21.2.3 因式分解法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

因式分解法

课型

新授课

教学内容

教材第12-14页的内容

教学目标

1．掌握用因式分解法解一元二次方程。

2. 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。

教学重难点

教学重点：用因式分解法解一元二次方程。

教学难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【探究1】复习引入（学生活动）

解下列方程：

（1）2x2+x=0（用配方法）；（2）3x2+6x=0（用公式法）.

  老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．

【探究2】

探究教材P12问题2 

设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即得方程10x-4.9x2=0.

（学生活动）请同学们口答下面各题．

（老师提问）（1）上面两个方程和问题2的方程中有没有常

这两个方程和教材P12问题2中方程有共同点：常数项为0。

只看方程左边，很容易联想到提公因式法因式分解，使本节的学习更为顺畅。

数项？

（2）等式左边的各项有没有共同因式？

（学生先答，老师解答）上面三个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2），10x-4.9x2=x（10-4.9x）

    因此，上面三个方程都可以写成：

（1）x（2x+1）=0；（2）3x（x+2）=0；（3）x（10-4.9x）=0. 

  2.探索新知，归纳知识

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．

（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

（3）x=0或10-4.9x=0，所以x1=0，x2≈2.04.

    因此，我们可以发现，上述三个方程，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。

 【教材例题】

例1：解下列方程：

（1）x（x-2）+x-2=0；     （2）5x2--=x2-2x+.

解：(1)因式分解，得（x-2）（x+1）=0.

于是得x-2=0，或x+1=0，x1＝2，x2＝-1.

(2)移项、合并同类项，得4x2-1=0.

因式分解，得（2x+1）（2x-1）=0.

于是得2x+1=0，或2x-1=0，

x1＝，x2＝.

归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.

3.学以致用，应用新知

考点1  用因式分解法解一元二次方程

【例1】方程x（x+1）＝0的两根分别为（　　）

A．x1＝2，x2＝﹣1       B．x1＝1，x2＝0 

C．x1＝1，x2＝﹣1      D．x1＝0，x2＝﹣1

答案：D

【例2】解下列方程：

（1）x2-9=0；（2）（x﹣3）2＝6（x﹣3）.

依据的是两个实数的积等于0的条件，即这两个实数中必有等于0的。

例1方程（1）提公因式x-2，方程（2）用平方差公式。

除了因式分解法，可以让学生尝试多种方法解这2个方程。

配方法、公式法和因式分解法是三种基本的解一元二次方程的方法，“降次”是基本思路.

可以引导学生总结，明确各种解法的来源、特点，能根据方程特点进行恰当的选择。

解：（1）因式分解，得（x+3）（x-3）=0.

于是得x+3=0，或x-3=0，

x1=-3，x2=3.

（2）移项，得（x﹣3）2﹣6（x﹣3）＝0，

因式分解，得（x﹣3）（x﹣3﹣6）＝0，

于是得x﹣3＝0或x﹣3﹣6＝0，

所以x1＝3，x2＝9．

考点2  用因式分解法解一元二次方程的应用

【例3】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．

解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，

∴(a－b)(a－c)＝0，

∴a－b＝0或a－c＝0，

∴a＝c或a＝b，

∴△ABC为等腰三角形．

考点3  选择恰当的方法解一元二次方程

【例4】在下列各题的横线上填写适当的解法。

（1）解方程（x﹣1）2＝9，用        法较合适；

（2）解方程x2+2x﹣17＝0，用        法较合适；

（3）解方程x2﹣4＝x+2，用        法较合适.

答案：直接开平方法   配方法    公式法

【例5】解下列方程：

（1）x2﹣2x﹣1＝0；

（2）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0；

（3）2x2﹣7x﹣2＝0.

解：（1）移项，得x2﹣2x＝1，

配方，得x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，

由此可得x﹣1＝±，

即x﹣1＝或x﹣1＝﹣，

x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，

因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

例3先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状。

根据方程的特点，选择恰当的解法解方程。