21.2.1 第1课时 直接开平方法解一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 课题 直接开平方法 课型 新授课 教学内容 教材第5-6页的内容 教学目标 1.理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。 2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程x2=n，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）型的一元二次方程。 教学重难点 教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想。 教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】探究教材问题1 教师：设其中一个盒子的棱长为x dm，能表示出这个盒子的表面积吗？ 学生尝试解答为6x2dm2，并根据一桶油可刷的面积列出方程10×6x2=1500。 学生进一步整理，可得x2=25. 教师：那怎么求出x的值呢？ 学生：可以想谁的平方是25，也可以根据平方根的意义得出x的值。因为±5的平方是25（25的平方根是±5），所以可以得出x=±5。 【师生活动】结合问题1题干，知道5和-5都是所列方程的根，但-5不符合题意，所以盒子的棱长是5dm。 【探究2】探究方程x2=p的解法 分析：正数的平方根有2个，负数没有平方根，0的平方根还是0.由于p的取值不确定，所以需要对p分类讨论： 【师生活动】学生独立思考再交流，得出方程x2=p的解。 一般地，对于方程x2=p， （1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=，x2=； （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当p＞0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。 2.类比探究，归纳解法 上面我们已经讲了x2=25的解法，那么（x+3）2=5，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，根据平方根的意义，借鉴上面的解方程过程，得x+3=±， 即x+3=，或x+3=-. 方程的两根为x1=-3+，x2=-3-. 【例题】 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很明显，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1. 直接开平方，得：x+2=±1. 即x+2=1，x+2=-1. 所以，方程的两根x1=-1，x2=-3. 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率． 分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%． （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”． 3.学以致用，应用新知 考点1 解形如m（p≥0）的一元二次方程 【例1】一元二次方程x2＝1的根是 （ ） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝﹣1 答案：B 【例2】解下列方程： （1）x2-169=0； （2）4x2-2=3. 解：（1）移项，得x2=169. 得x=±13. 即x1=13，x2=-13. （2）移项、合并同类项，得4x2=5. 二次项系数化为1，得x2=. 得x=±. 即x1=，x2=-. 考点2 解形如（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的一元二次方程 【例3】一元二次方程（x+3）2=25可转化为两个一元一次方程，期中一个是x+3=5，则另一个是 . 答案：x+3=-5 【例4】解下列方程： （1）（x-1）2=49； （2）x2+4x+4＝16. 解：（1）开平方，得x-1=±7.所以x1=8，x2=-6. （2）整理，得（x+2）2=16. 得x+2=±4， 即x1=2，x2=-6. 4.随堂训练，巩固新知 （1）教材P6练习 （2）选用题目 选择题 1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 填空题 1．若8x2-16=0，则x的值是_________． 2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 综合提高题 1．解关于x的方程（x+m）2=n． 2．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？ 答案: 一、1．B 2．D 二、1．± 2．9或-3 三、1．当n≥0时，x+m=±，x1=-m，x2=--m．当n<0时，无解 2．因要制矩形方框，面积尽可能大， 所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形． 5.课堂小结，自我完善 （1）一元二次方程“降次”──转化的数学思想。 （2）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 6.布置作业 课本P6练习第1-2题，P16习题21.2第1题。 问题1列方程并不难，目的是为了引导学生直接想到用直接开平方法解方程。 在教学时可以让学生简单回顾一下平方及平方根的相关知识。 解方程x2=25的过程尽可能让学生独立完成，再交流。 解方程x2=p的过程直接利用平方根的意义就能完成，简单但反映本质，在整个一元二次方程解法的讨论中具有奠基作用。 方程（x+3）2=5是对x2=p在项数上的推广，可以用直接开平方法求解，可提醒学生对照解x2=p的过程，自然地引出“降次”的策略。 在解法上通过将新方程转化为旧方程来解决。从简单情形出发，通过不断推广，体会这一具有一般意义的研究、学习方法。 教学中要贯彻教材“削支强干”的意图，不要在方程的复杂程度上下功夫。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 “降次”是解一元二次方程的基本策略。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 解一元二次方程--直接开平方法 复习完全平方式 探索开平方法解一元二次方程 复习平方根与开平方 利用转化化归思想，通过复习开平方和平方根，获得解x2=p的方法，进一步推广得到方程（x+n）2=p的解法。 教后反思 教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程。 学科网（北京）股份有限公司 $$