21.2.2 第2课时 配方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

公式法

课型

新授课

教学内容

教材第9-12页的内容

教学目标

1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程。

2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程。

教学重难点

教学重点：求根公式的推导和公式法的应用。

教学难点：一元二次方程求根公式法的推导。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【探究1】（学生活动）用配方法解下列方程：

    （1）6x2-7x+1=0;（2）4x2-3x=52.

    （老师点评）解：（1）移项，得：6x2-7x=-1

    二次项系数化为1，得：x2-x=-

    配方，得：x2-x+（）2=-+（）2

              （x-）2=

x-=±  x1=+==1 

x2=-+==

    （2）略

【师生互动】用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，

探究1旨在引导学生回顾配方法的基本步骤，这样用配方法推导一元二次方程的求根公式就比较容易了。

由此也可以得到一

老师点评）．

（1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

【探究2】

探究教材P9探究 

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

    问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=

    分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

    解：移项，得：ax2+bx=-c

    二次项系数化为1，得x2+x=-

    配方，得：x2+x+（）2=-+（）2

    即（x+）2=

    ∵b2-4ac≥0且4a2>0

    ∴≥0

    直接开平方，得：x+=±

    即x=

    ∴x1=，x2=

  2.归纳知识

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式

元二次方程的另一种解法。

求根公式的推导，困难在于字母符号多、分式运算复杂。让学生自己动手推导，有利于学生加深对求根公式的认识，同时培养学生运算能力。

方程（x+）2

=的解的情况由b2-4ac决定，因此需对b2-4ac分类讨论，这也是根的判别式——判别方程是否有解的式子。

当b2-4ac=0时，

ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

【教材例题】

例1：用公式法解下列方程：

（1）x2-4x-7=0；     （2）2x2-2+1=0；

（3）5x2-3x=x+1；    （4）x2+17=8x.

解：(1)这里a＝1，b＝-4，c＝－7，b2－4ac＝（-4）2－4×1×(－7)＝44＞0.

方程有两个不等的实数根x＝＝=2±，即x1＝2+，x2＝2-.

(2)a＝2，b＝-2，c＝1，b2－4ac＝（-2）2－4×2×1＝0.

方程有两个相等的实数根x1＝x2＝==.

（3）方程化为5x2-4x-1=0.

a＝5，b＝-4，c＝-1，b2－4ac＝（-4）2－4×5×（-1）＝36＞0.

方程有两个不等的实数根x＝＝=，

即x1＝1，x2＝.

将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－.

（4）方程化为x2-8x+17=0.

a＝1，b＝-8，c＝17，b2－4ac＝（-8）2－4×1×14＝-4＜0.

方程无实数根．

3.学以致用，应用新知

考点1  一元二次方程根的判别式及根的情况

【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况．

(1)2x2＋3x－4＝0；

(2)x2－x＋＝0；

(3)x2－x＋1＝0.

解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判

=-，此时我们说方程有2个相等的实数根，而不是只有一个实数根。

用求根公式解方程时，容易忽视系数的符号，这是易错点，必要时需要提醒。

给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两