22.1.4 第1课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(人教版)河北专版

第 二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第1课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 学习目标 学习重难点 熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 难点 重点 （1）会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式. （2）会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值. （3）会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象. 导入新知 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ① 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 配方 提出二次项系数，常数项放括号外 配方，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方 去括号，不要漏乘了括号前的系数 思考1 3 思考2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 对称轴是直线 x=6，顶点坐标是(6，3). 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 平移方法 1： 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度； 平移方法 2： 先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度. 思考3 4 思考4 如何画二次函数 的图象呢？ 1.平移法 ①用配方法把二次函数 化成 的形式， 确定顶点 (6，3)； ②作出抛物线 ； ③将抛物线 平移，使其顶点平移到 (6，3) 处. 2.列表法 先利用图象的对称性列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象如图. O 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 开口向上; 对称轴为x=6; 顶点坐标(6，3)； 当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当x=6时，有最小值3. O 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ y=ax²+bx+c 归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 (1) (2) x y O x y O 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. 知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 ② (1)a决定抛物线的开口方向 当a >0时， 当a <0时， 开口向上； 开口向下． x y O x y O b与a同号 对称轴在y轴左侧； (2)b联合a决定对称轴的位置 对称轴在y轴右侧； 当b=0 ，即 时， 对称轴是y轴． 当b与a异号，即 时， 当b与a同号，即 时， 记忆口诀：左同右异 x (3) c决定抛物线与y轴的交点位置 c＝0 c＞0 c＜0 x y O x y O x y O 典型例题 例1 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 典型例题 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 巩固练习 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则 下列结论正确的是(　　) A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0 B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0 D 15 随堂演练 B 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x=-1 B 16 随堂演练 3.从地面向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动到最高点时，所花时间是多少？最高点的高度是多少？ 解：小球在顶点时达到最大高度. ∴所花时间是3s，最高点的高度是45m. 课堂小结 顶点： 对称轴：x= y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 y=a (顶点式) 18 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 19 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$