22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课题 二次函数y=ax2的图象和性质 课型 新授课 教学内容 教材第29-32页的内容 教学目标 1．使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。 2．使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，使学生掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用． 教学重难点 教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。 教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 · 课本第29-30页 【探究1】 1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质) 这个问题比较宏观，学生回答可能杂乱无章，老师可以继续追问或引导学生回顾一次函数的相关研究内容和方法：通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和性质，在研究过程中，通过从特殊到一般的思路进行研究。 【探究2】类比探究y=ax2的图象和性质 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象，在根据图象研究图象特征和性质) 师生活动：学生独立用描点法（列表-描点-连线）画出二次函数y=x2的图象。 老师可根据现场情况继续追问。 老师追问1：你是如何描点画图的？ 老师追问2：你打算从哪些角度去观察图象、概括特征？ 【画图】画二次函数y=x2的图象。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。 老师提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? 让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点。 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 定点是抛物线的最高点或最低点。 【探究3】 1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。 对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。 对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 【总结】函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想： 函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么? 让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 图象的这些特点反映了函数的什么性质? 先让学生观察右图，回答以下问题； (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？ (2)yA、yB大小关系如何? (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0? (4)yC、yD大小关系如何? (XA<XB，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC<XD，且XC>0，XD>0，yC<yD) 其次，让学生填空。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。 2.探索新知，归纳知识 观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<0时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<0时，函数y=ax2具有哪些性质? 让学生讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<0时，函数y=ax2的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>0时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。 3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数的图象 【例1】抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 答案：A 【例2】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(　　) 解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点. 答案：C 考点2 二次函数的性质 【例3】抛物线y=2x2的顶点坐标是（　　） A（2，0） B.（1，2） C.（0，0） D.（0，2） 答案：C 【例4】抛物线y=-3x2的对称轴是（　　） A.x=3 B.x=-3 C.x=0 D.y=0 答案：C 【例5】已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式中一定正确的是（　　） A．y1＞0＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y2＞0＞y1 D．y2＞y1＞0 解析：∵抛物线y＝ax2（a＞0）， ∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．又a＞0，0＜1＜2， ∴y1＞y2＞0. 答案：B 4.随堂训练，巩固新知 1.若二次函数y=ax2的图象经过点（-2．-4），则a的值为（　　） A.-2 B.2 C.-1 D.1 2.当ab＞0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax+b在同一直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C.D. 3.已知二次函数y=ax2，当x=3时，y=3． （1）求当x=-2时，y的值． （2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向． 参考答案 1.C 2.D 3.（1）把x=3，y=3代入y=ax2得， a•32=3，解得a=，所以这个二次函数的表达式为y=x2； 当x=-2时，y=×（-2）2=. （2）∵y=x2，a=＞0， ∴图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）． 5.课堂小结，自我完善 理解二次函数的概念，画出二次函数的图象，并借此探究y=ax2的图象特点和性质。 6.布置作业 课本P32练习，P41习题22.1第3-4题。 先复习研究函数的一般方法。 由此对探究函数的框架进行架构，为后续二次函数图象和性质的研究铺垫。 在一次函数的学习中已经学习过描点法画一个函数的图象。老师需要关注学生能否选取适当的自变量的值，如形状不明时是否知道通过加密点来画图。 老师引导尝试从图象的形状、开口方向、对称性、定点等方面描述二次函数的图象特征。 经历从特殊到一般的研究过程，归纳出函数y=ax2的图象特征。 老师引导学生概括观察的角度和方法。尝试类比探究特殊的二次函数y=x2的图象和性质，了解抛物线的相关概念。 经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数y=ax2的图象特征，a分为a＞0和a＜0等情况。 先归纳y=ax2的特点，先找共同点，再找不同点，不同点再就a＞0和a＜0两种情况进行考虑。 在a＞0和a＜0两种情况下，都有|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小。 教师总结，学生体会。 根据a与抛物线开口方向的关系。 分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”。 解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 二次函数的图象和性质 类似一次函数的研究过程，用描点法画出二次函数y=x2的图象，并观察其特点，进而比对得到y=ax2的图象和性质。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$