22.1.3 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课题 二次函数y=ax2+k的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第32-33页的内容 教学目标 1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。 2．让学生经历二次函数y＝ax2＋k性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。 教学重难点 教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系。 教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 · 课本第32-33页 【探究1】教材P32例2 学生先自己操作，在同一个直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象。 师生活动：先让学生观察图象，指出抛物线y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点，再把本例中2个函数与函数y=2x2对比。 问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究? (画出函数y＝2x2+1和函数y＝2x2-1的图象，并加以比较) 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗? 教学要点 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。 2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象． 3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y＝2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 … y＝2x2＋1 … 19 9 3 l 3 9 19 … (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。 （图象略） 问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系? 教师引导学生观察上表，当x依次取-3，-2，-1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。 教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。 问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。 问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。 问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗? 完成填空： 当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______． 以上就是函数y＝2x2＋1的性质。 2.探索新知，归纳知识 当k＞0时，把抛物线y=ax2向上平移k个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k；当k＜0时，把抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的图象和性质 【例1】抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　） A B C D 答案：C 【例2】二次函数y＝﹣+5有最 　 　值为 　 　． 答案：大 5 考点2 二次函数与的关系 【例3】（山东泰安校级阶段练习）函数y＝4x2+5的图象可由y＝4x2的图象向 　 　平移 　 　个单位长度得到；函数y＝4x2+5的图象可由y＝4x2﹣11的图象向 　 　平移 　 　个单位长度得到． 答案： 上 5 上 16 4.随堂训练，巩固新知 1.抛物线y＝ax2+k与抛物线y=-5x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标为（0，5），该抛物线的解析式是（　　） A．y＝5（x+5）2 B．y＝-5（x﹣5）2 C．y＝5x2+5 D．y＝-5x2﹣5 2.二次函数y＝ax2+k的图象顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物相线y＝﹣相同． （1）确定a，k的值； （2）画出二次函数y＝ax2+k的图象． 3.抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？ 4.如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－x2＋运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m. (1)球在空中运行的最大高度为多少？ (2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？ 参考答案 1.C 2.解：（1）由y＝ax2+k形状及开口方向与y＝﹣x2相同，所以a＝﹣， 由y＝ax2+k的顶点是（0，2），得k＝2. （2）y＝﹣x2+2的函数图象如下. 3.抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的． 4.解：(1)∵y＝－x2＋的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m. (2)在y＝－x2＋中，当y＝3.05时，3.05＝－x2＋，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－x2＋，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)． 5.课堂小结，自我完善 理解在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系；能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质。 6.布置作业 课本P33练习。 先让学生观察图象，指出抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点。 两个抛物线都是开口向上，对称轴都是y轴。抛物线y=2x2+1的顶点是（0,1），抛物线y=2x2-1的顶点是（0,-1）。 老师可引导学生观察方向：二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 从解析式、函数对应值表和图象三个角度，综合进行对比，从而得出形状相同，位置知识上下平移的结论。 同样道理研究y=2x2-1与y=2x2的练习与区别。 归纳抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系。 先直观形象地巩固抛物线y=ax2+k的图象和性质，再巩固抛物线y=ax2+k和抛物线y=ax2的关系。 教师总结，学生体会。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到． 板书设计 二次函数y=ax2+k的图象和性质 从开口方向、对称轴和顶点坐标等角度探究抛物线y=ax2+k的图象与性质，探究函数的平移问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋k的图象与性质，体会抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间联系与区别。 学科网（北京）股份有限公司 $$