21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课题 一元二次方程根与系数的关系 课型 新授课 教学内容 教材第15-16页的内容 教材分析 本课虽是选学内容，但从一元二次方程理论的完整性、初高中衔接等角度考虑，本节内容都是需要的，它为进一步解决一元二次方程、后续二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路，仍是比较重要的，需要认真完成。 教学目标 1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差。 2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。 教学重难点 教学重点：一元二次方程根与系数的关系。 教学难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其他关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。 问题2.解下列方程并填写下表： （1）x2-5x+6=0；（2）2x2+5x+3=0；（2）3x2-2x-8=0. 填写下表 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0 请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ 问题3.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。 【探究2】 从因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q质检的关系吗？ （学生研究，老师指导） 把方程（x-x1）（x-x2）=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0. 可知上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1+x2=-p，x1x2=q. 【探究3】一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它们的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ （学生活动）设是方程的两个根。 ∴  ∴ 　　　　 　　　　 2.探索新知，归纳知识 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： x1+x2=，x1x2=。 【教材例题】 例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： （1）x2-6x-15=0；（2）3x2+7x-9=0；（3）5x-1=4x2. 解：(1)x1+x2=-（-6）=6，x1x2=-15. (2)x1+x2=-，x1x2==-3. （3）方程化为4x2-5x+1=0，x1+x2=-=，x1x2=. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 【例1】若α、β是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则αβ的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2022 D．﹣2022 答案：D 考点2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值 【例2】设x1，x2是方程x2﹣3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1 答案：B 【例3】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为(　　) A．－1 B. C．－ D．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，＋＝＝＝－. 答案：C 4.随堂训练，巩固新知 （1）教材P16练习 （2）选用题目 1.已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 2已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________． 3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0的两个实数根，且满足x12+x22＝m2﹣6，则m的值为 　 　． 4.在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是 。 参考答案 1.答案：D 解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D. 2.-1 解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1. 3.C 4．x2+2x﹣20＝0 5.课堂小结，自我完善 1、方程的根是由系数决定的。 2、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、x2 3、a≠0，△≥0时，x1+x2=，x1x2=。 4、方程根与系数关系的有关应用。Com] （1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。 6.布置作业 课本P14练习第1-2题，P17习题21.2第7题。 在数学中，正面研究了一个问题，往往要从方面看看是否有值得研究的问题。本节便是：如果知道方程的根，那么方程会有什么形式？ 二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系。 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-（x1+x2），常数项q=x1x2. 借鉴探究2，结合求根公式。 探究2与探究3是特殊与一般的关系。 将方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a，便可以转化为探究2种的情形。 教学时可根据学生水平灵活处理，可适当补充计算x12+x22，x1-x2，+之类的问题。 重视知识的连贯性，由浅入深，在旧知识上构建新知，激发学习兴趣，活跃学生的学习活动。 解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0. 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 先将一元二次方程化为一般形式，再判断两根之和和之乘积． 板书设计 一元二次方程的根与系数的关系 根据给定方程求根的反面是如果知道方程的根，探究方程是什么样的，得到一元二次方程根与系数的关系，进而求字母取值或代数式的值。 教后反思 教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件。 学科网（北京）股份有限公司 $$