如图所示，有以下结论： ①b2-4c>0；②b+c=0；③b<0；④方程组的解为⑤当 1<x<3 时， x2+(b-1)x+c>0，其中正确的是( ) B A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.②③⑤ 随堂演练 解：因为函数y=x2+bx+c的图象与x轴无交点，所以b2-4c＜0，故①错误； 当x=1时，y=1+b+c=1，则b+c=0，故②正确； 对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0，故③正确； 根据抛物线与直线y=x的交点知，方程组的解为故④正确； 因为当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， 所以x2+bx+c＜x，所以x2+(b-1)x+c＜0，故⑤错误． 故选B． 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y >0 ＝0 ＜0 x1 ; x2 x1 =x2＝－ 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ x1的一切实数 所有实数 x1<x<x2 无解 无解 26 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 27 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $$