22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

二次函数y=ax2的图象和性质

课型

新授课

教学内容

教材第29-32页的内容

教学目标

1．使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2．使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，使学生掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用．

教学重难点

教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。

教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

      课本第29-30页

【探究1】

1.同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

这个问题比较宏观，学生回答可能杂乱无章，老师可以继续追问或引导学生回顾一次函数的相关研究内容和方法：通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和性质，在研究过程中，通过从特殊到一般的思路进行研究。

【探究2】类比探究y=ax2的图象和性质

2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

    (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象，在根据图象研究图象特征和性质)

师生活动：学生独立用描点法（列表-描点-连线）画出二次

先复习研究函数的一般方法。

由此对探究函数的框架进行架构，为后续二次函数图象和性质的研究铺垫。

在一次函数的学习中已经学习过描点

函数y=x2的图象。

老师可根据现场情况继续追问。

老师追问1：你是如何描点画图的？

老师追问2：你打算从哪些角度去观察图象、概括特征？

【画图】画二次函数y=x2的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

老师提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

定点是抛物线的最高点或最低点。

【探究3】

1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?

2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?

3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?

  对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

    对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

    对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．

法画一个函数的图象。老师需要关注学生能否选取适当的自变量的值，如形状不明时是否知道通过加密点来画图。

老师引导尝试从图象的形状、开口方向、对称性、定点等方面描述二次函数的图象特征。

经历从特殊到一般的研究过程，归纳出函数y=ax2的图象特征。

老师引导学生概括观察的角度和方法。

【总结】函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

    函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

    如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

    让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

    当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

    图象的这些特点反映了函数的什么性质?

先让学生观察右图，回答以下问题；

    (1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？

    (2)yA、yB大小关系如何?

    (3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

    (4)yC、yD大小关系如何?

    (XA<XB，且XA<0，XB<0；yA>yB；XC<XD，且XC>0，XD>0，yC<yD)

    其次，让学生填空。

    当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

    以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

2.探索新知，归纳知识

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<0时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<0时，函数y=ax2具有哪些性质?

    让学生讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线y=ax2开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，反映了当a<0时，函数y=ax2的性质；当x<0时，函数值y随x的增大而增大；与x>0时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。

3.学以致用，应用新知

考点1  二次函数的图象

【例1】抛物线y＝﹣2x2的图象可能是（　　）

尝试类比探究特殊的二次函数y=x2的图象和性质，了解抛物线的相关概念。

经历从特殊到一般的研究过程，从特殊的数值入手，归纳出二次函数y=ax2的图象特征，a分为a＞0和a＜0等情况。

先归纳y=ax2的特点，先找共同点，再找不同点，不同点再就a＞0和a＜0两种情况进行考虑。

在a＞0和a＜0两种情况下，都有|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小。

教师总结，学生体会。