21.1 一元二次方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学同步课件(人教版)河北专版

第 二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 学习目标 1. 了解一元二次方程及其根的概念，掌握把一元二次方程化为一般形式的方法. 2.会设未知数，列一元二次方程. 学习重难点 一元二次方程的概念及一般形式. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型. 难点 重点 回顾复习 1.我们都学过哪些方程？请举例说明. 2- - 4=5 + =1 一元一次方程、二元一次方程组、分式方程 2.下列哪些方程是一元一次方程？ 一元一次方程：只含有一个未知数；未知数的指数是一次的；方程两边都是整式. 思考：这个方程与我们学过的一元一次方程有何不同？ 导入新知 在设计人体雕像时,使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高? A C B 如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC 应有如下关系： AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC. 设雕像下部高 m，可得方程2＝2(2－)， 整理得 2＋2－4＝0. 4 知识点1 一元二次方程的定义 ① 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形? 5 4x2－300x+1400=0 设切去的正方形的边长是x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm.根据方盒的底面积为3600cm2，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600. 去括号，得 5000－100x－200x+4x2=3600 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 x2－75x+350=0 解此方程可以得到所切正方形的具体尺寸 这个方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 6 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 7 解上面方程即可得出参赛队数. 问题2中，全部比赛的场数为 4×7=28. 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他 (x－1) 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场. 列方程 =28. 整理，得 =28. 化简，得 -=56. 这个方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 8 2＋2－4＝0，x2－75x+350=0，=56 三个方程有什么共同点？ 思考 9 定义 等号的两边都是整式， 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做一元二次方程． 10 解读 一元二次方程的三要素 1.是整式方程 2.只含有一个未知数 3.整理后未知数的最高次数是2 注意 要从原方程和整理后的方程两方面判断 11 知识点2 一元二次方程的一般形式 ② 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0). 为什么规定a≠0？ 因为a=0时，未知数的最高次数小于2 12 一元二次方程的项和各项系数 ax2+bx+c=0(a≠0) 二次项系数 二次项 一次项 常数项 一次项系数 13 例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 不要忘记每一项（系数）前面的符号。 14 知识点3 一元二次方程的解 ③ 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 15 知识点4 建立一元二次方程模型 一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达． 建立一元二次方程模型的一般步骤： （1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系； （2）设出合适的未知数，一般设为x； （3）确定等量关系； （4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式． 16 随堂演练 1.下列方程：①2x2＋3y＝0；②x2＋＝2；③-x2+2x－9＝0；④6x2－3x＝2(3x2－2)，其中是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 A 2. 一元二次方程4x2=6x+2的二次项系数和一次项分别是（ ） A. 4，6 B. 4，-6 C. 4，-6x D.4x2 ，6x C 17 随堂演练 3. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ -4，－3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4. 解：-4，3 18 4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 cm2，矩形的长和宽各是多少？ （2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？ 解：设矩形的长为xcm，则宽为(x-1)cm. 根据题意，得x(x-1)=132, 整理，得 x2-x-132=0. 解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得 x2-x-20=0. 19 课堂小结 1.一元二次方程的概念 等号的两边都是整式， 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2(二次) 的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 3.一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 4.根据题意列一元二次方程 20 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 21 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$