21.2.1 第2课时 配方法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

配方法

课型

新授课

教学内容

教材第6-9页的内容

教学目标

1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．

教学重难点

教学重点：利用配方法解一元二次方程。

教学难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)＝n(n0)的形式。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【探究1】填上适当的数，使下列等式成立：

（1）x2+12x+             =   (x+6)2

（2）x2-12x+            =   (x-      )2

（3）x2+8x+        =   (x+      )2

（4）x2+x+          =  （x+     ）2

（5）x2+px+          =  （x+         ）2

观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？

【探究2】

探究教材探究 

怎样解方程x2+6x+4= 0？     自学教材第6页

探究1旨在引导学生回顾完全平方式，为配方法做准备，目的是为了让配方法的思想更自然。

将方程x2+6x+4= 0

如果能将方程左边转化为关于x的完全平方式，右边是非负数，我们就可以直接降次解方程了。那么，如何这样转化呢？

学生先自学，再讨论。

1什么叫配方法？

【教材例题】 用配方法解下列方程：

（1）x2-8x+1=0；    （2）2x2＋1=3x ；  （3）3x2-6x+4=0.

2.归纳解法

总结用配方法解方程的一般步骤．

(1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．

(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)

(4)方程变形为(x+m)2=n的形式．

(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．

【例题】

例1：用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　)

A．(x＋2)2＝1        B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)2＝9        D．(x－2)2＝9

解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

3.学以致用，应用新知

考点1  配方

【例1】若代数式x2-kx+9是完全平方式，则k的值为（   ）

A.3     B.0     C.6     D.±6

答案：D

考点2  用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

【例2】把一元二次方程m2-4m=3配方，需在方程两边加（  ）

A.2      B.-2      C.4      D.-4

答案：C

与（x+3）2=5相比较，可发现是要将方程中含x的项配成完全平方的形式。为后续“移项”“方程两边加一次项系数一半的平方”等步骤奠基。

方程（3）最后配方得到（x-1）2=-。因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数都不成立，即原方程无实数根。

这一步骤应先让学生自己尝试解决。

将一元二次方程配方成（x+n）2=p后，需要根据p的取值情况对方程的解进行讨论。这个过程可以让学生类比x2=p的讨论自助完成。

一元二次方程不一定有解，这里可以让学生想一想什么条件下有解，为后面讲判别式埋下伏笔。