22.1.3 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

二次函数y=ax2+k的图象和性质

课型

新授课

教学内容

教材第32-33页的内容

教学目标

1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。

2．让学生经历二次函数y＝ax2＋k性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系。

教学重难点

教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系。

教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

      课本第32-33页

【探究1】教材P32例2

学生先自己操作，在同一个直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象。

师生活动：先让学生观察图象，指出抛物线y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点，再把本例中2个函数与函数y=2x2对比。

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?

  (画出函数y＝2x2+1和函数y＝2x2-1的图象，并加以比较)

先让学生观察图象，指出抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点。

两个抛物线都是开口向上，对称轴都是y轴。抛物线y=2x2+1的顶点是（0,1），抛物线y=2x2-1的顶点

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?

 教学要点

 1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。

2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．

3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。

 解：(1)列表：

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。

（图象略）

   问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?

    教师引导学生观察上表，当x依次取-3，-2，-1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。

    教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

    问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?

是（0,-1）。

老师可引导学生观察方向：二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

从解析式、函数对应值表和图象三个角度，综合进行对比，从而得出形状相同，位置知识上下平移的结论。

    由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。

    问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?

    让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

    问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

    完成填空：

    当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．

    以上就是函数y＝2x2＋1的性质。

2.探索新知，归纳知识

当k＞0时，把抛物线y=ax2向上平移k个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k；当k＜0时，把抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度，就得到抛物线y=ax2+k。

3.学以致用，应用新知

考点1 二次函数的图象和性质

【例1】抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　）

A                  B

      C                  D

答案：C

【例2】二次函数y＝﹣+5有最 　   　值

同样道理研究y=2x2-1与y=2x2的练习与区别。

归纳抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系。

先直观形象地巩固抛物线y=ax2+k的图象和性质，再巩固抛物线y=ax2+k和抛物线y=ax2的关系。