21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

一元二次方程根与系数的关系

课型

新授课

教学内容

教材第15-16页的内容

教材分析

本课虽是选学内容，但从一元二次方程理论的完整性、初高中衔接等角度考虑，本节内容都是需要的，它为进一步解决一元二次方程、后续二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路，仍是比较重要的，需要认真完成。

教学目标

1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

教学重难点

教学重点：一元二次方程根与系数的关系。

教学难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【探究1】问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其他关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。

问题2.解下列方程并填写下表：

（1）x2-5x+6=0；（2）2x2+5x+3=0；（2）3x2-2x-8=0.

填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？

问题3.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

【探究2】

从因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q质检的关系吗？

（学生研究，老师指导）

把方程（x-x1）（x-x2）=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0.

可知上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：

x1+x2=-p，x1x2=q.

【探究3】一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它们的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？

（学生活动）设是方程的两个根。

∴ 

∴

在数学中，正面研究了一个问题，往往要从方面看看是否有值得研究的问题。本节便是：如果知道方程的根，那么方程会有什么形式？

二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系。

这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-（x1+x2），常数项q=x1x2.

借鉴探究2，结合求根公式。

探究2与探究3是特