22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 课题 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第33-35页的内容 教学目标 1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。 2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。 教学重难点 教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。 教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 · 课本第33页 【探究1】 1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答： (1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。 (2)说出它们所具有的公共性质。 2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 师生活动： 问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题? (画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗? （让学生在直角坐标系中画出图来）． 问题3：现在你能回答前面提出的问题吗? 让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。 问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗? 问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗? 教学要点： 让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。 问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗? 教学要点： 让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。 【思考】抛物线y=a（x-h）2与抛物线y=ax2有什么关系？ 2.探索新知，归纳知识 当h＞0时，抛物线y=ax2向右平移h个单位长度，就得到抛物线y=a（x-h）2；当h＜0时，抛物线y=ax2向左平移|h|个单位长度，就得到抛物线y=a（x-h）2。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的图象与性质 【例1】已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值． 解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)， ∴h＝－2. 又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)， ∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝. 【例2】对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是(　　) A．y随x的增大而增大 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．当x＞－1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D. 答案：D 考点2 二次函数与的关系 【例3】能否向左或向右平移函数y＝－x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 解：能，设平移后的函数为y＝－(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9－h)2，所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位． 【例4】把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积． 分析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最后求△ABC的面积． 解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，解方程组得或∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)．∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12. 4.随堂训练，巩固新知 1.抛物线y=-x2+2和y=-（x+2）2的对称轴分别是（　　） A．y轴，x=2 B．x=2，x=-2 C．x=-2，x=2 D．y轴，x=-2 2.对于任何非零实数h，抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的相同点是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．都有最低点 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝b（x﹣a）2的图象大致为（　　） A B C D 4.已知函数y＝−(x+3)2，当函数y随x的增大而减小时，x的取值范围是 . 5.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）试判断△ABC的形状，并说明理由． 参考答案 1.D 2.C 3.A 4.x＞-3 5.解：（1）如图，抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A（5，0）. x＝0时，y＝5，∴点B为（0，5）. ∵对称轴为直线x＝5， ∴点C的坐标为（10，5）. （2）S△ABC＝×10×5＝25. （3）AB＝AC＝5，BC＝10， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形． 5.课堂小结，自我完善 在同一直角坐标系中，理解函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别；能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质。 6.布置作业 课本P35练习，P41习题22.1第5（2）题。 先复习上一节课内容（对称轴不变，顶点变），引入到本节课探究中（对称轴和顶点都变）。 学生画图，教师巡视、指导。 本节图象左右平移，对称轴和顶点都改变了。 类比函数y＝2(x－1)2与函数y＝2x2的对比。 该结论与上课时的结论相近，可类比探究。 抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h。 根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”。 利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式 两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的． 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数的图象和性质 类似函数y=ax2+k的研究过程，研究函数y=a（x-h）2的图象和性质，探究函数y=ax2与函数y=a（x-h）2的联系 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$