21.1一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步教案(人教版)河北专版

第二十一章 一元二次方程 单 元 备 课 第二十一章 本单元所需课时数 13课时 课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 3.了解一元二次方程的根与系数的关系。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 教材分析 1.本章内容是初中数学中最后出现的方程。整式方程按其中未知数（元）的个数和未知数的最高次数分类，与前面所学整式方程相比，本章变化在于未知数的最高次数由一次升为二次，从而使一元二次方程的解法更多样、更复杂。 2.一般地，解代数方程（组）的基本思路是化归为一元一次方程，所以把二次降为一次是解一元二次方程的基本策略。 主要内容 本章的主要内容是一元二次方程的概念，解法和应用。主要包括三节：第21.1节“一元二次方程”主要介绍一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念，第21.2节“解一元二次方程”介绍解一元二次方程的方法（配方法、公式法和因式分解法），这也是本章的重点之一，第21.3节“实际问题与一元二次方程”是让建立一元二次方程模型解决实际问题。 教学目标 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 3.了解一元二次方程的根与系数的关系。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 5.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。 课时分配 21.1 一元二次方程 1课时 21.2 解一元二次方程 7课时 21.3 实际问题与一元二次方程 2课时 教学活动 小结 2课时 教与学建议 1.为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程。 2.注重模型思想、应用意识的培养。 3.注意控制教学要求。 21.1 一元二次方程 课题 一元二次方程 课型 新授课 教学内容 教材第2-4页的内容 教学目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式。 2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题。 3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次的感性认识。 教学重难点 教学重点：通过建立方程，归纳得出一元二次方程的概念、一般形式和一元二次方程的根的概念。 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，�再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 教具学具 黑板 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】探究教材问题1 分析：设切去的正方形的边长为x cm，则根据方盒的底面积为3600cm2，可得怎样的方程？ 【师生活动】学生尝试解答，列出方程（100-2x）（50-2x）=3600。 教师追问：这个方程还能继续整理吗？ 学生：整理，得x2-75x+350=0。 【探究2】 分析：（1）参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ （2）全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？ 【师生活动】学生尝试解答，列出方程。 并继续整理，得。 教师追问：观察所整理的方程及并回答：方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.类比探究，归纳概念 1.一元二次方程定义： 像上面给出的方程这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2。 2.一元二次方程的一般形式： 分析： （1）为什么规定a≠0？ （2）方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？ 【教材例题】 将方程化为一般形式，并写出其中的各项系数（或各项）。 分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号. 3.特殊形式：；； 4.一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 分析：（1）类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念 （2）下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程的定义 【例1】下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣xy＝2 C．x2+＝2 D．2（x﹣1）＝x 答案：A 【变式】若关于x的方程（a-2）x2-2x+3=0是一元二次方程，则a的值为 （ ） A.0 B.2 C.-2 D.不等于2的任意实数 答案：D 考点2 一元二次方程的一般形式 【例2】将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是 　 　，一次项系数是 　 　。 答案：3 -7 考点3 一元二次方程的根 【例3】下列各数中，是x2-4x+3=0的根的是（ ） A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=2 答案：C 考点4 根据实际问题列出一元二次方程 【例4】1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设矩形的长为x步，列出方程为　 　． 答案：x2﹣12x﹣864＝0 4.随堂训练，巩固新知 （1）在下列方程中，一定是一元二次方程有（ ） ①5x2+6=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-3 ④4x2-=0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A （2）方程x2－2x＝0的解为(　　) A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝，x2＝2 （3）已知（a﹣1）x|a|+1+4x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 解析：根据题意，得|a|+1＝2，且a﹣1≠0．解得a＝﹣1． 答案：-1 （4）将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得40-16x-10x+4x2=18. 移项，得4x2-26x+22=0. 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 5.课堂小结，自我完善 （1）一元二次方程的概念。 （2）一元二次方程的一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数。 （2）一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根。 6.布置作业 课本P4练习第1-2题，P4习题21.1第1-7题。 在教材引言的基础上，探究两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，淡化列方程难度，重点突出方程特点 。 通过在观察方向上引导学生观察方程特点，发现它们在形式上的共同点，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备。 概念学习的一般过程：分析典型丰富的具体例证，抽取不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念，给出符号表示，并对关键词进行辨析，再通过例子巩固概念。 a≠0，否则方程就不是二次的了。这个探究过程，在教学时应让学生充分经历。 本节的重点是理解一元二次方程概念及其有关概念，其中涉及一元二次方程根的概念，但教学中不要过早把注意力引向解方程。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知。 在注意到未知数最高次数为2的同时，还要注意二次项系数不能为0。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 一元二次方程 概念 一般形式 一元二次方程 根的概念 根据实际问题列方程 教后反思 创设情境导入，新授知识层层递进、联系密切，由于有方程的学习经验，学生学起来会轻松一些，注意力集中不分散。 通过现实问题认识概念，是为了增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识。列方程是贯穿始终的，既可以让学生认识到引入一元二次方程的必要性，又能分散列方程这一难点。 课堂上，充分调动学生的积极性，让学生发挥主动性，经历分析问题、观察方程找规律、归纳概念的学习过程（适当给予引导），使学生感受到学习与探索的乐趣，为今后的学习提供方法和思路。 学科网（北京）股份有限公司 $$