21.2.2 第2课时 配方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

该教案聚焦“公式法解一元二次方程”核心知识点，通过具体方程（如6x²-7x+1=0）的配方法求解回顾步骤，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生推导一般形式ax²+bx+c=0的求根公式，梳理配方法到公式法的知识脉络。 资料亮点在于注重推导过程的学生自主参与，通过独立推导培养推理能力，结合根的判别式解决实际问题（如铁丝围正方形面积问题）发展抽象能力与应用意识，例题分层覆盖不同类型方程，助力学生巩固，提升教师教学效率与学生学习效果。

21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 第2课时 配方法 课题 公式法 课型 新授课 教学内容 教材第9-12页的内容 教学目标 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程。 2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程。 教学重难点 教学重点：求根公式的推导和公式法的应用。 教学难点：一元二次方程求根公式法的推导。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】（学生活动）用配方法解下列方程： （1）6x2-7x+1=0;（2）4x2-3x=52. （老师点评）解：（1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-x=- 配方，得：x2-x+（）2=-+（）2 （x-）2= x-=± x1=+==1 x2=-+== （2）略 【师生互动】用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【探究2】 探究教材P9探究 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2= 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c�也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= ∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴≥0 直接开平方，得：x+=± 即x= ∴x1=，x2= 2.归纳知识 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，�将a、b、c代入式子x=就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 【教材例题】 例1：用公式法解下列方程： （1）x2-4x-7=0； （2）2x2-2+1=0； （3）5x2-3x=x+1； （4）x2+17=8x. 解：(1)这里a＝1，b＝-4，c＝－7，b2－4ac＝（-4）2－4×1×(－7)＝44＞0. 方程有两个不等的实数根x＝＝=2±，即x1＝2+，x2＝2-. (2)a＝2，b＝-2，c＝1，b2－4ac＝（-2）2－4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根x1＝x2＝==. （3）方程化为5x2-4x-1=0. a＝5，b＝-4，c＝-1，b2－4ac＝（-4）2－4×5×（-1）＝36＞0. 方程有两个不等的实数根x＝＝=， 即x1＝1，x2＝. 将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－. （4）方程化为x2-8x+17=0. a＝1，b＝-8，c＝17，b2－4ac＝（-8）2－4×1×14＝-4＜0. 方程无实数根． 3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程根的判别式及根的情况 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋＝0； (3)x2－x＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程有两个相等的实数根． (3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 【例2】已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1. 答案：C 【例3】小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由． 解：假设能围成． 设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48. 化简得x2－10x＋26＝0. 因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的． 考点2 用公式法解一元二次方程 【例4】用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－6＝0； (2)x2＋4x＝2； (3)5x2－4x＋12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. 解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝＝＝，即原方程的解是x1＝－2，x2＝. (2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－. (3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根． (4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－. 4.随堂训练，巩固新知 （1）教材P12练习 （2）选用题目 1.求一元二次方程x2+x＝2的根的判别式时，首先确定a，b，c的值分别是（　　） A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2 C．a＝1，b＝1，c＝﹣2 D．a＝1，b＝﹣1，c＝2 2.若一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 3.用公式法解方程：x2﹣4x＝2. 解：将方程化为一般形式，得 . a＝ ，b＝ ，c＝ . ∴Δ=b2﹣4ac＝ . 方程 实数根x= ， ∴x1= ，x2= . 4.用公式法解下列方程： （1）2x2-4x-1=0； （2）5x+2=3x2； （3）（x-2）（3x-5）=0； （4）4x2-3x+1=0. 参考答案 1.C 2.B 3.3x2﹣4x-2＝0 1 ﹣4 ﹣2 24 有两个不相等的 4.解：（1）a=2，b=-4，c=-1. b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0. x=， ∴x1=，x2=. （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0 x= x1=2，x2=- （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0 ∴x= ∴x1=，x2= （4）a=4，b=-3，c=1. b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0. 方程无实数根 5.课堂小结，自我完善 （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 6.布置作业 课本P12练习第1-2题，P17习题21.2第4-5题。 探究1旨在引导学生回顾配方法的基本步骤，这样用配方法推导一元二次方程的求根公式就比较容易了。 由此也可以得到一元二次方程的另一种解法。 求根公式的推导，困难在于字母符号多、分式运算复杂。让学生自己动手推导，有利于学生加深对求根公式的认识，同时培养学生运算能力。 方程（x+）2 =的解的情况由b2-4ac决定，因此需对b2-4ac分类讨论，这也是根的判别式——判别方程是否有解的式子。 当b2-4ac=0时，=-，此时我们说方程有2个相等的实数根，而不是只有一个实数根。 用求根公式解方程时，容易忽视系数的符号，这是易错点，必要时需要提醒。 给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根。 若方程有实数根，则b2－4ac≥0.注意本题强调说明方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0。 方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解． 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 板书设计 解一元二次方程--公式法 对一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）进行配方，得到根的判别式和求根公式。 教后反思 教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0。 学科网（北京）股份有限公司 $$