21.2.1 第2课时 配方法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 第2课时 配方法 课题 配方法 课型 新授课 教学内容 教材第6-9页的内容 教学目标 1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 教学重难点 教学重点：利用配方法解一元二次方程。 教学难点：把一元二次方程通过配方转化为(x+m)＝n(n0)的形式。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】填上适当的数，使下列等式成立： （1）x2+12x+ = (x+6)2 （2）x2-12x+ = (x- )2 （3）x2+8x+ = (x+ )2 （4）x2+x+ = （x+ ）2 （5）x2+px+ = （x+ ）2 观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？ 【探究2】 探究教材探究 怎样解方程x2+6x+4= 0？ 自学教材第6页 如果能将方程左边转化为关于x的完全平方式，右边是非负数，我们就可以直接降次解方程了。那么，如何这样转化呢？ 学生先自学，再讨论。 1什么叫配方法？ 【教材例题】 用配方法解下列方程： （1）x2-8x+1=0； （2）2x2＋1=3x ； （3）3x2-6x+4=0. 2.归纳解法 总结用配方法解方程的一般步骤． (1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数． (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项． (3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的) (4)方程变形为(x+m)2=n的形式． (5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解． 【例题】 例1：用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D. 方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3.学以致用，应用新知 考点1 配方 【例1】若代数式x2-kx+9是完全平方式，则k的值为（ ） A.3 B.0 C.6 D.±6 答案：D 考点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【例2】把一元二次方程m2-4m=3配方，需在方程两边加（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4 答案：C 【例3】解下列方程： （1）x2+2x-3=0； （2）x2-4=2x. 解：（1）移项，得x2+2x=3. 配方，得x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4. 开平方，得x+1=±2. 所以x1=1，x2=-3. （2）由原方程，得x2-2x=4. 配方，得x2-2x+5=4+5，即（x-）2=9. 所以x-=3或x-=-3. 所以x1=3+，x2=-3+. 考点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【例4】用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：C 【例4】解下列方程： （1）4x2+6x-5=0； （2）6x2-x-12＝0. 解：（1）两边都除以4，得x2+x-=0. 移项，得x2+x=. 配方，得x2+x+=+，即（x+）2=. 开平方，得x+=±. 所以x1=，x2=. （2）方程两边都除以6，并移项，得x2-x=2. 配方，得x2-x+（-）2=2+（-）2， 即（x-）2=. 开平方，得x-=±. 所以x1=，x2=-. 4.随堂训练，巩固新知 （1）教材P9练习 （2）选用题目 1.配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x2+12x+ =(x+6)2 （2）x2―12x+ =(x― )2 （3）x2+8x+ =(x+ )2 2.解下列方程 3x2+3x―3=0 3x2 －9x＋2=0 2x2＋6=7x 3.将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 4．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 5．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）． A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9 6．下列方程中，一定有实数解的是（ ） A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8．代数式的值为0，则x的值为________． 9．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，�所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为___ 10已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 11．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值． 12．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500�元，�市场调研表明：�当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5.课堂小结，自我完善 （1）一元二次方程“降次”──转化的数学思想。 （2）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 6.布置作业 课本P9练习第1-2题，P16习题21.2第2-3题。 探究1旨在引导学生回顾完全平方式，为配方法做准备，目的是为了让配方法的思想更自然。 将方程x2+6x+4= 0与（x+3）2=5相比较，可发现是要将方程中含x的项配成完全平方的形式。为后续“移项”“方程两边加一次项系数一半的平方”等步骤奠基。 方程（3）最后配方得到（x-1）2=-。因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数都不成立，即原方程无实数根。 这一步骤应先让学生自己尝试解决。 将一元二次方程配方成（x+n）2=p后，需要根据p的取值情况对方程的解进行讨论。这个过程可以让学生类比x2=p的讨论自助完成。 一元二次方程不一定有解，这里可以让学生想一想什么条件下有解，为后面讲判别式埋下伏笔。 如何配方：实际上是利用a2+2ab+b2=（a+b）2把二次项系数化为1，可以把注意力放在一次项系数上，为正确配方带来方便。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 配方关键： 配方时，方程两边加一次项系数一半的平方。 二次项系数不为1时，一般，先把二次项系数化为1，然后再配方。 板书设计 解一元二次方程--直接开平方法 配方法 探索配方法解一元二次方程 复习开平方法解一元二次方程 通过复习直接开平方法解一元二次方程，推广得到配方法将方程配成（x+n）2=p的形式。 教后反思 教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式。配方法不仅是解一元二次方程的基本方法，而且也是讨论二次函数等所必备的基础。配方法是一种重要的代数变形工具，引导学生完全掌握该法。 学科网（北京）股份有限公司 $$