21.2.1 第1课时直接开平方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(人教版)河北专版

该初中数学课件聚焦“直接开平方法”解一元二次方程，系统讲解形如x²=p(p≥0)和(mx+n)²=p(p≥0)的方程解法。通过油漆刷正方体盒子的实际问题导入，从具体情境抽象出x²=25，再类比探究(mx+n)²=p的解法，搭建从具体到抽象、从简单到复杂的学习支架。 其特色在于以实际问题驱动，培养学生用数学眼光观察现实世界，如从刷漆面积发现数量关系并抽象出方程。通过类比推理（对照x²=25解(x+3)²=5）发展数学思维，体现“降次”思想。规范的符号表达和错误分析强化数学语言，学生能提升抽象能力与运算能力，教师可利用分层练习和系统小结提高教学效率。

第 二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.1配方法 第一课时 直接开平方法 学习目标 学习重难点 通过平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 体会“降次”的数学思想. 难点 重点 （1）能根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程. （2）能运用开平方法解形如(mx+n)²=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想. 导入新知 问 题1 一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正 方体形状的盒子的全部外表面，你能算 出盒子的棱长吗? 知识点1 形如x2=p(p≥0)型方程的解法 ① 3 设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500. ① 整理，得 x2=25 . 根据平方根的意义，得 x=±5 ， 即 x1=5， x2=－5. 可以验证，5和－5是方程①的两个根， 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm. 注意 用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义 4 巩固练习 解方程 2x2=36 5x2+1=21 解：x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 解：x2=18 x=± x1=，x2=- 5 知识点2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法 ② 对照上面解方程x2＝25的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5? 在解方程x2＝25时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± ， 即 x＋3＝ ，或x＋3＝－ ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ ，x2＝－3－ 探究 6 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方 法叫做直接开平方法. 定义 一般地，对于方程 x2=p， 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 x1= , x2= 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0; 当p<0时，方程x2=p无实数根. 归纳 7 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了． 归纳 一般地，对于方程(mx+n)2=p(p≥0) ， 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是, x2= 当p<0时，方程(mx+n)2=p无实数根. 8 巩固练习 用直接开平方法解下列方程． (1)（x＋1）2= 2 ；(2)12（3－2x）2－3 = 0 解：(1)x+1＝±，所以x1＝，x2＝－. (2)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25. 3-2x=±0.5, 即 3-2x=0.5 , 3 -2x=-0.5， 所以 x1=，x2= 9 随堂演练 一元二次方程(x+3)2=64可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+3=8，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-3=-8 B. x-3=8 C. x+3=-8 D. x+3=8 2. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根 C D 10 随堂演练 3. 解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)(x＋1)2=4 . 解：x1＝9, x2＝－9； 解：x1＝1, x2＝－3. 11 随堂演练 4.下面是一位同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正. 解： ① ② ③ ④ 解：不对，从②开始错，应改为 12 课堂小结 1.形如x2=p ( p≥0 ) ，(mx+n)²=p的方程可以用直接开平方法解. 2.一般地，对于方程 x2=p， 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 x1= , x2= 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0; 当p<0时，方程x2=p无实数根. 一般地，对于方程(mx+n)2=p(p≥0) ， 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是, x2= 当p<0时，方程(mx+n)2=p无实数根. 13 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 14 绿卡图书—走向成功的通行证 15 $$