21.2.2 第1课时 公式法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 课题 公式法——判别一元二次方程根的情况 课型 新授课 教学内容 教材第9-10页归纳的内容：用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用 教学目标 1．掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用。 2.通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，�分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。 教学重难点 教学重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根。 教学难点：从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】复习引入 （学生活动）用公式法解下列方程： （1）2x2-3x=0； （2）3x2-2x+1=0； （3）4x2+x+1=0. 老师点评，（三位同学到黑板上做） 【探究2】 从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析： 求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，�根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解． 2.归纳知识 因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）�有两个不相等实数根即x1=，x2=． （2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=． （3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根． 【例题】 例1：不解方程，判定方程根的情况： （1）16x2+8x=-3； （2）9x2+6x+1=0； （3）2x2-9x+8=0； （4）x2-7x-18=0. 解：（1）化为16x2+8x+3=0 这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以，方程没有实数根． （2）a=9，b=6，c=1， b2-4ac=36-36=0， ∴方程有两个相等的实数根． （3）a=2，b=-9，c=8 b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0 ∴方程有两个不相等的实根． （4）a=1，b=-7，c=-18 b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0 ∴方程有两个不相等的实根． 3.学以致用，应用新知 【例1】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）． 解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根， ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0 a<-2 ∵ax+3>0即ax>-3 ∴x<- ∴所求不等式的解集为x<-. 4.随堂训练，巩固新知 不解方程判定下列方程根的情况: （1）x2+10x+26=0； （2）x2-x-=0； （3）3x2+6x-5=0； （4）4x2-x+=0； （5）x2-x-=0； （6）4x2-6x=0； （7）x（2x-4）=5-8x。 5.课堂小结，自我完善 本节课应掌握： b2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其他的运用。 6.布置作业 课本P17习题21.2第4题。 老师只要点评： （1）b2-4ac=9>0，�有两个不相等的实根； （2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=12-4×4×1=-15<0，方程没有实根。 不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。 用根的判别式时，注意各系数的符号。 要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 教后反思 教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式。 学科网（北京）股份有限公司 $$