21.2.3 因式分解法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 课题 因式分解法 课型 新授课 教学内容 教材第12-14页的内容 教学目标 1．掌握用因式分解法解一元二次方程。 2. 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。 教学重难点 教学重点：用因式分解法解一元二次方程。 教学难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】复习引入（学生活动） 解下列方程： （1）2x2+x=0（用配方法）；（2）3x2+6x=0（用公式法）. 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 【探究2】 探究教材P12问题2 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即得方程10x-4.9x2=0. （学生活动）请同学们口答下面各题． （老师提问）（1）上面两个方程和问题2的方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面三个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2），10x-4.9x2=x（10-4.9x） 因此，上面三个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0；（2）3x（x+2）=0；（3）x（10-4.9x）=0. 2.探索新知，归纳知识 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． （3）x=0或10-4.9x=0，所以x1=0，x2≈2.04. 因此，我们可以发现，上述三个方程，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。 【教材例题】 例1：解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0； （2）5x2--=x2-2x+. 解：(1)因式分解，得（x-2）（x+1）=0. 于是得x-2=0，或x+1=0，x1＝2，x2＝-1. (2)移项、合并同类项，得4x2-1=0. 因式分解，得（2x+1）（2x-1）=0. 于是得2x+1=0，或2x-1=0， x1＝，x2＝. 归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次. 3.学以致用，应用新知 考点1 用因式分解法解一元二次方程 【例1】方程x（x+1）＝0的两根分别为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣1 答案：D 【例2】解下列方程： （1）x2-9=0；（2）（x﹣3）2＝6（x﹣3）. 解：（1）因式分解，得（x+3）（x-3）=0. 于是得x+3=0，或x-3=0， x1=-3，x2=3. （2）移项，得（x﹣3）2﹣6（x﹣3）＝0， 因式分解，得（x﹣3）（x﹣3﹣6）＝0， 于是得x﹣3＝0或x﹣3﹣6＝0， 所以x1＝3，x2＝9． 考点2 用因式分解法解一元二次方程的应用 【例3】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 解：∵a2－ac－ab＋bc＝0， ∴(a－b)(a－c)＝0， ∴a－b＝0或a－c＝0， ∴a＝c或a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 考点3 选择恰当的方法解一元二次方程 【例4】在下列各题的横线上填写适当的解法。 （1）解方程（x﹣1）2＝9，用 法较合适； （2）解方程x2+2x﹣17＝0，用 法较合适； （3）解方程x2﹣4＝x+2，用 法较合适. 答案：直接开平方法 配方法 公式法 【例5】解下列方程： （1）x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0； （3）2x2﹣7x﹣2＝0. 解：（1）移项，得x2﹣2x＝1， 配方，得x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2， 由此可得x﹣1＝±， 即x﹣1＝或x﹣1＝﹣， x1＝1+，x2＝1﹣； （2）因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0， 整理，得（x﹣3）（5x﹣3）＝0， 于是得x﹣3＝0或5x﹣3＝0， x1＝3，x2＝； （3）a=2，b=-7，c=-2.Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣2）＝49+16＝65＞0， 方程有两个不等的实数根x＝， ∴x1＝，x2＝. 4.随堂训练，巩固新知 （1）教材P14练习 （2）选用题目 1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ） A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2= C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以x，得x=1 2．下列命题：①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正确的命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________． 5．用因式分解法解下列方程． （1）3y2-6y=0； （2）25y2-16=0； （3）x2-12x-28=0； （4）x2-12x+35=0. 6．今年初，某市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m） 参考答案 1．B 2．A 3．C 4．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8 5．（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2 （2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=-，y2= （3）�（x-14）（x+2）=0 x1=14，x2=-2 （4）（x-7）（x-5）=0 x1=7，x2=5 6．设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 2x2-35x+150=0 （2x-15）（x-10）=0， x1=7.5，x2=10， 当宽x1=7.5时，长为35-2x=20， 当宽x=10时，长为15， 因a≥20m，两根都满足条件． 5.课堂小结，自我完善 （1）用因式分解法，即用提取公因式法、�平方差公式法和完全平方公式等解一元二次方程及其应用． （2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别 联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根． ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，�再分别使各一次因式等于0． 6.布置作业 课本P14练习第1-2题，P17习题21.2第6、10、12、13题。 这两个方程和教材P12问题2中方程有共同点：常数项为0。 只看方程左边，很容易联想到提公因式法因式分解，使本节的学习更为顺畅。 依据的是两个实数的积等于0的条件，即这两个实数中必有等于0的。 例1方程（1）提公因式x-2，方程（2）用平方差公式。 除了因式分解法，可以让学生尝试多种方法解这2个方程。 配方法、公式法和因式分解法是三种基本的解一元二次方程的方法，“降次”是基本思路. 可以引导学生总结，明确各种解法的来源、特点，能根据方程特点进行恰当的选择。 因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 例3先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状。 根据方程的特点，选择恰当的解法解方程。 用求根公式解方程时，容易忽视系数的符号，这是易错点，必要时需要提醒。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程。 板书设计 解一元二次方程--因式分解法 复习因式分解和已学的解一元二次方程的2种方法，引入学习因式分解法解一元二次方程。 教后反思 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。 学科网（北京）股份有限公司 $$