21.2.1 第1课时 直接开平方法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

课题

直接开平方法

课型

新授课

教学内容

教材第5-6页的内容

教学目标

1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。

2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程x2=n，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）型的一元二次方程。

教学重难点

教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想。

教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。

教具学具

黑板

教  学  过  程

备  注

1.创设情境，引入课题

【探究1】探究教材问题1  

教师：设其中一个盒子的棱长为x dm，能表示出这个盒子的表面积吗？

学生尝试解答为6x2dm2，并根据一桶油可刷的面积列出方程10×6x2=1500。

学生进一步整理，可得x2=25.

教师：那怎么求出x的值呢？

问题1列方程并不难，目的是为了引导学生直接想到用直接开平方法解方程。

在教学时可以让学生简单回顾一下平

学生：可以想谁的平方是25，也可以根据平方根的意义得出x的值。因为±5的平方是25（25的平方根是±5），所以可以得出x=±5。

【师生活动】结合问题1题干，知道5和-5都是所列方程的根，但-5不符合题意，所以盒子的棱长是5dm。

【探究2】探究方程x2=p的解法

分析：正数的平方根有2个，负数没有平方根，0的平方根还是0.由于p的取值不确定，所以需要对p分类讨论：

【师生活动】学生独立思考再交流，得出方程x2=p的解。

一般地，对于方程x2=p，

（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=，x2=；

（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；

（3）当p＞0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。

2.类比探究，归纳解法

 上面我们已经讲了x2=25的解法，那么（x+3）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？

（学生分组讨论）

 老师点评：回答是肯定的，根据平方根的意义，借鉴上面的解方程过程，得x+3=±，

    即x+3=，或x+3=-.

    方程的两根为x1=-3+，x2=-3-.

【例题】

例1：解方程：x2+4x+4=1

 分析：很明显，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．

    解：由已知，得：（x+2）2=1.

    直接开平方，得：x+2=±1.

    即x+2=1，x+2=-1.

    所以，方程的两根x1=-1，x2=-3.

方及平方根的相关知识。

解方程x2=25的过程尽可能让学生独立完成，再交流。

解方程x2=p的过程直接利用平方根的意义就能完成，简单但反映本质，在整个一元二次方程解法的讨论中具有奠基作用。

方程（x+3）2=5是对x2=p在项数上的推广，可以用直接开平方法求解，可提醒学生对照解x2=p的过程，自然地引出“降次”的策略。

在解法上通过将新方程转化为旧方程来解决。从简单情形出发，通过不断推广，